线性系统理论第四章线性系统的能控性和能观测性分解课件

1、第四章线性系统的能控性和能观测性 重庆大学自动化学院 柴毅 魏善碧2引言能控性和能观测性是系统的两个基本结构特性能控性和能观测性对于控制和估计问题的研究，有着很重要的意义。引言学习目标把握能控性和能观测性的概念正确理解线性定常和时变系统能控性和能观测性并掌握其主要判据掌握能控性和能观测性判据证明方法正确理解能控和能观测规范型掌握结构分解的基本概念和主要结论4引言主要内容能控性和能观测性的数学定义线性系统能控性和能观测性的判别准则完全能控、完全能观测的规范型系统结构分解引言重点难点能控性和能观测性的定义和判别准则系统结构分解6第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义 4

2、.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解74.1 能控性和能观测性的定义 能控性 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质，与系统的内部结构和参数有关。 84.1 能控性和能观测性的定义 能控性定义 对连续时间线性时变系统 如果存在一个时刻 以及一个无约束的容许控制u(t) 使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)

3、=0 ，则称非零状态X0在t0时刻为能控。 如果存在一个时刻t1J,t1t0,以及一个无约束的容许控制u(t)，tt0,t1,使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf0，则称非零状态xf在t0时刻为能达。 能控性，能达性定义94.1 能控性和能观测性的定义 系统的能控性和能达性关系 对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价。 104.1 能控性和能观测性的定义 定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J ，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空

4、状态集合在时刻t0J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。 定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。 定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。 114.1 能控性和能观测性的定义 能观测性 该系统是不完全能观测的由于 可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。124.1 能控性和能观测性的定义 能观测性定义 对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果存在一个时刻t1J

5、 ，t1t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t) 0，tt0,t1，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。 13第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系

6、统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解144.2 线性连续时间系统的能控性判据证明: 充分性 为非奇异时，系统能控 根据能控性定义，系统是能控的 连续时间线性时不变系统： 完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 为非奇异。 采用构造法：构造相应控制输入u(t)为 结论1154.2 线性连续时间系统的能控性判据 必要性：反证法。 是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾由于是奇异的，则存在一个非零状态有 要使上式成立，只有

7、另外，由于系统完全能控，则有 可得 164.2 线性连续时间系统的能控性判据由于可得即表明， 反设不成立，为非奇异。174.2 线性连续时间系统的能控性判据 结论2对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQc=n 即，状态空间 中至少存在一个非零状态，使成立。184.2 线性连续时间系统的能控性判据 证明： 先证充分性。已知 ，欲证系统完全能控。 采用反证法。反设系统不完全能控，则据格拉姆矩阵判据知，格拉姆矩阵 为奇异。由此，可导出：将上式对时间变量 t 求导直至 (n-1) 次，再在导出结果中令t=0，可以得到进而，表上述关系式组为：基此并

8、由 ，可知判别矩阵 行线性相关，即 。矛盾于已知 ，反设不成立，系统完全能控。充分性得证194.2 线性连续时间系统的能控性判据再证必要性。已知系统完全能控，欲证 。采用反证法。反设 ，即 行线性无关。这意味着，状态空间 中至少存在一个非零状态，使成立：考虑问题一般性，由上式可导出：再据凯莱-哈密尔顿定理知， 均可表为 的线性组合。由此，可将上式进一步扩展为这意味着格拉姆矩阵 奇异，即系统不完全能控。矛盾于已知系统完全能控，反设不成立，必有 。必要性得证。于是，对任意 ，可以得到或可导出4.2 线性连续时间系统的能控性判据204.2 线性连续时间系统的能控性判据 n维连续时间线性时不变系统完全

9、能控的充分必要条件为： rankSI-AB=n,或为系统特征值 结论3证明：必要性。已知系统完全能控，欲证以上两式成立。 采用反证法。反设对某个特征值i，有rankiI-A，B0，使格拉姆矩阵 为非奇异。 结论1384.3 线性连续时间系统的能观测性判据证明：先证充分性。已知 非奇异，欲证系统完全能观测采用构造性方法。由 非奇异，可知逆 存在。因此，对区间0，t1上任意输出y(t)，可以构造：这表明，在 非奇异条件下，总可根据区间0，t1上任意输出y(t)构造出对应非零初始状态x0。根据定义，系统完全能观测。充分性得证。4.3 线性连续时间系统的能观测性判据再证必要性。已知系统完全能观测，欲证

10、 非奇异。采用反证法。反设 奇异，即反设存在某个n 1非零状态 ，使成立这意味着据定义知，非零状态 为状态空间中一个不能观测状态，矛盾于已知系统完全能观测。反设不成立， 非奇异。必要性得证。证明完成39404.3 线性连续时间系统的能观测性判据结论2 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵 满秩，即 rank Qo=n 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据结论3n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件：或为系统特征值41424.3 线性连续时间系统的能观测性判据结论4 对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能

11、观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。 结论5 对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是： 特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。 特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。434.3 线性连续时间系统的能观测性判据定义：令 完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为使“rankQk=n”成立的最小正整数。 结论6 对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为=n。 能观测性指数 444.3 线性连续时间系统的能观测性判据结论7 对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n

12、，输入维数为q，设rankC=m，则 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论8 对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m ，则系统完全能观测的充分必要条件是： 45第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解46线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是

13、下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵 结论1（能控性判据） 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据证明 充分性 为非奇异时，系统能控 说明系统是能控的 484.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据反证法 必要性 是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾由于是奇异的，则存在一个非零状态有 因此可以导出 另外，由于系统完全能控，则有 494.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据可得 即有 表明与反设条件矛盾。即 非奇异。因为 所以 504.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据结论2 （能控性判据） n 维连续时间线性时

14、变系统 设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J 完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，使 514.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据为非奇异矩阵 能观测性判据 结论1 连续时间线性时变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 524.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，使 结论2 53第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定

15、义 4.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解544.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性定义 离散时间线性时变系统 如果对初始时刻 hJk 和任意非零初始状态 X(h)=X0 都存在时刻 lJk, l h 和对应输入 u(k) ,使输入作用下系统状态在时刻 lJk 达到原点，即有 X(l)=0 ,则称系统在时刻 h 完全能控； 如果

16、对初始时刻 h 和任意非零状态 Xl，都存在时刻lJk,lh和对应输入 u(k)，使输入作用下由初始状态 X(h)=0 出发的系统运动在时刻 lJk 达到 Xl ，则称系统在时刻 h 完全能达。 时变系统的能控性和能达性判据554.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻lJk,l h，使格兰姆矩阵 为非奇异 564.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性结论2 若系统矩阵G(k)对所有 kh,l-1 非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能控的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵 为非奇异 若系统矩阵G

17、(k)对一个或一些kh,l-1奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。 若系统矩阵G(k)对所有kh,l-1非奇异，则系统能控性和能达性等价。 若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。574.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性结论3 系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l 0，使格兰姆矩阵 为非奇异。若系统矩阵 G 非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻 l 0，使格兰姆矩阵 为非奇异。若系统矩阵 G 奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。 时不变系统的能控性和能观性判据离散时间线性时不变系统 584

18、.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性结论4 n维离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必要条件为矩阵 满秩 若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n 。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。594.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性例设单输入线性离散系统的状态方程为 试判断系统的能控性，若初始状态 x(0)=2,1,0T，确定使 x(3)=0 的控制序列 u(0)，u(1)

19、，u(2) 。 解： 系统是能控的 604.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性令614.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性结论6 离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻lJk,l h,使格兰姆矩阵 为非奇异 时变系统的能观性判据结论7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l 0,使格兰姆矩阵 为非奇异 时不变系统的能观性判据624.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性结论8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为 满秩 结论9 若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的

20、初始状态 63第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解644.6 对偶性原理能控性判据能观测性判据654.6 对偶性原理定义：对连续时间线性时变系统 其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统其中，状态X为n维行向量,协状态为n维行向量 输入u为p维列向量,输

21、入为q 维行向量 输出Y为q维列向量,输出为p 维行向量 结论1 原构系统的状态转移矩阵 与对偶系统的状态转移矩阵 之间满足如下关系 4.6 对偶性原理 原系统和对偶系统d的系数矩阵之间具有如下对应关系 d系统矩阵 系统矩阵的转置d输入矩阵 输出矩阵的转置d输出矩阵输入矩阵的转置B(t)C(t)A(t)+uxy线性时变系统BT(t)CT(t)AT(t)+TTT对偶系统66674.6 对偶性原理结论2 设为原构线性系统，d为对偶线性系统，则有 完全能控 d 完全能观测 完全能观测 d 完全能控 证 不失普遍性，考虑连续时间线性时变系统。对此，利用格拉姆 矩阵判据，并利用 和 的系数矩阵对应关系，

22、即可证得：68第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解694.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 设连续时间线性时不变系统 对应的时间离散化系统 其中A的特征值 704.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件结论1 如果连续系统（A,B,C）不能控（不

23、能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G,H,C）也是不能控（不能观测）的。 证明：用反证法 设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则rankH,GH,G2H,Gn-1H=n 714.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件容易验证 为可交换阵，故 由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故 连续系统是能控的，矛盾。本定理也可叙述为： 如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。724.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件结论2 设连续系统（A,B,C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件

24、是： 不是A的特征值。其中k为非零整数 结论3 对时间离散化，使采样周期T的值 则时间离散化系统能控的充分必要条件是 eATB 为行线性无关 734.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件结论4 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期 T 满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。74 4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的

25、能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解第4章 线性系统的能控性和能观测性754.8 能控规范型和能观测规范型定义 一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式： 则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形 能控规范形和能观测规范形：SISO情形764.8 能控规范型和能观测规范型结论1 对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统 则通过变换矩阵 774.8 能控规范型和能观测规范型可将系统变换成能控规范形，即导出 784.8 能控规范型和能观测规范型定义 一个单输出系统，如果

26、其A、c阵具有如下形式： 则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形 794.8 能控规范型和能观测规范型其中结论2 对完全能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换 可导出 804.8 能控规范型和能观测规范型旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形 能控规范形和能观测规范形：MIMO情形81第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 线性连续时间系统的能控性判据 4.3 线性连续时间系统的能观测性判据 4.4 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 线性离散时间系统的

27、能控性和能观测性 4.6 对偶性原理 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 4.8 能控规范型和能观测规范型 4.9 线性系统的结构分解4.9 线性连续时不变系统的结构分解系统：不完全能控、不完全能观测系统的结构分为：能控、不能控部分，能观测、不能观测部分，或分为能控且能观测、能控不能观测、不能控能观测、不能控不能观测深刻了解系统的结构特性揭示状态空间描述和输入输出描述间的关系834.9 线性连续时不变系统的结构分解 连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。 能控性和能观测性在坐标变换下的特性结论844.9 线性连续时

28、不变系统的结构分解设不能控系统的动态方程为 x为n维状态向量，能控性判别矩阵的秩rankQc=rn。Qc=B|AB|An-1B任意选出其中r个线性无关列，记为q1,q2,qr。再在n维实数空间任意选取n-r个列向量，使其和q1,q2,qr为线性无关，构成非奇异变换T-1T-1=P=q1,q2,qr | Qr+1,qn 系统按能控性分解854.9 线性连续时不变系统的结构分解 对不完全能控系统，经非奇异变换 后，可导出系统结构按能控性分解的动态方程 于是可得能控子系统动态方程 不能控子系统动态方程 结论 864.9 线性连续时不变系统的结构分解例：已知 试按能控性进行规范分解. 解： 系统不完全

29、能控，取 874.9 线性连续时不变系统的结构分解能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 88设不能观测系统的动态方程为 4.9 线性连续时不变系统的结构分解 系统按能观测性分解x为n维状态向量，能观测性判别矩阵的秩rank Qo =mn。从Qo任意选出其中m个线性无关行，记为h1,h2,hr 。再在n维实数空间任意选取n-r个列向量，使其和h1,h2,hr 为线性无关，构成非奇异变换T-14.9 线性连续时不变系统的结构分解 对不完全能观测系统，经非奇异变换 后，可导出系统结构按能观测性分解的动态方程 结论 能观测子系统动态方程为 不能观测子系统动态方程 894.9 线性连续时不变系统的结构分解设系统（A,B,C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令 再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解 得到 系统按能控性和能观测性的分解914.9 线性连续时不变系统的结构分解经T-1变换后，系统的动态方程为 924.9 线性连续时不变系统的结构分解能控、能观测子系统动态方程为：能控、不能观测子系统动态方程为 不能控、能观测子系统动态方程为 不能控、不能观测子系统动态方程为 934.9 线性连续时不