积分上限函数及其导数课件

1、二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 莱布尼兹公式 一、引例 第二节微积分的基本公式 第五章 1贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉一、引例(Introduction) 在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .2贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数3贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉则变上限函数证:则有定理1. 若(微分形式)4贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉注:1) 定理

2、 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .5贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉例1. 求解:原式例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使解:原式 = c 0 , 故又由, 得6贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉 积分上限的函数是表示函数关系的一种新的方法.用这种方法表示的函数在物理,化学,统计学中有广泛的应用. 例如,以法国著名物理学家弗雷斯纳尔(Augustin Fresnel,17881827)的名字命名的弗雷斯纳尔函数：这个函数最初出现在光波衍射理论中，现在它已经被应用于高速公路的

3、设计Problem:研究函数S(x)性质：单调性，极值点，凹凸性，拐点，渐进线7贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉证8贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉9贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉证令10贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉Exercises:11贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉回顾: 在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .12贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉三、

4、牛顿 莱布尼兹公式(N-L Formula)( 积分形式) 证:根据定理 1,故因此得记作定理2.函数 ,则13贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.N-L Formula14贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉微积分学的创立：创作起始年代发表年代牛顿16651687莱布尼兹16751684 ，1686 17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了微分和积分的关系。他们的发现标志着微积分学的最终创立。英国派代表人物：泰勒，马克劳林欧洲大陆派代表人物：伯努利兄弟15贵有恒何必三更

5、眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉First published proof by Barrow (1670)Isaac Barrow16贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉Discovered by Newton (1666, unpublished); and by Leibniz (1673)Isaac NewtonGottfried Leibniz17贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉例5. 计算解:例6. 计算正弦曲线的面积 . 解:哇!:How easy it is!18贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉NOT

6、ATION 例6揭示了微积分基本定理的巨大威力当法国数学家Gilles de Roberval在年首次获得正弦和余弦曲线下方的面积，这个问题在当时是富有挑战性的，它需要非凡的智慧，但到年，当Barrow发现了微积分基本定理并被Newton和 Leibniz深入研究后，这类问题became very easy! ( see Example ) 评论：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的，复杂的东西抛到一边19贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉例7 求 原式例8 设 , 求 . 解解20贵有恒何必三

7、更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉例9 求 解由图形可知21贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉例10下面计算是否有错？解：注意到由定积分性质知Why?22贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉例11. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶 , 其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离? 23贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉Conclusions则有1. 微积分基本公式积分中值定理微分中值定理