量子力学的概率解释

1、引言：黑体辐射等实验的研究以及光谱实验的诞生，促使了人们对微观世界的不断认识。经典力学的局限性也日益显著，所面临的一些棘手的问题也越来越多。因此迫使我们不得不抛弃经典力学，而重新建立一个全新的力学体系量子力学。该力学体系描绘了微观世界中，微观粒子的运动行为及其力学特性。题目：量子力学的概率解释内容摘要：在经典力学中，我们知道物体的运动可由牛顿第二定律描述：；方程的解即为物体的动力学方程。由此方程的解：；在给定的初始条件下我们即可以知道任意时刻物体在空间所处的位置。而在微观领域中，微观粒子的运动并不适用于上述的方程所描述。实验证明他们在某一时刻出现在空间的哪一点上是不确定的。应该用方程来描述。比

2、如电子的衍射现象，海森堡的不确定性关系，还有薛定谔为批评哥本哈根学派对量子论的观点而提出的一个思维实验（薛定谔猫）。本文利用概率与统计的相关概念对量子力学做出一些相关的阐明，并对一些相关的问题（衍射，薛定谔猫等）进行说明。对单电子体系薛定谔方程作出较为详细的讨论，并加以例题进行进一步说明。关键词：量子力学、概率与统计、电子衍射现象、薛定谔猫、薛定谔方程概率统计理论的简单介绍：随机变量：是定义在样本空间上的实值函数；对面门一样本点，是一个实数。离散取值时，为离散随机变量。连续取值时，为连续型随机变量。本文只介绍连续型随机变量。概率密度函数：当为连续型随机变量时，例如一条直线AB如图：A 0 1

3、B假设现在有一个点落到了AB上，我们是否能问该点恰好落在处的概率是多少？显然这是毫无意义的问题，因为该点恰好落在任意一点上的概率均为零。（基本事件的个数为无穷）我们只能问该店落在某一区间上的概率是多少？例如；此时概率。因此设是一随机变量，如果存在非负函数使得对任意满足的有；就称是随机变量X的概率密度函数。显然应该具有如下性质：（1）；(量子力学中波函数的归一化性质)（2）于是；（3）对于数集；电子的衍射实验：将一束电子通过一定电压的加速器进行实验，若按照经典力学的观点这些电子应该打在光屏上的同一个点上。但是实验结果并非是如此，而是得到里类似于光波的衍射花纹。如将一个电子通过加速器，显然只能是打

4、出一个点，但是若将数百个电子依次通过加速器，同样可以得到类似的衍射图像。也就是说无论是电子依次通过加速器还是一起通过加速器同时进行，我们都可以得到相同的衍射花纹。这充分说明电子的衍射现象并不是大量电子运动时电子之间的相互作用所引起的，而是电子本身所具有的一种属性（波动性），因为将大量电子依次通过加速器时同样可以得到衍射花纹（或者将同一个电子重复进行多次试验）。既然一个电子不能形成衍射花纹，而大量电子或者单个电子重复进行多次试验，都可以得到相同的衍射花纹，这说明电子的这种波动性是统计意义上的概率性的(这一点就像统计学上研究一个醉汉走路时某一时刻离出发点的位移是多少一样，当实验中只有一个醉汉时，很

5、明显我们并得不到什么规律来。但是只要我们让这名醉汉重复多次进行试验或者让数十几名醉汉一起行走，并加以记录，我们就可以得到一系列的数据，这样我们必将会发现醉汉行走时在任意时刻他离原点的位移具有怎样的规律，因为这时我们可以得到一系列的概率分布。电子的衍射与此类似)，因此这是一种与概率相关联的波，它已经不同于机械波、电磁波。这种波的波函数的平方（）就是微观粒子运动时的概率密度函数。我们将电子在某一时刻出现在空间某点的坐标看成是一个随机向量，而所服从的概率密度分布即为，因此我们的任务就是解出上述方程从而得到。也就是说虽然在某一时刻电子在空间出现在某一点上是不确定的，但是我们可以确定电子出现在空间某一点

6、处的概率是多大。也就是说在这种不确定性之中隐藏了确定性，这个确定性指的是概率（电子的这种不确定性并非是无规律可循，它遵循一定的统计性规律，也就是说它是有概率的），这正是统计的意义，统计学的本质。对于是什么原因引起的这种不确定性，这应该取决于普朗克尺度范围上的时空的存在形式。对于单电子体系来讲有；所以即：；解出此方程中的即可计算出电子在空间某一范围上出现的概率是多少？即：；由于是一个关于三个变量的三元函数，它的图像是四维空间中的一个点集，因此很难将其的图像想象出来。故一般将上述方程转化为球坐标来解。；所以： ； 所以所以将转化为球坐标即为：；所以在球坐标下单原子体系薛定谔方程为：将上述方程进行分

7、离变量：令；然后方程两端同时除以得到如下方程：经重排并将偏微分改为全微分后为：此方程左项只取决于右项只取决于，与无关。所以要使 左端恒等于右端，只有两端都恒等于同一个常数方可。令此常数为；则得到两个方程：（1）及：此式左边只取决于，右边只取决于。所以要使左端恒等于右端，只有两端都恒等于同一个常数方可。令此常数为。于是又得到两个方程：（2）（3）现在只要分别解出方程（1）、（2）、（3）即可以得到然后再相乘在一起即可得到；得到之后我们便可以用来计算单电子体系中电子出现在半径为的球形区域内的概率为多少。所以有：(利用上式即可计算出单电子体系电子出现在一个半径为的球内的概率是多少。)下面用一个例题来

8、讲述量子力学是如何解决问题的，它的基本思路又是什么？（为简单起见，仅仅举一个一维空间的电子运动）题目如下：一维势箱中粒子的归一化波函数为：；式中 是势箱的长度，x是粒子的坐标 （a）分别画出n=1和n=2时粒子在势箱中的几率密度分布图；（b）计算粒子在区间出现的几率；（c）对照图形，讨论计算结果是否合理。 解：（a） ；由上述表达式计算，并列表如下：01/81/41/33/81/200.2931.0001.5001.7262.00001.0002.0001.5001.00005/82/33/47/811.7261.5001.0000.29301.0001.5002.0001.0000根据表中所

9、列数据作 图示于图1.17中。（b）粒子在状态时，出现在间的几率为：粒子在状态时，出现在间的几率为：(c)： 图像（态的概率密度函数图像）图像（态的概率密度函数图像）同样的道理对于多电子体系（假设体系有n个电子）由；可得：（为了计算简洁采用原子单位制），只要解出了此方程，就得到了电子的概率密度分布函数。由上述方程中算符的线性性质我们可以知道方程是一个线性微分方程，因此如果是上述方程的解，那么也是上述方程的解。证明：若是的一组解，则也是方程的解。因为是方程的解所以；。而，所以即且（量子力学的叠加态原理）因为对于每一个都有可能是体系的一个存在状态，而上述又证明了若是的一组解，则也是方程的解。这说明

10、如果是体系的可能存在状态，那么它们的线性组合也有可能是该体系的存在状态。正如薛定谔的思维实验中的那只猫，为讲述方便假设放射粒子只有两个可能的状态，用来描述。根据上述的量子力学的叠加态原理可知也有可能是该放射粒子的一个状态。该实验最终得出了一个死活叠加态的猫（这只猫半死不活），明显与我们的常规习惯是不符合的。但是我们引入了概率的相关概念就不会得出死活叠加态的猫（这只猫半死不活）。当放射粒子处于状态时，有；同理，处于状态时，有；处于的叠加态时，有 所以说这只猫处于死与活的叠加态指的是概率的叠加，并非是单独描述状态下的情况（当然并非是这种情况就不可能存在，放射粒子的行为无非就是三种情况，当粒子处于这三种不同的状态时，猫的生于死的概率随之改变）。而猫的生死情况仍然只有两个状态，要么是死要么是活。当处于态时，我们已经知道。 通过上述可以看出当一个粒子处于两个不同的叠加态上时，所对应的概率并非是简单的叠加，而是