含30度角、45度角的三角板

1、初中数学三角模型的构建（学完二次根式后使用）含30度角、45度角的三角板（之一：模式构建）编制人：平生曜曜1、请证明：有一个角是45度的Rt，的两条直角边相等。如图（1）,已知在 Rt/ABC 中，匕 A=90 , ZB=45，求证：AB=AC。证明：./C= 90 ZB = 90 - 45 = （ = /.（理由：Rt/的两锐角）.AB=AC （理由：等 对等）.2、请证明：等腰Rt/必有两个内角是45度。如图（1）,已知在Rt/ABC中，匕A=90 , AB=AC，求证：匕B=C=45 证明： AB=AC，二/=Z （理由：等 对等）.又 ZB +ZC= （理由：Rt/的两锐角）.点评：以

2、上两题，思路简单，无需多言。3、请证明：Rt/中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半。 TOC o 1-5 h z 方法：如图（1）, 已知在 Rt/ABC 中，ZC=90 , ZA=30 ,A求证：BC = 2AB o （请按解答提示，画出辅助线）证明：取AB的中点D，则BD = 2 AB .连接CD,则CD是斜边AB上的中线.商，、图（1）.CD = 1（）= BD . （ Rt /斜边上的中线等于）又.ZB= 90-A = 90 - 30 = （. （Rt /的两锐角）./CBD是三角形.（有一个角等于60度的等腰/是/）.BC=BD.（等边/的三条边都），又：BD = 1AB（作图可

3、知）. （等量代换）.点评：本题欲证BC = 1AB，故先强行取出AB的一半，即BD，然后想办法去证明BC=BD。这种思路叫（选填：截长法，或补短法）。方法：如图（2）,已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30，求证：BC = 1 AB o证明：在BA上截取BD,使BD=BC，连接CD, TOC o 1-5 h z 又 VZB= 90 ZA = 90 - 30 = （.（Rt/的两锐角） A./ CBD是三角形./（有一个角等于60度的三角形是三角形）B 1 C CD = BD , ZBCD= .图（2）（等边/的三条边都，等边/的三个角都是度）ZACD = 90 -ZBCD = 90

4、 - 60 = （ = /.CD=AD.（等角对）即：CD = BD = AD = 1 AB ,又 BD=BC （作图可知）.2.BC = （等量代换）.点评：本题巧妙地利用60度构造了等边/,然后运用等边/的性质使问题得到解决。图方法：如图（3）,已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30，求证：BC = 1 AB o证明：延长BC点D,使CD=BC，连接AD.又VACXBD于C , .AC垂直平分BD .（中垂线的定义）.（中垂线上的点到）.又曷=90-ABAC = 90-30 = （3 . （Rt/的两锐角）./ABD是/.（有一个角等于60度的等腰/ /）.= .（等边/的三条边

5、都）.又BC = 1 BD.（作图可知）. BC = 1 AB.（等量代换）.点评：本题欲证BC = 1 AB，采取了加倍BC的办法，使BD=2BC,再设法去证明:BD=AB。这种思路叫（选填：截长法，或补短法）。方法总结：但凡涉及线段的“和、差、倍、半”的证明，都可尝试“截长补短法”。方法：如图（4）,已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30，求证：BC = -AB o匚目日一 和占 n 估口nAt? 沽年 AnA. TOC o 1-5 h z 证明：延长BC点D,使BD=AB，连接AD.A又.NB= 90-ABAC = 90-30 = （B ./ABD 是4 AB = .B /|

6、C又. ACBD于C ,.由三线合一知：BC = 2= 2.图（4）点评：本题同样是利用60度去构造等边/,然后运用等边/的性质使问题得到解决。经验感悟：谈谈“构造基本图形”来解决问题的话题。几何问题的解决过程，要么是，直接利用“现存的”基本图形的性质来解题；要么是，先“有理有据”地判定某现存图形为“某基本图形”，再用其性质去解题；有时要，先“补全”，甚或是先“构造”某个基本图形，然后再用其性质去解题；四、手里的这副三角板中，还有哪些“应该发掘”的秘密关系1、如图（1），已知在Rt/ABC中，匕A=90 , ZB=45，设AC = x，试用含x的代数式来表示AB和BC的长。A./ABC 是/，

7、则 AB =图（1）BC2 =(* +()2 = X2 + X2 =解：./A=90 , ZB=45 ./BC = %2x2. （根的定义）.又BC 0，. BC = x/2x2 =、Q * X2 = v：2 |x| = t2x . TOC o 1-5 h z （上一步推理的依据：x是非负数，而非负数的绝对值等于）.即：AB = AC = x , BC = 2x .提炼结论：含45度的Rt/，其三边长度之比 。具体而言有两条结论 要记住：、两直角边的长 :、斜边长度是直角边长度的倍。2、如图（2），已知在Rt/ABC中，匕C=90 , ZA=30 ,设BC = x，试用含x的代数式 来表示AB

8、和AC的长。解：.在 Rt/ABC 中，ZA=30，. AB =（Rt/中30的角所对直角边等于）.由勾股定理得：AC rJ2=.3x2 = .3 |x| = y3x(推理依据有:根的定义;去帽子， 非负数的绝对值等于). 故：AB = 2x, AC = t3x .提炼结论：含30度的Rt/，其三边长度之比 。具体而言有两条结论要记住：、两直角边的长 :、斜边长度是直角边长度的倍。五、特殊Rt/的三边关系的“快捷应用”理解规律，提炼规律，再以“有效方式”去记忆规律，可实现快速计算。1、如图（1），在 Rt/AEF 中，匕A = 90，ZE = 45，则：ZF =，AE:AF:EF=。、若 AE = 2，则 AF =，EF =；、若 EF = 2，则 AE =，AF；、若 AE = 3 握，则 AF =，EF =；、若 EF = 42，则 AE =，AF =；、若 AE 衣，则 AF =，EF =；、若 EF = 2 扼，则 AE =，AF =2、如图（2），在 Rt /ANH 中，匕N = 90，ZA = 60，则： ZH =，AN:NH:AH=。、