统计学之机率概论与机率分配

1、授 课 目 录质量治理概讲统计学概论机率概论及机率分配统计制程管制与管制图计量值管制图计数值管制图制程能力分析允收抽样的差不多方法计数值抽样打算计量值抽样打算量具之再现度与再生度质量治理之新七大手法第三章 机率概论及机率分配3.1 集合论集合论(Set Theory)机率论(Probability)群体分配集合是元素的聚合，而元素是集合的单位。A=1, 2, 31, 2, 3为A集合的单位 1A无元素的集合存在，称之为空集合，记做 或例 集合B=X|X2+6X+5=0求B=-1, -5元素和集合的关系A=1, 2, 31A； 4A集合和集合的关系子集关系：AB(A含于B或B包含A)即A中任一元

2、素均在B集合中可找到A=1, 2, 3B=1, 2, 3, 4ABBA等集关系：A=B(A等于B)即集合A与集合B中的元素完全相同A=0, 1B=X|X(X-1)=0A=BA=B对等关系：AB(A对等于B) 即集合A中每一元素可与集合B中的每一元素一对一对应关系合格品不合格品A集合合B集合合10A=0, 1B=合格品，不合格品集合之运算联集运算：AB交集运算：AB去集运算：A-BABBA结合律：ABC=(AB)C=A(BC)交换律：AB =BA分配律：A(BC)=(AB)(AC)余集：设为全集，则-A称之为A之余集，记作A，-A=AAA若AA=AA=(A)=A另A-B= A B分割：设为全集，

3、集合A、B均含于，当满足(a)AB=(b) AB=时，则称为A、B为上的分割。AB余集律：(AB)=AB(AB)=AB*符号讲明：X：随机变数，P：机率，p：不合格率p(x)：机率密度函数(离散型)f(x)：机率密度函数(连续型)F(x)：累积机率分配函数(连续型、离散型)EX = (期望值)，VX = 2 (变异数) ：母体平均值，2：母体变异数：样本平均值，S2：样本变异数*3.2 机率的概念机率论是现代统计学的基础。机率是为了衡量不确定结果，而建构出来的一种测度。其中差不多的概念为：机率空间(Probability Space)：系统中，集合所有可能出现的事件而构成的一个抽象空间，通常以

4、表示。有时亦称样本空间(Sample Space)或结果空间(Outcome Space)。事件(Events)：系统中我们所要讨论合理且可能发生的现象，是机率空间的差不多元素。随机实验(Random Experiment)：可能出现的结果有专门多种，重复实验时无法明确预知得到什么结果的实验方式。随机变数(Random Variables)：定义在机率空间的一个量测机率的工具，通常以一个一对多的不确定函数表示。它对实验的每一种结果指定一数值与之对应。或将文字叙述转换成数字叙述(将实验结果以数值表示，省略一一列出可能实验结果的烦杂)。常以X表示之，且其结果常符合某一特定分配。函数系针对定义域与对

5、应域(值域)之间一对一或多对一的关系，即输入某一数值就对应输出另一数值，过程与结果均是确定的(Deterministic)。但当输入一事件却可能出现好几种其它情况时，如掷一骰子对应的是可能出现6种情况，此即随机变量。简言之，随机变量是一种多的广义函数。实数值x(事件)之机率P(X=x)决定机率分配函数p(x)。范例、某品牌相同原子笔n支，内有不合格品，某同学任意选1支，试写出样本空间？(合格品=G，不合格品=NG) = G，NG=21若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X的可能值有0，1； = X|0，1；如x=1=NG(X：随机变数表选得不合格品数；x：事件)范例、承上题，某同

6、学任意选2支，试写出样本空间? = (G，G)，(G，NG)，(NG，G)，(NG，NG) =22若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2如x=1=(G，NG)，(NG，G)范例、承上题，某同学任意选3支，试写出样本空间? = (G，G，G)，(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)，(G，NG，NG)，(NG，G，NG)，(NG，NG，G)，(NG，NG，NG) =23若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3如x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG

7、，G，G)实验检验真理，真理只有一个。然随机实验中，其产生之结果是不确定的(Uncertainty)。机率确实是衡量此不确定结果，而建构出来的一种测度。如何决定机率值-决定机率值的方法(1)理论机率=古典机率=机会均等机率样本空间内有n()个元素，若事件A为之部份集合，含n(A)个元素，则事件A的机率为：P(A)= n(A)/ n()范例、承上题，某同学任意选1支，为不合格品之机率?n()=21事件= NGn(A)=1 P(A)= 1/ 2若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X 的可能值有0，1； = X|0，1；则x=1=NGP(A)= n(A)/ n()P(x=1) =P(N

8、G)=1/2范例、承上题，某同学任意选2支，有1不合格品之机率?n()=22事件= (G，NG)，(NG，G)n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2x=1=(G，NG)，(NG，G) ； P(x=1) =P(G，NG)，(NG，G)= 2/4 =1/2范例、承上题，某同学任意选3支，有1不合格品之机率?n()=23事件=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X的可能值有0，1，2，3；X

9、= X|0，1，2，3则x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)P(x=1) =P(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)= 3/8 计算理论机率的方法亦称古典方法，此法依靠抽象的推理与逻辑分析，而不必进行实际的试验。(2) 经验机率=客观机率一随机实验重复试行n次，其中A事件共发生fA次，则A事件发生之机率可视为发生次数与总次数比：P(A)= fA/n当实验的次数愈多，事件的相对次数比将愈趋稳定；即P(A)=fA/n(3)主观认定机率一事件发生之机率，常由人们对此事的经验，或心理的感受而决定。此机率较有争议。机率公设在样本空间中，事件A发生的机率记做P(A)，

10、机率必须符合以下公设：P()=1，P()=0P(A)0P(A)=1-P(A)，其中A=-A若B，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)样本空间计算差不多法则法则一(加法原理)：完成一件事有二种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，则完成此事件共有n1+n2种方法。法则二(乘法原理)：完成一件事有k个时期，第一时期有n1种方法，第二时期有n2种方法，第k时期有nk种方法，则完成此事件共n1n2nk种方法。法则三：在n个不同事物中，任取r个予以组合，其方法有C(n, r)=n!/(n-r)!r!。范例、甲、乙二人掷骰子，约定甲掷出点数是1, 2时，甲可得2元；点数是3, 4时可

11、得4元；点数是5时可得10元；点数是6时，则甲需付给乙20元。令X表掷骰子后甲所得的钞票，求X的机率分布?=1, 2, 3, 4, 5, 6；n() = 6X的可能值有2，4，10，-20；X=X|2, 4, 10, -20P(x=2) =P(1, 2)= n(A)/n() = 2/6 P(x=4) =P(3, 4)= n(A)/n() = 2/6P(x=10) =P(5)= n(A)/n() = 1/6P(x=-20) =P(6)= n(A)/n() = 1/6x2410-20p(x)2/62/61/61/6p(x) (x) p(x=2)1)p(x=4)p(x=10)p(x=-20)x=2x

12、=4x=10 x=-20范例、甲掷一枚铜板2次，令X表出现正面的次数，求X的机率分布?=正正, 正反, 反正, 反反；n() = 4X的可能值有0, 1, 2；X=X|0, 1, 2P(x=0) =P(反反)= n(A)/n() = 1/4 P(x=1) =P(正反, 反正)= n(A)/n() = 2/4P(x=2) =P(正正)= n(A)/n() = 1/4x012p(x)1/42/41/4p(x)p(x=0)p(x=1)p(x=2)x=0 x=1x=2上述二范例均为离散型数据系属离散型随机变量，即实验结果其对应之数值只有可数的几种可能值，且可一一列出此种情况，以机率P(X=x)决定机率

13、分配函数p(x)(离散型)。反之，连续型数据系属连续型随机变量，即实验结果其对应之数值不能列出各种可能值，则以机率P(Xa)决定机率分配函数f(x) (连续型)。3.3 统计独立与条件机率定义：统计独立(Statistically Independent)在样本空间中有两事件A与B，若A发生的机率不受B阻碍，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B为统计独立。范例：(独立无关联)爱足球不爱足球合计男648252900女7228100P(男)=900/1000=0.9；P(女)=100/1000=0.1=1-0.9P(爱足球)=(648+72)/1000=0.72P(不爱足球)=(252+

14、28)/1000=0.28=1-0.72P(男爱足球)=648/1000=0.648P(男不爱足球)=252/1000=0.252P(女爱足球)=72/1000=0.072P(女不爱足球)=28/1000=0.028由于P(男爱足球) =0.648= P(男) P(爱足球)P(男不爱足球) =0.252= P(男) P(不爱足球)P(女爱足球) =0.072= P(女) P(爱足球)P(女不爱足球) =0.028= P(女) P(不爱足球)定义：互斥事件(Disjoint Events)在样本空间中有两事件A与B，若其集合无共同元素，即AB= ，则称事件A与B互斥。P(AB)= 0。定义：条件

15、机率在样本空间中有两事件A与B。在事件A已发生的条件下，事件B发生的机率称为条件机率，以P(B|A)表示，则P(B|A)=P(B A)/P(A)。范例、掷一枚铜板2次，求2次均出现相同结果下，至少出现一次正面的机率?=正正, 正反, 反正, 反反；n() = 4A：2次均出现相同结果=正正, 反反；n(A)=2P(B|A) = P(B A)/P(A) = (1/4)/(1/2) = 1/2范例、甲到玉市购玉，已知某玉店的10块玉中有4块为膺品。甲欲买该店2块玉，则2块均为真品的机率?设A为第一块玉为真品的事件，B为第二块玉为真品的事件，则P(B A) = P(A) P(B|A)= (6/10)

16、*(5/9) = 1/3定理：贝氏定理设B1, B2,Bn为互斥事件，且事件A为含有各种事件Bi某种共同特性之任意事件。在事件A已发生情况下，则事件Bk发生之机率为P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/P(Bi)P(A|Bi)范例、甲制造车厂有二条生产线B1 , B2，分不各占60%和40%的生产量。已知生产线B1有2%的不合格率，生产线B2有3%的不合格率，兹某人购买该车厂乙部车有瑕疵，则此车为生产线B1之产品的机率？B1= 0.6B2= 0.4A/ B1=0.02A/ B2=0.03P(B1) = 0.6，P(A| B1) = 0.02；P(B2) = 0.4，P(A| B2) =

17、 0.03P(B1) = P(B1)P(A| B1)/P(B1)P(A| B1)+P(B2)P(A| B2)=(0.6)(0.02)/(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)= 0.53.4 机率分配函数及其特征值机率分配函数(Probability Distribution Function)可了解事件在机率空间中，其密度分布的情况，或样本在母体中出现的频率的情形。机率分配函数通常指累积机率分配函数(cdf, Cumulative Probability Distribution) 以F(x)表示之，或机率密度函数(pdf, Probability Density Function)分

18、不以p(x)-离散型与f(x)-连续型表示之。机率分配之性质x离散型： (1)0 p(xi) 1所有xi值(2)P(X = xi) = p(xi)所有xi值(3)p(xi) = 1所有xi值x连续型： (1)0 f(x)(2)P(a x b) =f(x)dx(3) f(x)dx = 1一个随机变量X之累积机率分配函数F(x)定义为：F(x) = P(Xx)F(x)表示随机变量X之值小于或等于x的机率。x1X x2时P(x1X x2) = F(x2)-F(x1)F(x)具有下列性质F(x)是递增函数，即若a b，则F(a) F(b)limx -F(x)=0,limx F(x)=1F(x)是右连续

19、函数掷1骰子2次，令随机变数X为2次点数之和x23456789101112p(x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36F(x)1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/361P(5 X 9) = F(9) F(5) = 30/36 10/36 = 20/36平均值、变异数与期望值一个机率分配的平均值是其集中趋势。其定义为 =xf(x)dx连续型 = xp(x) (所有x值)离散型亦可将平均值表示为随机变量X的期望值(Expected Value)。其定义为 = EX =xf(x)dx连续型 =

20、EX = xp(x) (所有x值)离散型其中E代表为期望值运算子(Expected Value Operator)。一个机率分配的变异数是其离散趋势。其定义为2= (x-)2f(x)dx连续型2 = (x-)2p(x) (所有x值)离散型亦可将变异数以期望值表示。其定义为2 = E(x-)2另变异数的使用亦可定义为变异数运算子(Variance Operator) V表示VX = E(x-)2= 2有关随机变数X之平均值 与变异数2与常数c，则Ec = cEX = EcX = c EX = cVc = 0VX = 2= EX2 - 2VcX = c22EX1+X2 = EX1+EX2 = 1+

21、 2VX1+X2 = VX1 + VX2+ 2CovX1, X2其中 CovX1, X2 = E(X1-1)(X2-2)为随机变数X1与X2之共变异数(Covariance)。如X1与X2是独立的，则CovX1, X2=0。(9) VX1-X2 = VX1 - VX2+ 2CovX1, X2倘X1与X2是独立的，则(10) VX1-X2 = VX1 + VX2= 21+ 22(11) EX1X2 = EX1 EX2 = 1 2一般而言，X1与X2是否独立(12) EX1 / X2 EX1 / EX2范例：每天大型生日蛋糕销售量(X)销售量012345机率0.10.10.20.30.20.1EX

22、00.10.40.90.80.52.7EX200.10.82.73.22.59.3VX9.3 2.72 = 2.01范例：投资电子股股票的投资酬劳率(X)可能投资酬劳率-10-6515机率0.10.30.40.2EX-1-1.8232.2E2X + 32 EX+3 = 2*2.2 + 3 = 7.4EX21010.8104575.8V2X + 34(75.8 2.22) = 283.84习 题1、下列何种抽样方法，抽样作为可能群体误差为最小(1)单纯随机抽样法(2)系统抽样法(3)分层随机抽样法(4)集体抽样法(5)视情形。2、随机数表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 5

23、6 30，若在50件(编号0049)要抽5件时，则抽样第5件之编号为( 16 )。3、进货50件，系统抽样，要抽5件，若第一件为编号3，则第四件之编号为（ 33 ）。4、 eq oac(,1)一班学生50人之重量(群体/样本) eq oac(,2)一桶溶液取一杯量来分析，一杯量为(群体/样本) eq oac(,3)每批中取30个量测尺寸(群体/样本) eq oac(,4)100箱（当抽样数为5）该箱可视为(无限群体/有限群体) eq oac(,5)30箱(当抽样数为5时)该箱可视为(无限群体/有限群体)5、随机数表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在1000

24、件(编号000999)要抽五件时，则抽样第3件之编号为( 274 )6、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，绘制柏拉图，则于柏拉图内第三要项之累积不良比率( 80% )。A: 10/25=40%, B: 3/25=12%, C: 6/25=24%, D: 2/25=8%, E: 4/25=16%, (40+24+16)%=80%7、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，B类在百分比图中之%为( 12 )。8、同上，扇形图A类之图心角度( 144 )。9、次数分配表之组中点为3.5，5.5，7.5，9.5，11.5试求组距( 2 ) 。10、直方图向规格

25、上下限伸展时，表示 eq oac(,1)变异过大 eq oac(,2)平均数过小 eq oac(,3)平均数过大 eq oac(,4)变异过小 eq oac(,5)平均数过小，变异也变小。11、一组数字 1，4，7，9，Y 其R值10求Y。9-Y=10, Y=-1 or Y-1=10, Y=1112、23，21，22，20，X 平均值23求X。(23+21+22+20+X)/5 = 23, X=2913、1，3，5，7，9 求样本变异数及样本标准差。8, 2(2)0.514、某批取12个量测尺寸，其数据之特性必有(中位数/平均数/众数)。15、常态分配平均值3，标准差0.2，则2.63.4间之

26、次数约占全部次数之( 95.45 % )。16、和中心值无关统计量(标准差/平方和/R值/平均偏差/变异数)。17、写出1至30中可被5整除之集合。5, 10, 15, 20, 25, 3018、集合B=XX2+6X+5=0求B= -1, -5 19、A=1，3 B=3，5，6 C=1，3，5，8AB=1, 3, 5, 6 AB= 3 A-B=120、样本空间=1，2，3，4 A=1，2 B=3A=3, 4 A-B=1, 2, (AB)=1, 2, 3=4, BA=33, 4=321、某公司有五架同型电视机，内有二架故障，王小姐任意选择二架，试写出样本空间=G G, G NG, NG G, N

27、G NG22、一批制品有4个良品，3个疵品，自其中抽取二个时，其样本空间以不良品数目表示时，其样本空间为G G, G NG, NG G, NG NG= X| 0, 1, 2。23、一铜币，其出现正反面之机会相等，掷一铜币二次，样本空间以正面出现次数表示，样本空间为正正, 正反, 反正, 反反=X| 0, 1, 2。24、某制程要操纵温度，原料及水份，今考虑有4种水平的温度，5种原料及2种不同水份，则制造方法共有( 4*5*2=40)种方法。25、7题是非题总共有几种答法。26、求C(20，4)= 4845 ；C(100，3)=161700； C(100，97)=16170027、从10件制品送

28、验批中，任取3件加以检验，选取的方法有多少种？C(10,3)=12028、五男三女选4人组成委员会，可能组成若干委员会(2男2女)。 C(5,2)*C(3,2)=30 29、扑克牌52张中，随机取出4个，全部均为红砖的机率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。30、投一个六面骰子，出现偶数的机率= ( 1/2 )。31、投二个六面骰子，出现和大于10机率= ( 1/12 )。32、P(A-B)=0.4 P(AB)=0.7 求P(B)=？ P(B)=0.333、设A，B为互斥事件P(A)=0.4 P(B)=0.5 eq oac(,1)P(AB)=(0.9) eq oa

29、c(,2)P(AB)=( 0 ) eq oac(,3)P(A)=( 0.6 ) eq oac(,4)P(AB)=(0.5 ) eq oac(,5)P(AB)=( 0.4 )。34、P(A)=0.3， P(B)=0.4，P(AB)=0.7 则 P(AB)=( 0 )。35、P(A)=0.4 P(AB)=0.7 P(B)=Y 若A及B互斥事件则Y=(0.3 )36、P(ABCD)写出上列公式。37、P(AB)=0.8 P(B)=0.6 P(A)=0.2 P(AB)=( 0 )。38、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=(0.4/0.6= 2/3 )。39、A，B，C互斥事件，P(A)

30、=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1求P(A(BC)=(0.5 )。=P(B C)=P(B)+P(C)-P(B C)= P(B)+P(C)=0.1+0.440、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1 P(ACB)=(0.2+0.1)/0.6=1/2 )41、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=( 2/3 )42、A，B二罐子，A罐装50个甜糖果，40个酸糖果，B罐装60个甜糖果，30个酸糖果，今拿出一糖果并试出其为甜者，试问此糖从A罐取出之机率为何？A：取A罐之事件 B：取B罐之事件； D：甜糖果之事件；甜糖果，从A罐取出之机率，即求P(

31、AD)=P(AD)/P(D)P(D)=P(AD)+P(BD)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)=(1/2*50/90+1/2*60/90=11/18 )P(AD)=P(AD)P(D)=(1/2*50/90)/(11/18)=5/11 )43、设A和B互相独立，P(A)=0.4，P(AB)=0.9则 P(B)=( 5/6 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.9=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=5/644、A，B独立P(A)=13 P(B)=12，A和B同时发生之机率=( 1/6 )45、P(A)=0.4 P(AB)=0.

32、7 P(B)=Y若A，B为独立事件则Y=( 1/2 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.7=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=1/246、A打靶命中率0.9，B打靶命中率0.8，若P(A)=0.9 P(B)=0.8，P(AB)=( 0.72 )，则P(AB)=(0.9+0.8-0.8*0.9=0.98 )47、某校IQ平均值110，标准差9，契毕懈夫定理计算至少含3/4 IQ之区间。( 92, 128 )48、某校IQ平均值110，标准差9，谢比雪夫定理计算，(78.5，141.5)区间内次数之%。( 91.8% )49、常态

33、分配平均值3，标准差0.2，则2.63.4间之次数约占全部次数之( 95.45% )。若未知其分配型态则2.53.5间之次数约占全部次数最少为( 84% )。50、致远工管统计学期末考，到考学生100人，平均分数为55分，标准差为5分，试问考生分数在4070分间有几人？(a) 谢比雪夫不等式，(b) 常态分配。51、假设随机变异X之机率密度函数如下：，试求P(x 2)、EX，VX52、某天麻豆空气污染指数是75，试问(a) 依马可夫不等式求其空气污染指数大于100之机率？(b) 已知标准差为5，依谢比雪夫不等式求其空气污染指数大于50，小于100之机率？常用的机率分配与统计分配当获得母体的样本

34、数据时，须从各种机率分配当中，选择出最接近该母体的机率分配，使样本数据与母体参数有最佳的推论与检定能力。常用的机率分配有：离散型与连续型二大类。3.5 离散型机率分配离散型机率分配(p)-常见有二项分配、卜氏分配、离散型均匀分配、超几何分配。若一随机实验只有成功和失败两种结果，事件成功发生的机率为p，事件失败发生的机率为1-p。令随机变量x = 1代表成功的事件，x = 0代表失败的事件，此称随机变量X服从白努依分配(Bernoulli Distribution)。x10P(x)p1-pEX1p0(1-p)VX=EX2-(EX)2p(1-p)p(x) = P(X=x) = px(1- p)1-

35、x二项分配(Binomial)-执行n次白努利随机试验，事件成功发生的机率为p，事件失败发生的机率为1-p。通常以随机变量XB(n, p)表示。其机率密度函数与累积分配函数为：p(x) = C(n, x) px (1-p)n-x x =0, 1,n F(x) =C(n, k) pk (1-p)n-k其期望值与变异数为：EX = npVX =np(1-p) Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution pp. 101-110, Binomial Distribution范例、致远治理学院约有40%的学生喜爱打篮球，兹随机机访问1个学生，试问(a) 此学生喜

36、爱打篮球的期望值与变异数? (b) 随机机访问5个学生，此5个均喜爱打篮球的期望值与变异数? 有2个均喜爱打篮球的期望值与变异数? 至少有3个喜爱打篮球的期望值与变异数?SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true)(a) 令随机变量X代表喜爱棒与否，则(注意:N/Y)EX = p = 0.4 VX = p(1-p) = 0.24(b) 令随机变量X代表喜爱棒的人数，则(注意:人数)EX = np = 5* 0.4 = 2 VX = np(1-p) = 1.2P(X=2) = C(5,2)(0.4)2 (0.6)3 = 0.346/binomdist(2,5,0.4

37、,false)/P(X 3) = 1- P(X 2) = 0.317/1-binomdist(2,5,0.4,true)/范例、工管系期末考统计学出20题选择题(4选1)，每题5分。某学生采完全以猜的方式作答，试问(a) 此学生答对数的期望值与变异数? (b) 此学生期末考统计学分数的期望值与变异数? (c) 此学生考及格的机率? (d) 此学生最多考40分的机率? SOL：公式、查表、Excel(a) 令随机变量X代表此学生答对题数，则(注意:题数)EX = np = 20* 1/4 = 5 VX = np(1-p) = 3.75(b) 分数期望值(注意:分数)E5X = 5EX = 25

38、V5X = 25*3.75 = 93.75(c) 此学生须答对12题以上才能及格，因此，P(X 12) = 1- P(X 0F(x) = 1- e-x/其期望值与变异数为：EX= VX = 2范例、工管系进行迎新烤肉活动，地点是曾文水库。归来时大伙儿欢乐的走到候车亭等往麻豆的台南客运。不巧，同学们刚到候车亭时，车子正好刚开走。康乐股长看看站牌上写着：往麻豆班车平均每20分钟开一班。 (a) 同学们最多再等10分钟之机率? (b) 超过30分钟之机率?SOL：公式、查表、Excel令随机变量X代表台南客运到达时刻间距，XExp() = Exp(20)，则(a) F(x) = P(x 10) =

39、0.39/=expondist(10,1/20,true)/(b) P(x 30) = 0.2231/=1-expondist(30,1/20,true)/(3) 常态分配(Normal )应用最广的机率分配，其贴切地模式化或描述专门多自然现象或社会科学实例。通常以随机变数XN(,2)表示。其机率密度函数与累积分配函数为：-,0其期望值与变异数为：EX = VX = 2常态分配具有以下各项特性：是一以平均值为中心线，呈左右对称钟状图形的分配。愈大，分配偏离中心愈远，曲线图愈平缓。母体的平均值、众数、中位数均相同值。机率分配函数图形向曲线中心的两端延伸，该渐趋近横轴(即机率函数值递减)。通常将其

40、XN(, 2)标准化。标准化过程是令Z=(X-)/则ZN(0, 1)，又称Z分配。标准常态机率密度函数,-x标准常态分配之期望值与变异数为：EX = 0,VX = 1范例、工管系期末考统计学成绩，经整理得知具有N(50,16)，试问成绩于5060的人数，大概占所有参加考试人数的比例为多少? 公式、查表、ExcelSOL：令随机变量X代表考试成绩，其具有N(50,16)，则P(50 X 60) = P(50-50)/4 (x-50)/4(60-50)/4=0.494/=normdist(60,50,4,true)-normdist(50,50,4,true)/范例、工管系某品管实验，经整理资料得

41、知具有N(0.3,0.012)，老师规定此实验规格应为0.30.02之间才合格。试问此实验不合格的比率有多少?SOL：公式、查表、Excel令随机变量X代表实验数据，其具有N(0.3,0.012)，则P(0.28x0.32)=P(0.28-0.3)/0.01(x-0.3)/0.01(0.32-0.3)/0.01=0.9544/=normdist(0.32,0.3,0.01,true)-normdist(0.28,0.3,0.01,true)/(4) 伽玛分配Gamma Distribution如随机变量X，具有以下的机率密度函数，则该分配称之为伽玛分配：其中、是伽玛分配的参数，其值均大于0。W

42、here the gamma function is defined as: 伽玛函数将被运用到数个统计量分配-Chi-Square, t, F Distribution。3.7常用的统计分配母体样本分配、参数统计量随机抽取推 论检定计算描述如何将样本数据x1, x2,xn推估母体参数(, 2)，此种由抽样资料推论母体的长像，统计上称为统计推论。为了推论母体所服从的机率分配，即推论该机率分配的母体(,2)。从母体中抽取数个样本，利用这些样本组成所谓的样本统计量，而样本统计量所服从的机率分配则称之为统计分配，亦称抽样分配(Sampling Distribution)。常用的统计分配有常态分配，t

43、分配，卡方分配，F分配等。统计推论的目的系利用样本里的信息对母体作结论，所采之方法为随机样本，即倘母体有N个元素而抽出n个样本，所有的C(N, n)个可能样本中的每一个被选中的机率均相等，亦称随机抽样(Random Sampling)。样本统计量：集中趋势统计量-平均数。离散趋势统计量-变异数与标准差等。=(x1 + x2 + + xn)/n = (xi)/nS2=(xi-)2/(n-1)，(xi-)2：Sum Square)常用统计分配：(1)常态分配上述已定义过常态分配，要紧是用来讲明随机变量的分布状况。而在统计应用上，常态分配是用来推论与检定母体的特征值。如，以样本平均值去推论，其中的统

44、计分配即常态分配。大数法则从同一母体随机抽取出n个样本，当n专门大时，则由样本算出的样本平均值会接近母体平均数，即 (n)(E= )中央极限定理19世纪法国学数家Pierre Simon de Laplace(1749-1827)所提出。他是从观看到量测误差有常态分配的趋向而得到此定理。样本平均数大都趋近于常态分配。中央极限定理的精神：从任何以期望值，变异数2的母体中，随机抽出n个样本x1, x2,xn且x =x1+x2+xn，则样本平均值将会趋近于标准常态分配。其中/n1/2称之为标准误(Standard Error)；2/n变异误(Error Variance)。范例、致远治理学院女学生平

45、均身高为160cm，标准差为9cm；兹随机抽取36位女学生，试问平均身高大于160cm而小于162cm的机率有多少?公式、查表、ExcelSOL：令随机变数代表随机抽取36位的平均身高，即 =160,/ n1/2 = 9/(36)1/2=1.5，则P(160 162) = P(160-160)/1.5 (-160)/1.5(162-160)/1.5=0.4082/=normdist(162,160,1.5,true)-normdist(160,160,1.5,true)/范例、致远治理学院学生选修科技与人生人数服从二项分配B(n, p= 0.07)，为了幸免选修该课程的人数过多，阻碍教学质量，

46、倘选修的人数超过80人则开2班上课。试问本学期有1000人可选此门课，则此门课开2班上课的机率有多少? 公式、查表、ExcelSOL：令随机变量X代表选修该课程的学生人数，则P(X80)=1-binomdist(79,1000,0.07,true)= 0.1207另应用中央极限定理，因EX=np=70、VX=np(1-p)=65.1，则P(X80)=P(X-70)/(65.1)1/2 (80-70)/(65.1)1/2=0.1075(2)卡方分配(Chi-Square)一个可用常态随机变量来定义的重要的抽样分配确实是卡方分配(2)。倘z1, z2,zk为k个独立且相同分配的常态随机变量，期望值

47、0且变异数1，简记为NID(0,1)(Normally and Independently Distribution)，随机变数 x = z12+z22+zk2，即会依循自由度为k的卡方分配，其机率密度函数。通常以随机变数X 2k表示。卡方机率密度函数，0 x The gamma function is defined as: 其期望值与变异数为：EX = kVX = 2k卡方分配是不对称的统计分配，其对应的机率分配随着自由度k而有所不同。假设x1, x2,xn是一个来自N(, 2)分配的随机样本。则其平方和除以2后就依循卡方分配。SS/2= (xi-)2/2= 2n-1另S2=(xi-)2/

48、(n-1) = SS/(n-1)= 2/(n-1)2n-1S2的分配为2/(n-1)2n-1。故样本变异数的抽样分配为一个常数乘以卡方分配。如下图，卡方分配(k =1, 5, 15)假设随机变量X 2n-1，定义2,n-1为自由度(n-1)之卡方分配其右边(累积)机率等于的临界值，即P(X 2n-1)= ，则P(X 21- /2,n-1)= 1- /2，及P(21- /2,n-1 X 2/2,n-1)= 1- = 0.1，/2 = 0.05，2/2= 20.05，21- /2= 20.95倘P(X 21- /2,n-1)= 1- /2，P(1- /2,n-12 X /2,n-12)= 1- 2

49、0.9520.0520.95请查表20.975,4，20.95,13，20.01,4，20.10,13。/=chiinv(0.975,4)/，/=chiinv(0.95,13)/=chiinv(0.01,4)/，/=chiinv(0.10,13)/20.1,6= 10.644620.05,10= 18.3070(3) t分配(Student)倘z与2k分不为独立标准常态NID(0,1)与卡方分配，则随机变数tk= z/(2k/k)1/2依循k个自由度的t分配，通常以t tk表示。t机率密度函数， - x 其期望值与变异数为：EX = 0，VX =k/(k-2)t分配与标准常态分配类似，其对应的

50、机率分配皆对称于原点，尤其当样本数n愈大时，t分配机率分配情形愈趋近于标准常态分配。假设x1, x2,xn是一个来自N(, 2)分配的随机样本，则 tn-1t分配最早由W. S. Gosset所发觉，因故用Student的笔名发表，又称Student的t分配。如下图，t分配(k = 1, 10, 100)假设随机变量X tn-1，定义tn-1为自由度(n-1)之t分配其右边(累积)机率等于 的临界值，即P(X tn-1)= ，则P(X t/2, n-1)= /2，及P(-t/2, n-1 X t/2, n-1)= 1- = 0.1，/2 = 0.05，t/2 = t0.05= -t0.05，

51、倘P(X t/2, n-1)= /2，P(-t/2, n-1 X t/2, n-1)= 1- t0.05- t0.05 t0.05 请查表t0.1, 4，t0.05, 13，t0.01, 4，t0.025, 13。/=tinv(0.1*2,4)/，/=tinv(0.05*2,13)/=tinv(0.01*2,4)/，/=tinv(0.025*2,13)/ t0.1, 5 = 1.476/，/ t0.05, 10 = 18.3070/(4) F分配倘2u与2v分不为二个独立卡方分配，则随机变量Fu, v = (2u/u)/( 2v/v) 依循分子u个自由度、分母 个自由度的F分配，通常以F Fu

52、, v表示。F机率密度函数， 0 x 其期望值与变异数为：EX=u/(v-2), v2；VX= 假设分不来自二个不同母体的随机样本，各取样本n1 , n2，其各不样本变异为S21与S22则如下图，F分配(u=4,v=10, 30;u=10,v=10, 30)假设随机变量X，定义为自由度(n1-1, n2-1)之F分配其右边(累积)机率等于 的临界值，即P(X)= ，则P(X )= ，另请查表F0.1, 4, 10，F0.9, 10, 4，F0.025, 4, 10，F0.975, 10, 4 。 /=finv(0.1,4,10)/，/=finv(0.9,10,4)/=finv(0.025,4,

53、10)/，/finv(0.975,10,4)/F0.1, 4, 10 = 2.61/，/F0.9, 10, 4 = 0.383828/，(2.61=1/0.383828)/ F0.025, 10, 8 = 4.30/习 题1、当N=3000，n=100，c=1且=5%；=10%时， (AQL= )；其允收机率(以二项分配计算= ，以卜氏分配计算= )。另(LTPD= ) 其允收机率(以二项分配计算= ，以卜氏分配计算= )。2、假设AQL=0.1%，n=100，c=1，若不合格品率p =AQL=0.1%时，则生产者冒险率=( )。(2%)3、已知N=2000，n=80，c=2之选不型抽样打算，

54、其允收机率(以二项分配计算= ，以卜氏分配计算= )。4、设N=1200， n=80 ，c=1，当p =0.1%时之允收机率Pa=( )。5、N = 10,000、n1=200、Ac1=2、Re1=6；n2=350、Ac =6、Re2=7，允收机率( (Pa) = 1 * ROMAN I = ；(Pa) = 2 * ROMAN II = )。6、设单次抽样打算n=250，Ac=2，Re=3，若产品平均不合格率为1.0%，则长期检验结果，该产品被允收之机率约为多少(以二项分配计算= ，以卜氏分配计算= )。 7、 300个单位的批量中，抽取20件，此质量约有1%的不合格品，若此抽样发觉3件或超过

55、3件不合格品的机率 ( )。(2%)8、下述样本(1.75，1.75，1.75，1.75，1.75，1.75)的标准差为何( )。9、丢二个铜板，若正面为1，反面为0，请完成下表，求变异数值Vx随机变数x(x)EXVX01210、随机变数x=1, 2, 3, 4，机率f(x)=ax，求a=( )，E(X)=( )，V(X)=( ) HINT：所有机率和=111、一批制品有4个合格品，1个疵品，自其中抽取1个，X表示取出为不合格品数目，求E(X)及V(X)？ 12、一项投资可能有3种结果获利100元、获利600元、损失400元，其机率各为0.2, 0.3, 0.5求投资者之期望所得。13、连续随机变量X，在X= 0与2之间有一密度函数f(x)=ax，求a=( )，P(1X1.6)=( )，EX=( ) VX=( )14、 E(X)=1，E(X2