高三物理专题五曲线运动题型总结

1、专题五曲线运动 一、运动的合成和分解 【题型总结】.速度的合成：（1）运动的合成和分解（2）相对运动的规律v甲地=v甲乙+ v乙地例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4用/s时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7用/s时。他感到风从东南方向（东偏南45。）吹来，则风对地的速度大小为（）A. 7m/s B. 6m /s C. 5m /s 解析：“他感到风从正南方向（东南方向）吹来” 对地的速度方向不变，由此可联立求解。 解：0 =45 V 风对车=7 4=3 m/s, V风对车+V车对地=V风对地 V 风对地=J42 +32 =5 m/s 答案：C2.绳（杆）拉物类问题绳（杆）上各点在绳（杆）

2、方向 上的速度才广速度方向：物体实际运动方向 速度方向：,绳（杆）伸（缩）方向：使绳 垂直于绳（杆）方向：使绳g例：如图所示，重乐 M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高.问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成。角，且重物下滑的速率为 v时，小车的速度为多少？D. 4 m（杆）转动即风相对车的方向是正南方向（东南方向）V风对地O而风相V风对车V车对地解：方法一：虚拟重物 M在At时间内从A移过Ah到达C的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两个分运动所合成， 即先随绳绕滑轮的中心轴 O点做圆周运动到 B,位移为A 1,然后将绳拉过 A2到C.1若 At 很小趋近于 0,那么 A 妒 0,则 A

3、$ = 0,又 OA=OB, Z OBA= 3= 2 （180 - A ）90.亦即A s1近似，A s2,故应有： A电=A h cos 0泡_ h因为: t 4 cos。，所以 v = v - cos0方法二：重物 M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v运动，如图（2）所示，由图可知， v= v cos 0.(1)(2)练习1: 一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为va,Vb,则A Va -Vb BVa Mb C 、VaM D 、重物B的速度逐渐

4、增大解析：（微元法）设经过t ,物体前进S1 ,绳子伸长s2 :Si = Va t , S2 = v b t V b = V a COS H8 J , V bS2 =S| COS8 . cosO 1 ,Vb Va练习2:如图所示，一轻杆两端分别固定质量为n和E的两个小球A和B （可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成a角时，A球沿槽下滑的速度为 Va,求此时B球的速度 注?解：A球以Va的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩 的分运动，设其速度为Vai ； 一个使杆绕 B点转动的分运动，设其速度为 5。而B球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为Vb,可分解为：一个使

5、杆伸长白分运动，设其速度为V31,Vb尸Vai ； 一个使杆摆动的分运动设其速度为Vb2；由图可知： Vb1 = VBSin： =va1 =VACOS：Vb =Va co3.渡河问题（1）以时间为限制条件：时间最短：使船头垂直于河岸航行d .、t短=（d为河范）v船ds = （口为合速度与水流速度的夹角）Sin :d普通情况：t =1（ 口为船头与河岸的夹角）v船 Sin -（2）以位移为限制条件:v水W船S短=d （d为河范）t 二v船 sin 0（0为船头与河岸的夹角）dv7Kv船船的真实方向指的是船的航行方向；船的划行方向指的是船头指向。例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是

6、平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为vi,摩托艇在静水中的航速为 v2,战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d,如战士想在最短时间内将人送上岸， 则摩托艇登陆的地点离 O点的距离为（ 方 ）解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为丫2,到达江岸所用时间t=；沿江岸方V2向的运动速度是水速 vi在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离dv0点距离s = v1t = v2答案：C例2:某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了Ti;若此船用最短的位移过河，则需

7、时间为（A） 一（C） 1 ：(D) ：，,j丁2,若船速大于水速,d一斛析：设船速为vi ,水速为V2,何范为d ,则由题意可知：Ti =一vi当此人用最短位移过河时，即合速度dv方向应垂直于河岸，如图所不，则T2 - r22.vi -v2联立式可得： 区小72 ，进一步得匕= T2=T2viv2T22 -Ti2答案：A【巩固练习】i、一个劈形物体 M ,各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个 光滑小球m,劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（A、沿斜面向下白直线 B、竖直向下的直线C、无规则的曲线D、抛物线解析：由于小球初速度为零，所以不可能做曲线运动；

8、又因为小球水平方向不受力，水平方向运动状态不 变，所以只能向下运动。答案：C同类变式1下列说法中符合实际的是：（）A.足球沿直线从球门的右上角射入球门B.篮球在空中划出一条规则的圆弧落入篮筐C.台球桌上红色球沿弧线运动D.羽毛球比赛时，打出的羽毛球在对方界内竖直下落。解析：足球在空中向前飞行时，只受重力作用，一定做曲线运动；抛出的篮球，所受重力的方向不可能总 与篮球的速度方向垂直，所以不可能是规则的圆弧；滚动的台球所受合力是摩擦力，与运动方向相反，只 能做减速直线运动；打出的羽毛球受到重力及较大的空气阻力作用，其中空气阻力总与运动方向相反，随 着运动速率减小而减小，二力合力的大小及方向都在不断

9、变化，所以打出的球较高时有可能竖直下落。 答案：D同类变式2匀速上升的载人气球中，有人水平向右抛出一物体，取竖直向上为 y轴正方向，水平向右为 x轴正方向，取抛出点为坐标原点，则地面上的人看到的物体运动轨迹是下图中的：解析：物体具有竖直向上的初速度，在空中只受重力作用，所以做斜上抛运动（水平方向作匀速运动、竖 直方向做竖直上抛运动。）答案：B2、如图所示为一空间探测器的示意图，P1、B、R、R是四个喷气发动机，P、P2的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P3、P4的连线与y轴平行.每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动.开始时，探测器以恒定的速率vo向正x方向平动.要使探测

10、器改为向正x偏负y 60。的方向以原来的速率 Vo平动，则可（）A .先开动Pl适当时间，再开动 P4适当时间先开动P3适当时间，再开动 P2适当时间开动P4适当时间先开动P3适当时间，再开动 P4适当时间P3、的解析：火箭、喷气飞机等是由燃料的反作用力提供动力，所以Pi、P2、P4分别受到向左、上、右、下的作用力。使探测器改为向正 x偏负y 60 方向以原来的速率 Vo平动，所以水平方向上要减速、竖直方向上要加速。答案：AA在较下游的位置，且 A的游泳3、如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方

11、法才能实现？（ ）A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游D.都应沿虚线偏向下游方向，且 B比A更偏向下游解析：游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选Ao答案：A、平抛运动【题型总结】i.斜面问题：分解速度:例：如图所示，以水平初速度 v0抛出的物体,飞行一段时间后，垂直撞在倾角为0的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。解：tan :1 = xVyv一,gtS

12、 =Sy Sx tany xV0g tan 二12.=5 gtvot tan =v2 (2 tan211)练习：如图所示，在倾角为37的斜面底端的正上方求小球抛出时的初速度。_2 .2g tanH处，平抛一小球,该小球垂直打在斜面上的一点,1斛：小球水平位移为 x =v0t,竖直位移为 y = gt2由图可知,H - gt2 tan 370 二2-vot，HL又 tan37v0153gH,解之得： v0 =gt17分解位移:例：如图，在倾角为 日的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求小球从 A运动到B处所需的时间和位移。1 O 1 O解：设小球从A处

13、运动到B处所需的时间为t ,则水平位移x = v0t，竖直位移y=gt2。一 gt2 = （v0t） tan8222v0 tang2八 S 二 Sy = 2 = 2V01 a n -sin singsi n练习1：（求平抛物体的落点） 如图，斜面上有 a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的 O点以速度v。 水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从 O点以速度2V。水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document （）底“A . b与c之间某一点!c 点dc与d之间某一点i

14、 Jd 点解析：当水平速度变为 2v0时，如果作过b点的看线be，才、球将落在c的正下方的直线上一点，连接 O点和e点 的曲线，和斜面相交于 bc间的一点，故 A对。答案：A练习2:（证明某一夹角为定值） 从倾角为0的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为 w,球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为二】，第二次初速度内,球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为j，若2 匕，试比较%和%的大小。1一磔解析：-tang + = = 2tan%所以以二打ctan（2tan0 8。即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。练习3:（求时间或位

15、移之比） 如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度 v向右抛出一小球，其落点与不计空气阻力,忘I:剪可能为:A. 1:2 B. 1: 3 C. 1 : 4 D. 1解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有衍：的二位12v a L 2, A是可能的。tan 3 = -若两物体都落在斜面上，由公式2%得，运动时间分别为2vtan g4vtang 。水平位A的水平距离为S1,从A点以水平初速度2V向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为S2,S 冷移若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图所示），生士电不会小于1: 4,但一定小于1: 2。故1:2/例1： 2讨力=-7- =

16、 li 4和，C是可能。3是可能的，1: 5不可能。答案：ABCV0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜练习4:（斜面上的最值问题） 在倾角为0的斜面上以初速度面的最大距离是多少？解：方法一：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远*8=3 =&由 “% ,则运动时间为,此时横坐标为v? tan 8= voi =gVq tan 0 sm 日-x H - - xsin3 =又此时速度方向反向延长线交横轴于2 处：方法二：建立如图所示坐标系把运动看成是沿x方向初速度为此，加速度为gm的匀加速运动和沿 y方向的初速度为?。皿日，加速度为一日的匀减速运动的合运动。y, = % sinB- gco

17、s8Lv, = o,故f = 3最远处1y =/ sinS - 3 geos 标,所以,v0 sin 0 吟 tan 9 =Vq tan 0 sin 32.类平抛运动：例：如图所示，光滑斜面长为 a 点水平射入，而从斜面左下方顶点，宽为b，倾角为日，一物体从斜面右上方 Q离开斜面，求入射初速度。解：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到的合力大小为F= mg sinO ,方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为gsinQ ,又由于物体的初速度与a加垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为 斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动。

18、V0的匀速直线运动，沿在水平方向上有 b= v 0 t ,沿斜面向下的方向上有a = a int 2O2V0=、bgsin u2a练习：如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度Vo抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率R,且井壁被反弹，求小球与井壁发生第 n次碰撞处的深度。解：由于小球与井壁相碰时，小球的速率不变，因此在水平方向上小球一直是匀速率运动，当小球与井壁相碰n次时，小球在水平方向上通过的路程:Sx 2nRSx=2nR ，所以用的时间t = =V0Vo,由于小球在c 1.21 /2nR2竖直方向上做的是自由落体运动，因此小球在竖直方向上的

19、位移Sy = - gt =-g( )22Vo2n2R2g2Vo2n2R2c即小球与井壁发生第 n次碰撞时的深度为 2n R gVo3.相对运动中的平抛运动：例：正沿平直轨道以速度 V匀速行驶的车厢内，前面高h的支架上放着一个小球，如图所示, 若车厢突然改以加速度 a ,做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到架子 的水平距离为多少？ 2h2h 1 2h解：方法一：小球水平运动 s = V , F ,小车水平运动 S1 = V ,巴+1a ,!，gg 2 gV1 2h 2ah方法二：丫相对=o, a相（水平）=a12对小车：s2 =vt at =v22hg球对车的水平位移 s = Si

20、 -S2 = -h tan ,负号表示落点应在 O点的左侧，距离OP为htan 0乂 9t -同类变式若人在车厢上观察小球，则小球运动轨迹为直线 （填“直线”或“曲线”）因为v相对=o, a相对=a2 +g2 ,所以运动轨迹为直线。练习：沿水平直路向右行驶的车内悬一小球， 悬线与竖直线之间夹一大小恒定的角 0, 如图所示，已知小球在水平底板上的投影为 O点，小球距 O点的距离为h.,若烧断 悬线，则小球在底板上的落点 P应在O点的 侧；P点与O点的距离为。解：烧断悬线前，悬线与竖直方向的夹角0,解析小球的受力可知小球所受合力F = mg tan日，根据牛顿第二定律知，车与球沿水平向右做匀加速运

21、动，其加速度为（题设隐含条件）烧断悬线后，小球将做平抛运动，设运动时间为h 4gt2【巩固练习】1、如图所示，房间里距地面 H高的A点处有一盏白炽灯（可视为点光源）一小球以初速度Vo从A点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角B处,那么，小球抛出后，它的影点在墙上的运动情况是（）A.匀速运动B.匀加速运动C.变速运动D.无法判断解析：由相似三角形可知：FQ =-EP AE由平抛规律可得：EP=lgt2, AE=Vot, AF=Vo。2小球刚好落在墙角处，则有：s=FQ= -AF - EP= (vo EH) .-g = 1f9H tAEg 2 vot 2由此可知：小球影子以速度v=J-gH沿墙向

22、下做匀速运动答案：A同类变式如图所示，从地面上方 D点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面墙 上的A、B、C三点，图中0点与D点在同一水平线上，知 Q A、B C四点在同一竖直线上，且 OA=AB=B,C三球的水平速度之比为 vA： VB： VC=。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 12斛析：由h = gt和s = vt 2121212SSS设 OA=AB=BC=h 则 h = gtA , 2h= gtB , 3h = gtc ; tA = ； tB = ； tc = 一 222VaVbVc整理得 vA： vB：

23、 vc = J6：a/372； tA： tB： tC = 1:U2:J3答案：-gH-口若相遇点离地面的高度为，则v2 =jgH2s1212 H斛析：对 A选项： v1t = s= t =； v2t - gt + - gt = t =Vi22V2I3m一一 一一v2H对R C选项：t最高点=,t =一gV2式中 VAy =VAy , VBy =VBy在上升过程中相遇:V2H = V2. gHg V2在下降过程中相遇:HgH V21cH对D选项：gtt =22答案：ABD解析：P、Q在竖直方向上都是做自由落体运动，在相等时间内通过的竖直位移同类变式2如图所示，P、Q两点在同一竖直平面内，且 P点

24、比Q点高，从P、Q两点同时相向水平抛出两个物体，不计空气阻力，则(A. 一定会在空中某点相遇C,有可能在空中相遇)B.根本不可能在空中相遇D.无法确定能否在空中相遇由机械能守恒得2VB2)Bx21mM1, 22、1m(v0 VBy) mv2y 221,22 .Ay = & m(VAx VAy)联立解得V；x = V0 ,Vbx =0相等。由于P点比Q点高，所以P点总在Q点上方。 答案：B(2)由水平方向动量守恒得mVo : mVAxmVBx同类变式2如图所示，质量均为 m的A、B两个弹性小球，用长为 21的不可伸长的轻绳 连接。现把A、B两球置于距地面高 H处(H足够大)，间距为I。当A球自由

25、下落的同时, B球以速度vo指向A球水平抛出。求：(1)两球从开始运动到相碰， A球下落的高度。(2) A、B两球碰撞(碰撞时无机械能损失)后，各自速度的水平分量。(3)轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小。解：(1)设A球下落的高度为 h一)联立解得h = &2v；(3)由水平方向动量守恒得mv0 =2mvBx ，Vo=mvBx = m一Bx 23、如图所示，排球场总长为 18m,设球网高度为 2m,运动员站在网前 3m处 正对球网跳起将球水平击出。(1)若击球高度为2.5m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网

26、就是越界?18mI =Voth Jgt2 2解:(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间:ti = 2h。= 2 25s = 1 s,g 102V0ho* X2xix 12由此得排球越界的临界速度 v1： m/s =12、. 2m/s.t11/ . 2若球恰好触网，则球在网上方运动的时间：2(ho - H )2 (2.5-2)12 = .s = s.g .10. 10由此得排球触网的临界击球速度值s23m/s=3.10m/s.t21/ 10使排球既不触网又不越界，水平击球速度v的取值范围为：3、.而m/s v E12j_2m/s.(2)设击球点的高度

27、为 h,当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球 刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有 ：X1X22h 2(h -H)，得 h = -H =2mY)2 Y)232=一 m .15V0*X2即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网X1,若所有台阶都是高同类变式一位同学将一足球从楼梯顶部以V0 =2% 的速度踢出(忽略空气阻力)0.2m,宽0.25m,问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上? 解：方法一：设足球落在第 n级台阶上0.25(n -1) 2 .2 0.2n 八 0.25n = n = 3g方法二：SXt 二 2ta v；= 0.64g 0

28、.5 0.64 0.75落在第三级台阶上方法三：所有台阶的棱角都在同一斜面上，取小球的轨迹与这个斜面的交点为巳此过程小球的水平10位移为X,竖直位移为y,则：X=v0t, y=gt22X 0 25由几何知识可得：-=-y 0.2由以上各式得t=0.32s, X = 0.64m0.25= 2.6 -2nV2（反之也可），则t1t2.微粒若能落在a点，运动时间必须是周期 T的整数倍，即t1= kT, t2=NT k的取值为1, 2, 3,n； （n为正整数），N的取值为k+1, k+2, k+3,k+n .显然，只要 取某一适当的值，上述相遇的条件可 以满足。（例如 V1 = 2V 2,则t2 =

29、 2t 1,调整3使丁= t 1,即k=1 ,则N=2）,因此，选项 A是正确的。微粒落在b点的条件是:ti= kT+AT, t2= NT+A T。K 取 1, 2, 3,，n； N 取 k+1, k+2, k+3,k+n （n为正整数）。调整使T= 5t 1 / 6 是正确。微粒落在b、适当调整3值，上述条件可以满足， 故选项B也是正确的。（例如vi= 6V2,则t2= 6ti,，当k取1, N取7时，两微粒都可打在 b处，ab弧长为2tiR / 5 ）,因此，选项 Bc两处的条件是:n. （n为正整数），适当调整值, 微粒只有两种速率，只选取某一t 1= kT+AT1, t2= NT+A

30、T2, K取 1, 2, 3,，n； NB 1, 2, 3,， 上述条件可以满足，故选项C也是正确的。3值，不可能在 N筒上到处落有微粒，因此选项练习2: 一个半径为R的纸质圆筒，绕其中心轴逆时针匀速转动，角速度为弹沿AO方向打进纸筒，从纸筒上的 B点穿出，如图所示。从子弹打入纸筒到穿出纸筒的过程中纸筒未转够一周，若 AB弧所对的圆心角为0 ,则子弹的速度大小 v应是：（解析：假设纸筒静止不动，子弹从 纸筒在匀速转动，所以实际转过2R -0t = w =2kn +冗V、W R/ 0、2 3 R/ （兀-。）A点将沿直线转过2k兀+兀，所用时间为2R/V,由于 2k 71 + 71 - 0 02

31、 R-v = v 二2k二二D是错误的。答案：D练习3:如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为 R ,顶部有一个入口在幺的正下方在处有一个出口 3, 一质量为 例 的小球沿切线方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从3处飞出，小球射入入口 力的速度V满足什么条件？在运动过程中球对筒的压力 多大？另一个解：小球从入口处 R射入后的运动可分解为一个在水平面内作匀速圆周运动，线速度即入射速度;在竖直方向上作自由落体运动。设小球在圆筒内绕过 圈后从B处飞出，则:在水平面内小球做圆周运动通过的路程为一-.1 J竖直方向的位移:联立消去（解=理成n e N小球在运动过程中. 2君若mgRirN =,水平方向上仅受到

32、 小,充当向心力h3、雨滴问题：例：雨伞边缘的半径为r,距水平地面的高度为 h,现将雨伞以角速度 匀速旋转，使雨滴自伞边缘甩出,落在地面上成一个大圆圈。求：（1）大圆圈的半径是多少？（2）雨滴落到地面时速率是多少?2h解：（1） :雨滴离开雨伞的速度为 vo= w r,雨滴做平抛运动的时间为 t=Y g2h，雨滴的水平位移为x= v0t =r g222. 2 2 2h r x = r r r. 1.雨滴落在地上形成的大圆的半径为R=g22h 2根据机械能守恒定律:点评:解决此类问题的关键：R2 =X2平抛+r2练习:小球,如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板 。点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端

33、挂一个质量 m为0.5 kg的 已知绳能承受的最大拉力为 10 N.小球在水平面内做圆周运动， 当速度逐渐增大到绳断裂后， 小球以2 -v=9 m/s的速度洛在墙边.求这个圆枉形房屋的图度H和半径R. （g取10 m/s）解：设绳与竖直方向夹角为0 ,则cos。=T小球在绳断时离地高度为：h=H- Lcos 0小球做匀速圆周运动的半径为：r=Lsin 012L 12mv=mg H- -) 一 mv联立式求得：H=3.3 m,平抛运动时间为：t = 2h=0.6 s,水平距离为：s=v0t = JT62 m,g圆柱半径为：R= , s2 r2 =4.8 m.4、碰钉问题： TOC o 1-5 h

34、 z 例：在光滑的水平面上相距 40 cm的两个钉子 A和B,如图5-21所示，长1 m的细绳一端系着质量为 0.4 kg 的小球，另一端固定在钉子 A上，开始时，小球和钉子 A、B在同一直线上，小球始终以 2 m/s的速率在 水平面上做匀速圆周运动. 若细绳能承受的最大拉力是 4N,那么，从开始到细绳断开所经历的时间是 （）A 8A. 0.9% sB. 0.8兀 sT -r -o LLC. 1.2 Tt sD. 1.6 Tt s解：当小球绕 A以1 m的半径转半圈的过程中，拉力F1=mv- =0.4 x =1.6 N ,绳不断r11222当小球继续绕 B以(10.4) = 0.6 m的半径转

35、半圈的过程中，拉力Fa=mv- = 0.4 X _ =2.67 N,绳不断r20.62当小球再碰到钉子A,将以半径(0.6 -0.4) =0.2 m做圆周运动，拉力F3=mv-=0.4 X -2- = 8 N .绳断0.2所以，在绳断之间小球转过两个半圈，时间分别为2 二 r12二211 =旦= 2 = 27r -1 =0.5 tt s , 12 =包=2生出6 = 0.3-2 2所以, 答案: 点评:断开前总时间是 t=ti + t2=(0.5兀+0.3 Tt )s = 0.8兀sB解决此类问题的关键：抓住线速度、轨道半径的变化。练习:L如图所示，质量为 m的小球用长为L的悬绳固定于 O点，

36、在O点的正下方 亍处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子的时候(A、BGD小球的速度突然变大小球的向心加速度突然变大 小球的角速度突然增大 悬线的张力突然增大0L 7vw -解析：由于惯性，且碰钉瞬间外力与初速度垂直，所以小球的线速度不变， 但圆周的半径突然减小， 故 变大， 可知r 答案：a - -F - mg = m - F - mg + m r变大，故BC正确，A错；在碰钉时，根据牛顿第二定律， 有r ,r ,减小，F增大。故D正确。 BCD(二)圆周运动的临界问题：1、竖直平面内：(1)、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点

37、的情况:临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运2动的向心力，即 mg=1TlV庙界 =v临界=、；rg (v临界是小球通过最高点的最小速度，即临界速度) r.能过最高点的条件：vv临界.此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力N2v二m一 一 mgr不能过最高点的条件：vv临界(实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道)绳(b)(2)、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0.图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖

38、直向上的支持力N,其大小等于小千的重力，即 N=mg2v 当0vN0.当 v= g 时，N=0；2当v J值时，杆对小球有指向圆心的拉力N =m-mg ,其大小随速度的增大而增大 .r图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.2当0vN0.2N = m- -mg ,其大小随速 r当 v= . gr 时，N=0.当v . gr时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力度的增大而增大.图（c）的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=Jgr .当v Jgr 时，小球将

39、脱离轨道做平抛运动。(a)(b)(c)例1：如图所示，轻杆长为2L,水平转轴装在中点O,两端分别固定着小球A和BoA球质量为m,B球质量为2m,在竖直平面内做圆周运动。当杆绕O转动到某一速度时， A球在最高点，如图所示，此时杆 A点恰不受力，求此时 O轴的受力大小 和方向；保持问中的速度，当 B球运动到最高点时，求 O轴的受力大小和方向；在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。2v 9斛析：对 A球：恰好不受力， mg=m , v =gL2对 B球：T -2mg =2m：,T =4mg由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力T = 4mg ,竖直向下。令2mg =2mL02=

40、0。=0 =9=B球恰好不受力.L2对 A球：Tmg =m(,T =mg由牛顿第三定律，A球又O轴的拉力T = 2mg ,竖直向下。.2若B球在上端A球在下端：对B球：T +2mg = 2mg -2对 A球：T -mg = m *联系得v = j3gL。-2若A球在上端，B球在下端，对 A球：T+mg=m对B球:-22v _v ，、T 2mg=2m,联系得3mg =m，显然不成立 HYPERLINK l bookmark97 o Current Document LL所以，能出现o轴不受力的情况，此时 vA = vB = J3。例2：如图所示，在电机距轴 O为r处固定一质量为 m的铁块.电机启

41、动后，铁块以角速度3绕轴O匀速转动.求电机对地面的最大压力和最小压力之差.F的合力.由圆周运动的规律可解：铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的力 知：当m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小.设铁块在最高点和最低点时，电机对其做用力分别为Fi和F2, .口.部指向结心,根据牛顿第:定律己：2在取图点：mg+ Fi = mw r在最低点： F2 mg= mw2 r设电动机的质量为 M,对电动机有：在最高点：N+Fi=Mg在最低点：N2=F2+Mg电动机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为:AF= N2-Ni=F2+ Fi由上

42、式可解得：A F= 2mw 2r发散(i)若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动 ？平抛运动(2)当角速度3为何值时，铁块在最高点与电机恰无做用力2Bn、：g电机对铁块无做用力时，重力提供铁块的向心力，则 (3)如图所示是一电动打夯机的原理示意图，电机质量为mg= mw i r 即 i= rM则3多大时，电机可以“跳”起来 ？Fi，仁铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为 Fi+ mg= mw 22r Fi=Mg(M m)g即当32Y mr 时，电动机可以跳起来，(4)如图所示，在质量为 M的电动机上，装有质量为 m的偏心轮，飞轮转动的角速度为3 ,当飞轮重心在转轴正上方时，电动机

43、对地面的压力刚好为零.则飞轮重心离转轴的距离多大 ？在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大 ？取整体为研究对象，整体所受合力为( M+m g,具有向下的加速度 32r由牛顿第二定律的拓展 公式可知：2(M m)g(M m)g = mw r = r2mw当偏心轮的重心转到轴的正下方时，电动机对地面的压力最大。整体所受合力为n- (M+m g,具有向上的加速度 32r由牛顿第二定律的拓展公式可知：2N _ (M m)g = mw r = N = 2( M m)g2、水平面内：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度3变化时，判断物体离心或向心运动(半径变化)的趋势，并根据物体的受力情况，判断物体受某

44、个力是否存在(特别是接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)，以及这个力存在时的方向。(1)拉力：假设法：假设两绳均受拉力作用，所得值为正，证明绳子拉紧；所得值为负，证明绳子松弛。例：如图所示，直角架 ABC的AB边为竖直杆，BC边为水平杆，B点和C点各系一 细绳，共同吊着一个质量为1kg的小球于 D点，且 BDLCD / ABD= 30o,BD=40cm,当直角架以AB为轴，以10rad/s的角速度转动时，求细绳 BD CD所受拉力各为多 2、 少？ ( g=9.8m/s )解：，1 cos300+T2 sin 30= mgT1 sin 30 0-T2 cos30 0 = mH 2l sin 30

45、.T1 =5由+10, T2 =5-10出 T2 0 ,，CD绳已松弛，T2 =0cos 6 = mgT1 sin - m 2l sin -T1 =40N极限法：分别求出一绳拉紧且另一绳松弛的临界条件。例：如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长 L=2m两端都拉直时与轴的夹角分别为 30与45 ,求：(1)球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？(2)当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？解：(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为3 1,则有Fx= F1sin30 = mw 12Lsin30 Fy=F1cos30 - mg= 0代入已知解得，1 = 2

46、.40 rad/s.AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为2,则有Fx= F2sin45 = mw 22Lsin30 Fy= F2cos45 mg= 0代入已知解得co 2= 3.16 rad/s.可见，要使两绳始终张紧，必须满足2.40 rad/s w BC ,所以 三 ,由牛顿第三定律可知，球A对AC绳拉力大于球 B对BC绳拉力。故绳AC先断。(2)弹力：例：如图所示，一根水平轻质硬杆以恒定的角速度3绕竖直OO转动，两个质量均为 m的小球能够沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为k的弹簧连接，弹簧原长为 l0,弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。0靠近转轴的球与轴之间也用

47、同样的ALb0L解：当两球绕轴 OO做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用l、L表不 A、B两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程：对A球有：mo2l = k(l -l0) -k(L -l0)对B球有：m。中 + L) = k( L - l0)由、联解得(1 -l 二22, 3m , m 、21 ()k kL 二, 3m 1k2m k2-()l00mg(3)支持力：例：一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上， 其轴线沿竖直方向， 母线与轴线之 间的夹角为0 = 30。，如图104所示。一长为L的绳(质量不计)，一端固定在 圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为 m的小物体(可

48、看做质点)。物体以速 度v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。当求绳对物体的拉力;当求绳对物体的拉力。解：当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时，临界条件是圆锥体对物体的 弹力为零，此时物体刚好与圆锥面接触但不发生形变。而当速率变大时，物体将脱离圆锥面，从而导致绳 对物体的拉力大小和方向都要变化。因此，此题的关键是先求出临界状态下线速度的值。以小物体为研究对象，假设它与圆锥面接触，而没有弹力作用。受力如图所示，根据运动定律得：TcosTsin依mg2=mvLsin 二解、得：v =. -3gLTsiny因为vi = -JgLv ,所以物体m脱离圆锥面，设绳子与轴线的夹角

49、为。，受力如图所示，由运动定律得:T2sin()=2v2m:L sin 二T 2cos()= mg(6解、得绳子拉力：T2 = 2mg(4)摩擦力：例：如图所示，用细绳一端系着的质量为附0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O吊着质量为n=0.3kg的小球B, A的重心到O点的距离为0.2m.若A与转盘间的最大静 摩擦力为f=2N,为使小球B保持静止，求转盘绕中心 O旋转的角速度 的取值范围.(取 g=10m/s2)A需要的向心力由绳拉力和解：要使B静止，A必须相对于转盘静止，即具有与转盘相同的角速度。静摩擦力合成：角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆

50、心 Q角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心Q对于B： T=mg2对于 A T f = Mr 12T - f = Mr 2解得 01 =6.5rad/s , 02 =2-9rad/s所以 2.9 rad/s 一 -6.5 rad/s11, A的质量为2m, B、C质量均为 m, A、B练习：A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为 离轴R, C离轴2R,则当圆台旋转时（设 A、B、C都没有滑动）二ab：二 acC的向心加速度最大B的静摩擦力最小C.当圆台转速增加时， C比A先滑动D.当圆台转速增加时，B比A先滑动解析：对 A 选项：a =52r” 8a =b =c .二

51、 aa对B选项：静摩擦力提供向心力，则有：:Ba =b =5c. Fa =Fc Fb对C、D选项：比较哪个物体最先打滑，即比较达到最大静摩擦时，哪个物体角速度最小，则有:&a =环Ec,所以C最先打滑。答案：ABC【巩固练习】1、圆环在水平面上匀速滚动，跟平面间没有相对滑动，如图所示.环心对地的速度为v,环上的点相对于地面的最大和最小速度分别为（A.2 v 和 vB.2 v和零v和零D.1.5 v 和 0.5 v 解析：环上任意一点的速度是相对圆心的匀速圆周运动和随环向右的直线运动的合速度。因此，在最高点v0=0,在最低点v0=2v。 答案：BB齿轮绕A齿轮运动半周，到达图同类变式如图所示，A

52、、B是两只相同的齿轮，A被固定不能转动。若 中的C位置，则B齿轮上所标出的竖直向上的箭头所指的方向是（A.竖直向上 B.竖直向下C.水平向左 D.水平向右1解析：B齿轮绕A齿轮的弧长l =父2冗m 2r =2nr ,相当于转过一圈。 2答案：A2、质量M的物体，用细线通过光滑水平平板中央的光滑小孔，与质量为 mP m2的物 体相连，如右图所示. M做匀速圆周运动的半径为 rl,线速度为vl,角速度为3 1 .若将m1和m2之间的细线剪断，M仍做匀速圆周运动，其稳定后的半径为2,线速度为v2角速度为2,则下列关系正确的是（）A.勺=。，型 口，的 的Ct rH tv2 环2解析:F = m1g

53、r1 r1?90 , v2 v1 =2 ；。答案：Ba到最低点b的过程中3、如图所示，木板 B托着木块A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置A 、B对A的支持力越来越大B、B对A的支持力越来越小C、B对A的摩擦力越来越大D B对A的摩擦力越来越小解析：把从a到b任一位置的加速度分解到水平方向和竖直方向上，与水平方向的夹角为。：f =macosi,mg-N = masin 二= N = mg-masin 二由于。增大，所以 cos。减小，sin。增大，所以摩擦力减小，支持力减小。4、如图所示，长为2L的轻绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为 L的A、B两点，一个质量为 m的光滑 小圆环套

54、在绳子上，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆环以A为圆心在水平面上作匀速圆周运动， 则此时轻绳上的张力大小为 ;竖直棒转动的角速度为 。解析：设小圆环做圆周运动的半径为r,则由如图所示可知：zT A2223,AB LL +r =(2Lr)，r=L, cos8 =0.8of- b ；4 OA 2L-r匚可一一由于小球在水平内做匀速圆周运动：F A = FBFa sin Fb=mr2Fa cos 二-mg5=mg , 45答案：4 mg;5、如图所示，半径分别为 r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴 。无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳.开

55、始时圆盘静止， 质点处在水平轴 。的正下方位置.现以水平恒力F拉细绳， 使两圆盘转动，若恒力F=mg,两圆盘转过的角度 0 =时，质点m的速度最大.若圆盘 转过的最大角度0 =Tt /3 ,则此时恒力F=。解析：质点m速度最大时，拉力 F和重力mg对转动轴。的力矩是平衡的，故满足：Fr =mg 2rsin日 而F =mg ,即日=;在第二中，外力 F做的功增大了物体 6的机械能，力F作用点的位移为s = r g ,所以满足：Fr - = mg 2r(1 - cos-),解得：F =驷 33二答案：三，3mg6 二6、如图所示，吊臂钳子夹着一块m= 50kg的砖块，它们接触处的动摩擦因数为=0.

56、4,绳索悬点到科块重心白距离L = 4m ,在下列两种情况下，为使砖块不滑出，钳口对砖块的压力至少多大 (g取10m/2)?(1)臂使砖块以4 m(的速度匀速向右运动。(2)吊臂突然停止运动。解：（1） mg =2f =2%(2) 2f -mg =2f -2Fn2v=m mgLFn =875N7、绳系着装有水的水桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量 F 0. 5 kg ,绳长L=60 cm,求：最高点水不流出的最小速率.水在最高点速率 v=3 m/s时，水对桶底的压力.mv2解：水在最高点不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力即mg T最小速度 V0= JgR = 4gL = 2.4

57、2 m/s当水在最高点的速率大于 V。时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F:2 V由牛顿第二定律：F+mg=mL得：F= 2. 6 N由牛顿第三定律知，水对水桶的作用力F = - F= - 2. 6 N,即方向竖直向上。当速度大于临界速率时，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底对水产生向下的 压力。8、如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P,与穿过中央小孔 H的轻绳一端连着，平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a ,角速度为5 1的匀速圆周运动，若绳迅速放松至某一长度b而拉紧，质点就能在以半径为 b的圆周上做匀速圆周

58、运动，求质点由半径a到b所需的时间及质点在半径为 b的圆周上运动的角速度？ TOC o 1-5 h z 解析工质点在半径为。的做周上以角速度则做匀速圆周运动，其线速度为 外=她。.突然松堀后向心力消失质点沿切线方向飞出以外做匀速直线 运动，直到线被拉直，如图6.8 - 5所示.质点做匀速直线运动的位移为=I小丁，则质点由半径。到s所需的时间为久= 叫*:2与Q 当线刚被拉直时球的速度为如=时鼻,把这一速度分解为垂直于绳的速度曲和沿绳的速度在绳绷紧的过程中/减为零质点就以跳沿着半 L1I径为8的圆周做匀速圆周运动.根据相似三角形得出=*，即出工签,则一 7质点沿半径为小的圆周做匀速圆周运动的角速

59、度为9、如图所示，有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为 m和m的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为 R的轨道做匀速 率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态.若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？砌解法一：（守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为 根据牛顿第二定律有：R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为vo,2 v (m1 m2)g = M 当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小， 不足以维持小王在半径为 R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线

60、方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小.假设物体m上升高度为h,小球的线速度减为 v时，小球在半径为（ 做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有F+h）的轨道上再次2一 vm1g = M R h再选小球M物体m与地球所组的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体 由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒.选小球做匀速率圆周运动的水平面为零势面,为R的轨道做匀速率圆周运动时物体m到水平板的距离为 H,根据机械能守恒定律有：m上升的过程, 设小球沿半径12. .12Mv0 -m1gH = Mv -m1g(H -h)以上d（2）（3）三式联立解得：v =(3mi