2018年江苏高考第13题(三角形中最值)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

1、2018年江苏高考第13题(三角形中最值)2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析一、典例分析，融合贯通典例1.【2018年江苏高考第13题】在AABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,ZABC二120,ZABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为.解法一：【答案】9如图，由题可知S=S+S,AABCABCDAABD由角平分线性质和三角形面积公式得iacsiDliOiaxlxsiueO+lcxlxsineO0化简得ac=a-c丄+丄=1；acTOC o 1-5 h z1194zi HYPERLINK l bookmark10 o Current Doc

2、ument 因此斗a+c=(4a+cX+)=5+5+2J=9, HYPERLINK l bookmark12 o Current Document acacc当且仅当c=2a=3时取等号，则斗+亡的最小值为9.点评：本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查等价转化思想的应用以及分析问题、解决问题的能力、运算求解能力，难度较大.解法二：由面积得：acsin120。二21asin60。+csin60。2化简得a+c=acnc=(0a2：4(a-1)+5二9a-1(a-1丿Ya-113当且仅当4(a-1)=，即a二,c二3时取等号。a-12点评：在求最值中同样运用了均值不等式，同解法一比较

3、，只是体现了消元思想和不同的拼凑途径。均值不等式的运用特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.解法三：如图宙余弦定理得：AD=7+1-CD=V+l-o由角平分线定理可得:閤锚眄需化简得：(a-c)(a-c-ac)=).当口=亡日寸：易得：a=c=2?贝i4a+=ID当口讹时，可得r+“皿，下同解法一点评：解法对题目条件的切入点，选择在余弦定理和角平分线性质，从而建立关于a,c方程，最终借助均值不等式求最值。解法四：113c*如图以B为坐标原点建立直角坐标系，则d

4、(22)5a(-2，2c),C(a,0)uuur仝c)22由向量共线得：(2+2)-=(込三c)(a+c)222uuu1c3.；4(a1)-(c1)2x2=4可得：4a+c=4(a1)+(c1)+54+5=9。3当且仅当4(a1)二c1,即a二-c二3时取等号。2点评：解法对题目条件的切入点，选择在建立坐标运用向量共线，从而建立关于a,c方程，最终借助均值不等式求最值。解法五：由角平分线性质可得：+)阿BC口由A3D3C三点共线，可得：-+-=1,即：期门+巧=皿一ca式两边平方得：1=汩(1+1+2cos120)=汩=1二兄=1_所以可得r+zg下同解法一-点评：解法从角平分线的向量结论切入

5、，结合三点共线，从而建立关于a,c的式子，最终借助均值不等式求最值。解法六：如图过D点作DEPAB交CB于点E.-DECE1a-1则DE=1，由二n二，化简可得a+c=ac,下同解法一.ABBEca点评：解法从角平分线及600入手，巧妙构图，建立a,c的关系式，最终借助均值不等式求最值。二方法总结,胸有成竹高考对三角形中最值问题的考查，不仅需要用正余弦定理与三角函数性质，还涉及到基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的综合分析能力、准确的计算能力，才能顺利解答。解决三角形中最值问题的基本思路：（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求

6、函数的值域；（2）利用均值不等式求得最值。基本知识与基本方法【基本知识】1）正弦定理：abcsinAsinBsinC(2)余弦定理：a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c22accosB,C2=a2+b22abcosC.b2c2a2a2c2b2a2b2c2余弦定理可以变形为：cosA=bc,cosB=ac,cosC=JB=2absinC=2bcsinA=2acsinB4）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少；5）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系aboABosinAsinBnc

7、osABocosABosinAsinB仅在一个三角形内有效。【基本方法】类型1求三角形面积的最值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定选用合适的公式；第二步通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决；第三步得出结论.类型2求三角形中边或角的最值(取值范围)解题模板：第一步通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；第二步利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化三角函数；第三步得出结论.三.精选试题，能力升级1.【2018兰州模拟】AABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,

8、b,c，若a2+b2二2c2,则cosC的最小值为(ABCD【答案】C【解析】叮?+&=2c?:.COSC=、labAab4ab2当且仅当a=b时取等号.故C正确.2.【2018湖北襄阳市联考】在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若a二J3,A二才,则b+c的最大值为()A.4B.3爲C.2、运D.2答案】C兀b2+c23【解析】由余弦定理得：cos=，整理得：b2+c2二3+bc,32bc贝y有(b+c)2=3+bc3+(c+b.)2即（b+c）212，所以b+c2J3，当且仅当b=c时取等号所以b+c的最大值为2爲，故C正确.a3.【2018宝鸡模拟】已知AABC是锐角三

9、角形，若A=2B，则的取值范围是（）bA.（2打）B.（迈,2）C.（1,寿）D.（1,2）答案】AasinA【解析】由题意得，在AABC中，由正弦定理可得万=而，又因为A=2B，asinAsin2B所以b=岚=石nB=2cosB，又因为锐角三角形,所以A=2Bw（0,）且兀一（A+2B）=兀一3Be（0,），22所以三B丁，所以2cosBe（、：2,：3），所以：的取值范围是（：2,、：3），故选A.64b4.【2018福建省数学基地模考】在MBC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为孚6a，cb则厂+的最大值是（）bcA.8B.6C.3P2D.4答案】D【解析】由题?+

10、?=艺拦，联系余弦定理得：5/=沪bcbe2bc又*口口=*氐血虫很卩?=2Vsiu圮得：cosJ=b2+c2-23bcA整理得：b2+c2=2bc(cosA+sinA)?贝i_J：-+=2(cosJ+-j5nA)=4-n(A+)?当A=时，取得最犬值4一bc635.【2018浙江临海模拟】若AABC的内角满足sinA+2sinB=2sinC，则cosC的最小值是答案】6迈4解析】cosC=2aba+：2b、a2+b2一()2=22ab3a2+2b2一2：2ab2、6ab一2：2ab2ab+abaab12，当且仅当4a=b=2；3,c=6时，等号成立，即ab的最小值为12.7.【2018兰州模

11、拟】已知AABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tanBb4也即sinJcos5=2sinCeosJsinBcosA,故sin(J+5)=2sinCeosJ,tanA2c-b-二一:，则AABC面积的最大值为.ABAC2也即2cosJ=1JiA=由正弦定理可得a=2血/=曲，再由余弦定理可得3=仗+可3初眾卩3+3初=+疔4cb,所以bc，故S=bcsinA2.2tanAtanBtanC,ntanAtanBtanC8,即最小值为8.10.【2018大连模拟】若AABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C,则SiB鈕B的取值范围是.【答

12、案】（1,2.【解析】由题宀叫由余弦定理得：3胡=心上=土竺上竺生土竺=12oc2ac2ac2所0B-,贝ijsin5+cos5smB+-）,且-+-cosC=0即C=f=9科=6“&tcos4=9；*氐呂in/=6仏丄根据直角三角形可得血/斗cosJ=|,bc=15?3卫=斗，以./C所在的直线为益轴，以.月C所在的直线为P轴建立直角坐标系可得C(030)3A(530)(03斗)，尸为线段曲上的一点，则存在实数兄使得CP=CA+(1-A)CB=(5A3斗一4A)(OA2J12xy,解得xy1所以cosB的最小值为2。所以cosC=2ab7(a+ba2+b2一I2丿2ab11一一42当且仅当a=b时，等号成立.1故cosC的最小值为-.厶15.【2018延安中学模拟】AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；（2）若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值.1【答案】（1）证明见解析；（2）-.【解析】gb,