高三数学第一轮复习排列与组合苏教版

1、高三数学第一轮复习：排列与组合苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：排列与组合.教学目标：.进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法, 提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想.正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式。.会区分项的系数与项的二项式系数。.掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用。.熟练掌握二项式定理的基本问题一一通项公式及其应用。.知识要点：(一)排列与组合.排列的概念：从 n个不同元素中，任取 m (mWn)个元素(这里的被取元素各不相 同)按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列。.排列数的

2、定义：从 n个不同元素中，任取 m (mWn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号 A表示。.排列数公式：Am =n(n1)(n2)|(nm+1) (m,nwN*,mEn).阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做 n的阶乘规定0!=1.n!.排列数的另一个计算公式：Am=.(n -m)!.组合的概念：一般地，从 n个不同元素中取出 m (mWn)个元素并组成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合.组合数的概念：从n个不同元素中取出 m (mn )个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数.用符号C：表示.8.组合数公式:C”n

3、(n-1)(n-2)H(n-m 1)m!或cmn!m!(n -m)!(n,me N”,且m En)。.组合数的性质1： cm=c：引.规定：c0=1；.组合数的性质2： cn=cm+cnm，(二)二项式定理1,二项式定理及其特例:(1) (a+b)n =C：an +C：anb+|+C：anbr +| + C：bn(nw N*),(2)(i+x)n =1+Cnx+|+C；xr +| + xn。2,二项展开式的通项公式：书=C；anbr (r = 0,1,2，n)。3,常数项、有理项和系数最大的项：r的限制；求有理项时要求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 注意到指数及项数的整数

4、性。4,二项式系数表(杨辉三角)(a +b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。2n rCn ,，Cn . Cn可以看成以为自变量的5,二项式系数的性质：(2+坊”展开式的二项式系数是 C：, C：,函数f(r),定义域是0,1, 2,|,n,例当n=6时，其图象是7个孤立的点(如图)20-: TOC o 1-5 h z J * - * * 14-：-r:-f二* 1 :7% TOC o 1-5 h z 6-/4匕 :二 r：Ol 36r(1)对称性，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(cm二c：e)直线

5、r =口是图象的对称轴。2(2)增减性与最大值:n -1当n是偶数时，中间一项 Cn2取得最大值；当n是奇数时，中间两项 Cn2 , Cn2取得 最大值。(3)各二项式系数和：(1 +x)n =1 +x + I|+C：xr +川+ xn,令 x =1 ,则 2n =C： +C： +C； +III + C： +UI + Cnn【典型例题】例1.分别求出符合下列要求的不同排法的种数6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；6人排成一排，甲、乙必须相邻；6人排成一排，甲、乙不相

6、邻；6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边(甲、乙、丙可以不 相邻)。解：(1)分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为A =7201甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人选，有-5.1.5A5种选法，故排法种数为 A4 A5 =480(3)有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为a3；乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有A4种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有a4种选法，其余两棒次不受限制，故有a4 A：A2种排法，由分类计数原理，共有 A + A4 A4 A2 =252种排法(4)将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他

7、4人一起作全排列共有 &A； =240种排法(5)甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有 AA (或用6人的排列数减去问题(2)后排列数为 A -240 =480)(6)三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法 C；A； =120种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻例2.假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取 5件，求下列抽取方法各有多少 种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品。解：

8、（1）没有次品的抽法就是从 97件正品中抽取5件的抽法，共有C；7 = 64446024种（2）恰有2件是次品的抽法就是从 97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有 C；7C； =442320种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C；7C；种。第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有 C；7c；种。按分类计数原理有 C；7C； +c97c； =446976种。点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的 元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件

9、（以保证至少有 2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取 3件的抽法，那么所得结果是 C，C：8 =466288种， 398其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A、B、C,第一步先抽 A、B,第二步再 抽C和其余2件正品，与第一步先抽 A、C （或B、C）,第二步再抽B （或A）和其余2件23正品是同一种抽法，但在算式C3 c98中算作3种不同抽法。例3.有13名医生，其中女医生 6人.现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医 疗小组至少有2名男医生，同时至多有 3名女医生，设不同的选派方法种数为P,则下列等式（1）c1-c7c：；c；c； +c；c； +c；c； +c；514

10、5C13 -C7c6 - C6 ；其中能成为P的算式有 种.分析： 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法，故为组合问题。用直接法解：选派5名医生分为2男3女，3男2女，4男1女，5男这四类，故（2）正确；5用间接法解：不考虑限制条件，选派万法有C13种，需剔除的有1男4女，5女两类，故（3）正确。因此结论为：（2） （3）.点评：本例要特别防止误选(4).例4.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品，一一进行测试，到区分出所有次品为 止.若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有 种解：在各次测试结果中交换其中两者的顺序，成为两种不同的测试方法，因此是排列问题 . 故所有测试方

11、法是6件不同正品取出1件与4件次品排成一列且最后一件是次品：C6A1A4 =576 种.例5.某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 .解：实质是7个节目的排列，因原定的5个节目顺序不改变，故排这 5个节目是一个组合，有 C；种方法，再排新插入的两个节目有A；种方法，故C；A；=42.点评：分清是排列还是组合问题排列与组合的根本区别是元素之间是否有顺序.若元素之间交换次序后是两种不同的情形，则是排列问题；若元素之间交换次序后是相同的情形， 则是组合问题；另外若元素之间已经规定了顺序，则仍是组合问题。6个不同的瓶子

12、中展出,)种.如果甲、乙两种种子例6.从10种不同的作物中选出 6种放入 不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有(a. MNc；Ac8Ac8A1种有c8种方法，再排解：先排第1号瓶，从甲、乙以外的 8种不同作物种子中选出其余各瓶，有 8种方法，故不同的放法共有 C8A5.故选Co点评：这样解分步合理、过程简捷.但本题更容易想到先从 10种不同的作物种子中选出6种，然后排列.由于选出的6种种子中是否含甲、 乙不确定，导致后继排列也不确定， 这时 就要分类了 .选出的6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为 C；a5a5种，选出的6种种子中，同时含甲与乙的不同放法有 CAfAj种；选出的6种种子中，

13、都不含甲与乙的不同放法有A6种.故不同的放法共有2c；a1a5 +c；a2A4 + a6 =c8A1种.例7.求不同的排法种数：6男2女排成一排，2女相邻；6男2女排成一排，2女不能相邻；4男4女排成一排，同性者相邻；4男4女排成一排，同，f者不能相邻 .解：(1)是“相邻”问题，用捆绑法解决：a2a7.(2)是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解.6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：解a2.另法：用捆绑与剔除相结合：a8 a2A.（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：AAA2. 是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解：A4A3A1.i例8.求x2 I展开式中x9的系数18_3

14、rX3212 2xJ令18-3r =9,则r =3,故x9的系数为：C91 i 2）r n _r _ r_ n点评：Cna b是（a+bj展开式中的第r+1项，r =0,1,2,n注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是 C；,第4项x9的系数为C；11：二者并不相同。 2J4例 9.已知（2x + a3 ） = a0 +a1x + a2x + a3x + a4x ,求（a。+a2 + a4 2 一（a1十% f。解： 令 x =1 时，有（2 + 氏 f = a0 + a1 +a2 + a3 + a4令 x = 1 时,有（2 十n3，= a。 a + a2 -a3 +a

15、4=-1 4 =1fa。,a1a2a3a4a。-a1 .a2- a3a4（a。+a2 +a42 （a1 +a3 f =（2 +3 ） （-2 + 3 ）点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜， 特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的 特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三。例10.求（x+2y 7展开式中系数最大的项解：设第r+1项系数最大,丁4项系数占Tr项系数4项系数之电项系数c72r之C；2r，即J 7072r 之C；*2T7!2r7!2r7!)!2rr -1 ! 7-r 1 !7!21r!

16、7 -r !r 1 ! 7 -r -1 !21里r 8-r7 - r r 1又 0 Mr 三7, r N,. r = 5故系数最大项为T6 =C5x2 25y5 = 672x2y5点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同，二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最大；当 n为奇数时，中间两项 - 1 2系数相等且为最大。一T4的二项式22【模拟试题】1.将3封不同的信投入 4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（34,34c. a3d. c3.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得 3分；平一场，得1分；负一场，得0分; TOC o 1-5 h z 一球队打完15场，积

17、33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种.若 A3i =6C：,则 m=()A. 9B. 8C. 7D. 6.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A. 24 种B. 18 种C. 12 种D. 6 种.从6台原装计算机和 5台组装计算机中任意选取 5台，其中至少有原装与组装计算机 各2台，则不同的选取法有 种（结果用数值表示）.在一块并排10垄的田地中，选择 2垄分别种植 A、B两种作物，每种作物种植一垄， 为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于 6垄

18、，则不同的选垄方法共有 种。（作数字作答）.有n（n=N 肿不同的产品排成一排，若其中 A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则n =.将3种作物种植在如图的 5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植 同一种作物，不同的种植方法共有一种（以数字作答）.把6名同学排成前后两排，每排 3人，则不同排法的种类有（A. 36B. 120C.7206个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）A. 288B. 480C. 60012名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 方案共有（）C4 c 4c 44 c 4c 44 c 4 3 r12C8 c4 种B. 3 C12C

19、8 c4 种 C. C12C8 A3 种D.1440D. 6404人，则不同的分配D.A；.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲、 TOC o 1-5 h z 乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）种A. 280B. 240C. 80D. 96.用1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成比 20000大，且百位数不是 3的，无重复数字的个 数是（）A. 64B. 72C. 78D. 96.从某班学生中，选出四个组长的不同选法有m种，选出正、副组长各一名的不同选法有n种，若m： n=13 : 2,则该班的学生人数是（）A. 10B. 15C. 20D.22.如图所示，为某市的四个小镇，现欲修建三条公路，将这四个镇连接起来，则不同的 修路方案种数为（） A. 6B. 12C. 16D.24.从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数，共可得到不同的对数值（）A. 53 个B. 55 个C. 57 个D. 59 个. 8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各 4人，分别进行了单循环赛， 每组决出前两名，再由每组的第一