22.3实际问题与二次函数2最大利润

1、二次函数y=ax2+bx+c(a0)对称轴顶点坐标最大利润与二次函数当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值学习目标：能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大（小）值学习重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？问题探究（1） 当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？（2） 当每

2、件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？（3） 最多能涨多少钱呢？ （4）当定价为x元，涨价多少元？每件的利润是多少？每星期销量是多少？利润 y 呢？某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？问题探究思考： 题目主要涉及哪些变量？哪个量是函数？哪一个量是自变量？利润求法每件利润=售价-进价.总利润=每件利润销售数量.定价；涨价；销售数量；利润（每件利润、总利润）总利润=销售额成本问题探究解法1：设每件涨价x元，每星期

3、售出商品的利润为y元，则y =(60+x)(30010 x)40(30010 x） 【或y=(60+x40)(30010 x）】即y=10 x2+100 x ，其中0 x30.100，当x= =5时，即定价为65元时，y最大值=250+500 =6250（元）。 可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.问题探究解法2：设每件定价x元，每星期售出商品的利润为y元，则y=(x40)30010(x60)=(x40)(90010 x)=10 x2 x3600，其中60 x90. 1

4、00，当x= =65时，y最大值=6250（元）。 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？变式训练解法1：设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则y=(60 x40)(300+20 x）=(20 x)(300+20 x)=20 x2+100 x ，其中0 x20.200，当x= =2.5时，即定价为57.5元时，才能使利润最大，最大利润为5800元。 变式训练解法2：设每件定价x元，每星期售出商品的利润为y元，则y=(x40)300+20(60 x)=

5、(x40)(150020 x)=20 x2 x60000，其中40 x60.200，当x= =57.5时，才能使利润最大. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，由前面我们对两种情况的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？回归教材归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :求出函数解析式和自变量的取值范围.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值.检查求得的

6、最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 .解这类题目的一般步骤例（2013山东青岛，22，12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？（3）商场的营销都结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利

7、润更高，并说明理由 能力挑战例（2013山东青岛，22，12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；解:（1）w(x20)25010(x25) (x20)50010 x 10(x20)(x50)10 x2700 x10000 易于画草图（25x50）例（2013山东青岛，22，12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250

8、件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？解：（1）w(x20)25010(x25)10(x20)(x50)10 x2700 x10000 （2）w10 x2700 x1000010(x35)22250，当x35时，w取到最大值2250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元 （25x50）例（2013山东青岛，22，12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是

9、250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？（3）商场的营销都结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 解：（1）w(x20)25010(x25)10(x20)(x50)10 x2700 x10000 （2）w10 x2700 x1000010(x35)22250，当x35时，w取到最大值2250

10、，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元 （3）w10(x35)22250，函数图像是以x35为对称轴且开口向下的抛物线对于方案A，需20 x30，此时图象在对称轴左侧（如图），w随x的增大而增大，x30时，w取到最大值2000当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元 （25x50）（3）商场的营销都结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 解：（1）w=(x20)25010(x25)=10(x20)(x50

11、)=10 x2700 x10000 （3）w10(x35)22250，函数图像是以x35为对称轴且开口向下的抛物线对于方案A，需20 x30，此时图象在对称轴左侧（如图），w随x的增大而增大，x30时，w取到最大值2000当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元 两者比较，还是方案A的最大利润更高 （25x50）（2014内蒙古呼伦贝尔，25，10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了，两种营销方案.方案：每件商品涨价不超过5元；方案：每件商品的利润至少为16元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 （2014辽宁丹东，24，10分）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价