投资学投资收益风险

1、 5从历史数据中学习收益与风险1均值与方差我们研究的是未来一段时间投资某一资产的收益率，显然它将是不确定的，它因受到许多因素的影响而随着有关条件和客观状态的变化而变化。因此，可以把收益率视为随机变量。作为随机变量，在不同的客观状态下，它将有不同的取值。如果我们能对客观状态发生的可能性即概率给予评估(例如通过对状态的分析，或通过主观概率试验法，或通过对历史数据的处理，建立模型，预测出各种状态可能发生的概率)，那么，就可以通过随机变量的数学期望和方差描述出所持资产可能的预期收益率和收益率对预期收益率的可能偏离。1.持有期收益率设P,P为某资产在第i期和第i-1期的价格，D为某资产在第i期的红利，则

2、其收益TOC o 1-5 h zii-1i率公式为：P-P+Dr二i-ii-iPi-1例如：投资者以每股10元的价格买入某只股票，一年后该股票每股价格上升到12元，期间上市公司每股发放股息0.2元。在不考虑税收的情况下，投资者这一年的收益为：那么投资者一年的投资收益为：r=22(%)i10在证券资产的分析和计算中，我们常常要使用连续复利收益率。连续复利收益率是指证券期末价格与上期末价格之比的对数，即iP+Dr=lni-iPi-1式中，r某资产第i期连续复利收益率；iP某资产第i期的价格；iP某资产第i1期的价格；i-1D某资产在第i期的红利。i12.2接上例数据。贝y：r=ln()=20(%)

3、。i102.期望收益率因为资产价格是随机的，因此收益率r是随机变量，它的取值为、，r2，rN，相应i12N的概率分布为P,p2，PN，即Pi=P(r=ri)，i=1,2,.,N，贝VE(r)=迓rpiii=1称之为收益率的期望值，简称预期收益。例：假设某公司未来一年的投资收益依赖于下一年的宏观经济状态，而宏观经济可能出现三种状态：繁荣、一般和萧条。在每种状态下，公司收益率分别为10%、5%和-7%。根据经济学家的预测，未来宏观经济出现繁荣的概率为0.3，出现一般的概率为0.4，出现萧条的概率为0.3。结合上述信息，计算该公司的期望收益率。根据上述公式可知：E(r)=工pr=0.3x10%+0.

4、4x5%+0.3x(7%)=2.9%iii=13资产的风险(方差)定义设随机变量y的期望E(y)5，且E(yE(y)25，则方差定义为b2=E(yE(y)2b2(r)=X(rE(r)2p=E(yE(y)2iii=1称之为收益率的方差(风险)。有时也记为b2。rb(r)=(r-E(r)2piii=1称之为收益率的均方差或标准差。也记为&。r例：假设投资者等比例持有两只股票ABC和XYZ。两只股票的收益率受到利率升降和原材料价格高低的影响。未来的经济状态有四种：利率上升，原材料价格上涨；利率上升，原材料价格下跌；利率下降，原材料价格上涨；利率下降，原材料价格下跌。如果每种经济状态发生的概率分别为0

5、.1，0.2，0.3，0.4,并给定每只股票在每种状态下的投资收益率件下表，计算两个资产收益率的方差，比较其风险水平。利率上升利率下降原材料价格上涨5%，10%7%，7%原材料价格下跌7%，12%10%，9%根据前面的计算结果我们知道两个资产的期望收益率分别等于8%和9.1%。这样一来股票ABC收益率的方差为：b2=工px(r8%)2ABCiii=1=0.1x(5%8%)2+0.2x(7%8%)2+0.3x(7%8%)2+0.4x(10%8%)2=0.03%进而有：b二1.732%ABC股票XYZ收益率的方差为：b2二工px(r-9.1%)2XYZiii=1二0.1x(10%-9.1%)2+0

6、.2x(12%-9.1%)2+0.3x(7%-9.1%)2+0.4x(9%-9.1%)2=0.0309%由此可得：b=1.758%XYZ4.统计估计值期望和方差是随机变量的两个重要的数字特征。特别对某些具有确定概率分布形式只含有均值和方差两个未知参数的随机变量，只要能估计出参数的取值，则随机变量的统计规律便完全确定了。在现实世界中从事证券资产投资时，很难得到收益率的概率分布，这时我们可以通过抽样，得到收益率容量为N的样本(r1，r2,rN),通过这个样本对随机变量的两个参数一均值与方差进行估计。均值和方差的两个具有良好的统计性质的估计量就是它们的样本均值r和样本方差歹2或标准差，它们由下述公式

7、给出。rr=迓r，b2=-迓(rr)2或b=1迓(rr)21/2NirN-1irN-1ii=1i=1i=1为什么是N-1，请思考！注意，解释如下：为了把某一个统计量作为未知的分布参数的估计值，我们希望这个估计值的数学期望等于该未知参数，具有这种性质的估计值叫做分布参数的无偏估计值。现在说明分布参数数学期望卩及方差b2的无偏估计值是否就是统计量r=吕乙及i=1统计方差s2=丄迓(r-r)2。为此，我们应该计算这些统计量的数学期望。Nii=1我们有E(r)=E匚迓r)=-1迓E(r)=学=卩NiNiNi=1i=1即统计量r是参数卩的无偏估计值。利用统计量r代替未知参数卩时，所产生的误差不是由随机因

8、素而产生的。所以选取随机变量的观测值的算术平均值作为参数卩的估计值是适当的。现在计算统计量s2的数学期望。我们将s2写成下面的形式：s2i=1r-卩）-（r卩）2is2=N瓦(L)2-N(尸-卩)瓦(一卩)+(尸-卩)2i=1ii=1存（ri-卩）2i=1因为E（r-卩）2=Dr=c2ii_1V1VNo2c2 HYPERLINK l bookmark54 E（r一口）2=Dr=D（乙r）=乙Dr= HYPERLINK l bookmark44 NiN2iN2Ni=1i=1所以得到：Es2=E（rp）2E（rp）2Nii=1Nc2c2NN由此可见，统计量s2不是参数o2的无偏估计值。如果用s2作

9、为o2的估计值，所产生的误差是由随机因素而产生的。为了得到参数O2的无偏估计值，我们只需把统计量S2乘以N-11N-1N-1ii=1，即统计量s2=s2=厶迓(r-r)2是参数o2的无偏估计值。当次数N无限增加时，两个统计量s2与s2之差将任意地小，并且都收敛于o2。15.协方差与相关系数预期收益率和方差为我们提供了关于单个资产收益率的概率分布性质方面的情况，然而它没有告诉我们有关资产收益率概率分布关联性质方面的情况。例如，当知道了一种资产的收益率，其他资产收益率会出现什么样的倾向？统计中的两种资产收益率之间的协方差，可以用来描述两种资产收益率之间的相互关系。设rA，rB分别为两种资产A，B的

10、收益率，则称o=cov(r,r)=E(r一E(r)(r一E(r)=E(rr)一E(r)E(r)rA,rBABAABBABAB为rA和rB的协方差。协方差在理论上取值可以从负无穷到正无穷，我们可以把它除以相应的两种资产收益率的标准差，将它变为有界量，从而引进U和f的相关系数，记为P心即PrA,rBcov（r,r）ABo（r）o（r）AB相关系数的值落在-1到1的范围内。显然cov(r,r)=pc(r)c(r)ABrA,rBAB并且p=1的充分必要条件是rA与rB存在线性关系rA=axrB+c。rrABABAB当p=1时，a0,称为rA与rB完全正相关，表示当受到相同因素变化的影响时，资rA,rB

11、AB产A与资产B的收益率发生相同方向、相应幅度的变化。当p=-1时，a：2/兀b2兀b绝对偏差又称为L1风险，标准差又称为L2风险。上述定理表明二者相差一个常数。8风险价值上述三种风险度量(方差、下半方差、绝对偏差)只是刻画了收益偏离预期收益的波动情况，而没有给出经济活动带来的货币损失。例如，投资者非常想知道未来可能的损失是多少，而不是收益的波动大小。下面将要介绍的风险价值就描述了在一定的投资期限内与给定的置信水平下，投资可能带来的最大损失。定义(风险价值VaR:valueatrisk):在一定的概率置信水平下，某一资产或资产组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。VaR是测量市场中的资产在

12、既定时段T和既定置信水平c上的最大化损失L的尺度。因为损失L和VaR用正数表示，所以有：P(LVaR)=1-c或P(LVaR)=c例如，假定时段为天，置信水平为99%,潜在最大化损失为100万元，那么用VaR的语言来说就是：“在明天1天内，资产的最大损失超过100万元的概率仅为1%”或“在明天1天内，我们有99%的把握，资产的最大损失不会超过100万元”。假定资产价格的变化是风险因子的线性函数，资产价格遵循正态分布。那么资产或组合资产的最大化损失可以用下面的公式计算：VaR=zbT其中z是给定一定置信水平对应分布的分位数或临界值；T是持有期，一般按天算，b是常数，表示资产或组合回报的日波动性。

13、分位数的大小与VaR的置信水平有关。置信水平c可以表示为随机变量小于或等于分布的某个分位数的概率：c=P(LVaR00CVaR0可理解为损失在VaR0水平之上的平均损失。CVaR0的计算公式是：(z)CVaREx|xVaRT-001-0(z)是标准正态概率密度函数，是一个标准正态随机变量落在z附件的概率。zT(0)前面计算了一个市场价值为100万元的投资组合的1天VaR0。该投资的日波动性为1.55万元，持有期为天，置信水平为99%。保持这些参数不变，该组合的CVaR0为：CVaREx|xVaRb叮T1.55x(2.3263)4.1(万元)001-00.1为了克服计算上的困难，Rockafel

14、lar和Uryasev(2000)证明了条件风险价值等价于下面优化问题的最优值，风险价值是最优解区间的左端点。CVaRr=minz+丄E(x-z)+)卩zeRR其中(x一z)+=maxx一z,05用电子表格计算期望值、方差、均方差和相关系数前面介绍的期望值、方差、标准方差、相关系数等，均可以用Excel的命令求得。如表5-1所示。表5-1Excel计算公式表计算内容期望值方差标准差相关系数协方差Excel的相应公式付号averagevarstdevcorrelcovar下面通过一个例子来说明用Excel公式计算投资回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数的方法。例3：投资回报率的期望值、方差、

15、标准方差和相关系数现有三个可投资的项目：股票1，股票2和债券。它们自1981年至2000年20年的投资回报率如表5-2所示。分别计算这三个单项投资回报率的期望值、方差、标准方差，以及三个项目之间的相关系数矩阵。表5-2三个投资项目的单项回报率历史数据例3投资组合优化模型1历史数据2时期股票1股票2债券3100.070.06420.040.130.07530.130.140.05640.190.430.0475-0.150.670.0786-0.270.640.08970.3700.061080.24-0.220.04119-0.070.180.0512100.070.310.0713110.1

16、90.590.114120.330.990.111513-0.05-0.250.1516140.220.040.1117150.23-0.110.0918160.06-0.150.119170.32-0.120.0820180.190.160.0621190.050.220.0522200.17-0.020.07解：用Excel中公式（见表5-1所示）计算这三个投资项目的单项回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数。其Spreadsheet中的公式如表5-3所示。表5-3三个投资项目的期望值、方差、标准方差和7相关系数计算公式表ABCD1例投资组合优化模型2历史数据3时期股票1股票2债券410

17、0.070.06520.040.130.07630.130.140.05740.190.430.0485-0.150.670.0796-0.270.640.081070.3700.061180.24-0.220.04129-0.070.180.0513100.070.310.0714110.190.590.115120.330.990.111613-0.05-0.250.1517140.220.040.1118150.23-0.110.0919160.06-0.150.120170.32-0.120.0821180.190.160.0622190.050.220.0523200.17-0.02

18、0.072425统计量计算26期望值=AVERAGE(B4:B23)=AVERAGE(C4:C23)=AVERAGE(D4:D23)27方差=VAR(B4:B23)=VAR(C4:C23)=VAR(D4:D23)28标准方差=STDEV(B4:B23)=STDEV(C4:C23)=STDEV(D4:D232930相关系数31股票1股票2债券32股票11=CORREL(B4:B23,C4:C23)=CORREL(B4:B23,D4:D23)33股票2=C321=CORREL(C4:C23,D4:D23)34债券=D32=D331由表5-3可知，计算期望值时只需在单元格中输入公式：=average

19、（数据组所在的地址）计算方差时只需输入公式：=var（数据组所在的地址）计算标准方差时只需输入公式：=stdev（数据组所在的地址）计算三个项目的相关系数时，要分别计算项目1和2的相关系数、项目1和3的相关系数，以及项目2和3的相关系数。在计算项目1和2的相关系数时，在单元格中输入公式：=correl（项目1的数据地址，项目2的数据地址）同理可以计算出项目1和3的相关系数，以及项目2和3的相关系数。计算相关系数的另一个方法是打开Excel中的“工具”菜单，选择项目“数据分析”，就会出现一张数据分析表，如图5-2所示。图5-2在数据分析表中选择相关系数功能在图5-2中的数据分析图上选择“相关系数

20、”，得到相关系数表，如图5-3所示。在图5-3的相关系数表中填入三个项目的历史数据所在地址区域以及输出区域（只需填入输出区域左上角的单元格地址），就可得到三个项目的相关系数矩阵。图5-3相关系数表在图5-3中按确定按钮，即可得到表5-4中的计算结果。表5-4三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算结果ABCD1例投资组合优化模型2历史数据3时期股票1股票2债券4100.070.06520.040.130.07630.130.140.05740.190.430.0485-0.150.670.0796-0.270.640.081070.3700.061180.24-0.220.04129

21、-0.070.180.0513100.070.310.0714110.190.590.115120.330.990.111613-0.05-0.250.1517140.220.040.1118150.23-0.110.0919160.06-0.150.120170.32-0.120.0821180.190.160.0622190.050.220.0523200.17-0.020.072425统计量计算26单项期望值0.11300.18500.075527单项方差0.02740.11020.000828标准方差0.16560.33190.02782930相关系数31股票1股票2债券32股票11.

22、0000-0.1959-0.028933股票2-0.19591.0000-0.013434债券-0.0289-0.01341.0000投资组合收益率和标准差所谓投资组合P是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上资产而构成的一个组合。假设投资组合P是由n种不同证券构成，其中第i种证券上投资的资金比例为xi，i=l,.,n,简称第i种证券的投资权重。则投资组合可记为如下的形式P=（x，x）1x-1lnii-1在投资组合P中，权重x0时表示买入证券i；x.vO时表示卖出证券i,将其所得资金ii投资于组合内其他证券;当x1时，表示投资在证券i上的资金有卖空其他证券收入的资金。i设证券i的收

23、益率为r.，其概率分布为ipj=Pri=rij，j=1,2,.,N,i=1,2,.,n则证券i的预期收益率（期望收益率）为E（r）-rp,i-1,2,.,niijjj-1证券i的收益率的方差为b2-D(r)-Er一E(r)2乙r一E(r)2piiiiijijj-1标准差为b而证券i和证券k(收益率)的协方差为ib-E(r一E(r)(r一E(r)-(r一E(r)(r一E(r)pikiikkijikjkjj-1对于投资组合P，其收益率为rxrj=1,2,.,N,i=1,2,.,npjiiji-1 ii P的预期收益率为E(r)=工xE(r)piii=1P的方差为2=2(r)=ErE(r)2pppp

24、=E工xr工XE(r)2iiiii=1i=1=E忆x(rE(r)2=E忆Kxx(rE(r)(rE(r)iiiikii=1i=1k=1=Xx2O2+工工iiki=1XXo=XTVXikiki=1k=1,k壬i其中X=V=(o)，iknxnO=O2,o=oiiiikkiIXn丿O注意到r.与rk的相关系数定义为p=4ikikOOiki=1x2o2+工工xxoiiikiki=1k=1,k丰i所以又有O2=工x202+工工xxpOOpiiikikii=1i=1k=1,k丰i1特别，我们来看一下等比组合的情况，此时X.=-,inE(r)=工E(r)pnii=1n1nn11O2=O2+Opn2inniki

25、=1i=1k=1,k壬i1_n1_=O2+Oninik=丄(02O)+Oniikik其中，O,Ok分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显然O2TO(nTa)Pik如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做投资组合，当组合中证券数量达到一定程度时，单个证券的风险将不发生作用，而投资组合的风险主要取决于证券之间的协方差，即证券收益率之间的相互关系。对于非等比例组合，上述结论仍然成立。Oik=0时，有O2P=工O2+n2ii=1工工110nniki=1k=1,k丰in2ii=1O20上式表明，如果协方差等于0，则组合风险趋向于0。在不允许卖空时，注意到p=1，有二XtVX二工另x

26、xQikiki=1k=1xxPQQikikikxxQQikiki=1k=1i=1k=1=（xQ+.+xQ）2WmaxQ2,.,q211nn1n即投资组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理论的基础。实例：例2-2：6种证券在10个月的月收益率如下表2-1所示，试计算投资组合的预期收益率和标准差。表2-16种证券的预期收益率和投资比重时间证券1证券2证券3证券4证券5证券6165%10%40%25%3%40%2-34%-9%-42%-19%-1%26%321%-45%-5%-10%8%-27%464%46%28%61%15%9%526%-5%-7%26%17%-10%6-15%2%10%9%3%23%72%48%9%-18%23%38%8-11%-22%3%-68%8%6%996%-15%70%-26%27%7%1020%40%32%175%30%30%各证券的投资比重10%20%30%20%10%10%求各个证券的期望（即平均值）求各个证券的方差求协方差矩阵求