单自由度体系的振动

1、10.1 概 述一、静荷载和动荷载(1)静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化 （如梁板自重）(2)动荷载：荷载的大小和方向随时间变化。第10章 结构的动力计算二、动荷载的分类 (1) 周期荷载 (2) 冲击荷载 (3) 随机荷载 三、结构动力计算的特点四、结构动力计算的任务 （1）结构动力计算中需要考虑结构质量的惯性力的作用。 这是结构动力计算与静力计算的主要区别。 （2）质量运动方程为微分方程。 在数学处理上要比结构静力计算问题复杂一些。 （3）结构的动力反映不仅与动荷载的大小有关， 还与动荷载的变化规律及结构本身的动力特性 （自振频率、振型、阻尼）有关。 自由度的简化-集中质量法将实际结构

2、的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。10.2 振动体系的自由度 （1）并非一个质量集中点一个自由度。 （2）结构的自由度与是否超静定无关。2个自由度2个自由度4个自由度静定结构6次超静定结构3次超静定结构 （3）可用加链杆的方法确定自由度。自由度的确定 要了解结构动力反应的规律，首先建立描述结构运动的（微分）方程 建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等 这里介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”10.3.1 自由振动微分方程的建立 1.刚度法（列动平衡方程） 弹性力（恢复力）惯性力-质点的自由振动微分方

3、程取出质点研究：在质量上加惯性力， 令质点平衡。10.3 单自由度体系的自由振动 2. 柔度法（列位移方程）- 此式就是应用柔度法建立的 质点的自由振动微分方程。在质点上沿位移正向加惯性力；求外力和惯性力引起的位移；建立微分方程的步骤刚度法步骤：1.在质量上加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。mEIlEIl1练习：列运动方程例1.刚度法列方程在质量上沿位移正向加惯性力-发生位移y时所需之力恢复力k11y体系在恢复力、惯性力和外力作用下平衡k11y=P(t)mEIl

4、/2EIl/2例2.刚度法列方程加惯性力-计算恢复力-k11y质点在恢复力、惯性力和外力作用下平衡由于荷载没有作用在质点上，将其等价平移到质点上FEFE =P/2例3.柔度法列方程mEIlEIl=1l例4.柔度法列方程=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4加惯性力求外力和惯性力引起的位移： y=11(P - )由于荷载没有作用在质点上，单独计算外荷载引起的位移10.3.2 自由振动微分方程的求解 令 二阶线性齐次常微分方程其通解为由初始条件得令得10.3.3 振动分析简谐振动自振周期自振园频率(自振频率)与外界无关,体系本身固有的特性振幅初相位角ty(t)几个术语： （1）周期：振动一

5、次所需的时间（2）工程频率： 单位时间内的振动次数 与周期互为倒数 （3）频率（圆频率）：旋转向量的角速度， 即体系在2秒内的振动次数。 自由振动时的圆频率称为“自振频率”。频率定义频率计算式周期计算式自振频率是体系本身的固有属性， 与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。自振频率和周期的计算由定义例1.求图示体系的自振频率和周期mEIlEIlFP=1F1=1ll/2l解:例2.求图示体系的自振频率和周期=1解:mEIllm/2EIEIll例3.质点重W,求体系的频率和周期解:EIkl1k10.3.4 考虑阻尼作用的自由振动1.运动方程m令2. 方程的解设 y=C etm其中-有阻尼

6、的自振频率 -阻尼比-临界阻尼系数代入初始条件得3. 振动分析yk对数衰减率运动分析小阻尼情况临界阻尼情况不振动大阻尼情况不振动由特征方程10.4 单自由度结构在简谐荷载下的强迫振动一、运动方程mEIlP(t)F -荷载幅值-荷载频率FP(t)=F -二阶线性非齐次常微分方程二、 方程的解在简谐荷载下的强迫振动由初始条件决定的自由振动与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动-伴随振动按干扰力的频率振动的纯强迫振动 三、振动分析当不计阻尼时 纯强迫振动 不计阻尼时纯强迫振动分析-动力系数与/的函数关系对于结构内力也存在与结构位移相似的情况其中注意则动力系数 时max并不出现在/=1处。其它与无阻尼类似计入阻尼时纯强迫振动分析讨论： 为静力荷载 动力位移与动力荷载同向动力位移与动力荷载反向质点只在静平衡位置附近作极微小的振动 （1）当 时（2）当 时（5）当 时产生共振算例: 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移Ql/2l/2已知:四、动位移、动内力幅值计算解: l/4Ql/2l/2振幅动弯矩幅值动力系数跨中最大位移其中重力引起的位移跨中最大弯矩其中重力引起的弯矩 讨论: 干扰力 不直接作用于质点上的情况（如图）质点处位移10.5 一般动荷载作用时的受迫振动分析将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。m一、瞬时冲量的反应1