平面向量知识点总结及同步练习

1、第二章 平面向量一、向量的基本概念与基本运算1、数量：只有大小，没有方向的量2、有向线段：定义：带有方向的线段（规定了起点和终点的线段）叫做有向线段。.表示：表示有向线段时，要将表示起点的字母写在前面，表示终点的字母写在后面。在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。.有向线段包括三要素：起点、方向和长度，知道了有向线段的起点，它的终点就被方向和长度唯一确定。有向线段不等同于向量。二者的区别是：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段。3、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法

2、 ，；坐标表示法 向量的膜：向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 注意：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中

3、研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同二、向量加法。定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 设，则+= （1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“

4、首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”三、向量的减法。 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=； (iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、

5、有共同起点）四、实数与向量的积：1、实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律2、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=五、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而

6、向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 、给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/，其

7、中正确的序号是 解： 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此， 正确 =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故 不正确当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑=这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是 例2 、设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： ， 解： 原式= 原式= 原式= 例3、设非零向量、不共线，=k+，=+k (kR)，若

8、，试求k解： 由向量共线的充要条件得： = (R) 即 k+=(+k) (k) + (1k) = 又、不共线 由平面向量的基本定理 六、平面向量的坐标表示。1、平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2、平面向量的坐标运算：若，则若，则若

9、=(x,y)，则=(x, y)若，则若，则若，则向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:0时,与同向;eq f(5,3)且0解析a与ab均不是零向量，夹角为锐角，a(ab)0，530，eq f(5,3).当a与ab同向时，abma(m0)，即(1，2)(m,2m)eq blcrc (avs4alco1(1m,22m)，得eq blcrc (avs4alco1(0,m1)，eq f(5,3)且0.10已知直线axbyc0与圆O：x2y

10、24相交于A、B两点，且|AB|2eq r(3)，则eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()_.答案2解析|AB|2eq r(3)，|OA|OB|2，AOB120.eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|cos1202.三、解答题。11已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.证明以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设ACa，则A(a,0)，B(0，a)，Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，C(0,0)，E

11、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，eq o(CE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()aeq f(1,3)aeq f(a,2)eq f(2,3)a0，ADCE.12ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：ADBFDC.证明如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2

12、,0)，则D(1,0)，eq o(AC,sup6()(2，2)设eq o(AF,sup6()eq o(AC,sup6()，则eq o(BF,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AF,sup6()(0,2)(2，2)(2，22)，又eq o(DA,sup6()(1,2)由题设eq o(BF,sup6()eq o(DA,sup6()，eq o(BF,sup6()eq o(DA,sup6()0，22(22)0，eq f(2,3).eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(2,3)，eq o(DF,sup6()eq o(BF,sup6()eq

13、 o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)，又eq o(DC,sup6()(1,0)，cosADBeq f(o(DA,sup6()o(DB,sup6(),|o(DA,sup6()|o(DB,sup6()|)eq f(r(5),5)， cosFDCeq f(o(DF,sup6()o(DC,sup6(),|o(DF,sup6()|o(DC,sup6()|)eq f(r(5),5)，又ADB、FDC(0，)，ADBFDC.13在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线

14、的长；(2)设实数t满足(eq o(AB,sup6()teq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()0，求t的值解析(1)由题设知eq o(AB,sup6()(3,5)，eq o(AC,sup6()(1,1)，则eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(2,6)，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(4,4)所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2eq r(10)，|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|4eq r(2).故所求的两条对角线长分别为4eq r(2)和2eq r(10).(2)由题设知e

15、q o(OC,sup6()(2，1)，eq o(AB,sup6()teq o(OC,sup6()(32t,5t)由(eq o(AB,sup6()teq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以teq f(11,5).14一条宽为eq r(3)km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知ABeq r(3)km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？解析如图所示，设eq o(AC,sup6()为水流速度，eq o(AD,sup6()为航行速度，以AC和

16、AD为邻边作ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸根据题意ACAE，在RtADE和ACED中，|eq o(DE,sup6()|eq o(AC,sup6()|2，|eq o(AD,sup6()|4，AED90.|eq o(AE,sup6()|eq r(|o(AD,sup6()|2|o(DE,sup6()|2)2eq r(3)，sinEADeq f(1,2)，EAD30，用时0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时半小时15在ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNeq f(1,3)BD，求证：M，N，C三点共线证明eq o(MN,sup

17、6()eq o(BN,sup6()eq o(BM,sup6().因为eq o(BM,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()，eq o(BN,sup6()eq f(1,3)eq o(BD,sup6()eq f(1,3)(eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq f(1,3)eq o(BA,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()，eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,6)eq o(BA,sup6().由于eq o(MC,sup6()eq

18、o(BC,sup6()eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()，可知eq o(MC,sup6()3eq o(MN,sup6()，即eq o(MC,sup6()eq o(MN,sup6().又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线16如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PAEF.分析本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出eq o(PA,sup6()和eq o(EF,sup6()的坐标，证明其模相等即可证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正

19、方形的边长为a，则A(0，a)设|eq o(DP,sup6()|(0)，则Feq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(a，f(r(2),2)，所以eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)a，f(r(2),2)，eq o(PA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，af(r(2),2)，因为|eq o(EF,sup6()|22eq r(2)aa2，|eq o(P

20、A,sup6()|22eq r(2)aa2，所以|eq o(EF,sup6()|eq o(PA,sup6()|，即PAEF.17如图所示，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAC，E是垂足，F是DE的中点，求证AFBE.证明ABAC，且D是BC的中点，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(BD,sup6()0.又eq o(DE,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(DE,sup6()eq o(AE,sup6()0.eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()，F是DE的中点，eq o(EF,sup6()e

21、q f(1,2)eq o(DE,sup6().eq o(AF,sup6()eq o(BE,sup6()(eq o(AE,sup6()eq o(EF,sup6()(eq o(BD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,s

22、up6()(eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,su

23、p6()eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()(eq o(DC,sup6()eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(EC,sup6()0.eq o(AF,sup6()eq o(BE,sup6()，AFBE. 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()ABC D2在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为(

24、)A.eq f(1,2) B.eq f(1,3)C.eq f(1,4) D13设P是ABC所在平面内的一点，2，则()AP、A、B三点共线 BP、A、C三点共线CP、B、C三点共线 D以上均不正确4已知点O，N在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N依次是ABC的()A重心外心 B重心内心C外心重心 D外心内心5.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则()Aaeq f(3,4)b B.eq f(1,4)aeq f(3,4)bC.eq f(1,4)aeq f(1,4)b D.eq f(3,4)aeq f(1,4)b6已知ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若

25、 (0)， (0)，则eq f(1,)eq f(4,)的最小值是()A9 B.eq f(7,2)C5 D.eq f(9,2)二、填空题7设向量a，b满足|a|2eq r(5)，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_8设a，b是两个不共线的非零向量，若8akb与ka2b共线，则实数k_.9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、(不包括边界)若ab，且点P落在第部分，则实数a，b满足a_0，b_0(用“”，“”或“”填空)三、解答题10.ABC中，eq f(2,3)，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设a，b，用a、b表示向量、.11已知

26、(、为实数)，若A、B、C三点共线，求证1.12已知ABC中，a，b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足ab，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a 共线，那么ab的值为()A1B2C3 D42如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则()Abeq f(1,2)a Bbeq f(1,2)aCaeq f(1,2)b Daeq f(1,2)b3已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c则()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2)C1 D24已知向量

27、a(1,1cos )，b(1cos ，eq f(1,2)，且ab，则锐角等于()A30 B45C60 D755已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，那么A、B、C三点共线的充要条件为()A2 B1C1 D16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(eq r(3)bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A的值等于()A.eq f(r(3),6) B.eq f(r(3),4)C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(3),2)二、填空题。7若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则eq f(1,a)eq f(1,b)的值等于_8在AB

28、C中，a，b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则_(用a，b表示)9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.三、解答题10已知向量a(1,2)，b(2,3)，R，若向量ab与向量c(4，7)共线，求.11已知P为ABC内一点，且3450.延长AP交BC于点D，若a，b，用a、b表示向量、.12已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1a2，求当且ABM的面积为12时a的值平面向量的数量积及平面向量的应用一、选择题

29、1若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3C2 D02若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()Aeq f(,4) B.eq f(,6)C.eq f(,4) D.eq f(3,4)3已知a(1,2)，b(x,4)且ab10，则|ab|()A10 B10Ceq r(5) D.eq r(5)4若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.eq r(2)1 B1C.eq r(2) D25已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题p1：|ab|10，eq f(2,3)p2：|ab|1(eq f(2,3)，p3：|ab

30、|10，eq f(,3)p4：|ab|1(eq f(,3)，其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3Cp2，p3 Dp2，p46已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)eq f(1,3)x3eq f(1,2)|a|x2abx在R上有极值，则a与b的夹角范围为()A(0，eq f(,6) B(eq f(,6)，C(eq f(,3)， D(eq f(,3)，eq f(2,3)填空题。7已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq f(,3)，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.8已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.9已知|a|b|2，

31、(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_三、解答题。10已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2eq r(5)，且ca，求c的坐标；(2)若|b|eq f(r(5),2)，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.11设a(1cos x,1sin x)，b(1,0)，c(1,2)(1)求证：(ab)(ac)；(2)求|a|的最大值，并求此时x的值12在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若k(kR)(1)判断ABC的形状；(2)若k2，求b的值答案详解答案一、选择题1解析：由减法的三角形法则知.答案：B2解析：M为边BC上任意一点，可设xy (xy1)N为A

32、M中点，eq f(1,2)eq f(1,2)xeq f(1,2)y.eq f(1,2)(xy)eq f(1,2).答案：A3解析：2，.即 ，P、A、C三点共线答案：B4解析：由|知，O为ABC的外心；0，知，N为ABC的重心答案：C5. 解析：ab，又3，eq f(1,4)eq f(1,4)(ab)，beq f(1,4)(ab)eq f(1,4)aeq f(3,4)b.答案：B6解析：由题意得，2eq f(,2)eq f(,2)，又D、E、F在同一条直线上，可得eq f(,2)eq f(,2)1.所以eq f(1,)eq f(4,)(eq f(,2)eq f(,2)(eq f(1,)eq f

33、(4,)eq f(5,2)eq f(2,)eq f(,2)eq f(5,2)2eq f(9,2)，当且仅当2时取等号答案：D二、填空题7解析：设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，即a(4，2)答案：(4，2)8解析：因为8akb与ka2b共线，所以存在实数，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.又a，b是两个不共线的非零向量，故eq blcrc (avs4alco1(8k0，,k20，)解得k4.答案：49. 解析：由于点P落在第部分，且ab，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a0，b0.答案：三、解答题10. 解

34、：eq blcrc (avs4alco1(，, f(2,3) ) eq f(2,3)eq f(2,3)b，ba.由ADEABC，得eq f(2,3)eq f(2,3)(ba)又AM是ABC的中线，DEBC得eq f(1,2)eq f(1,3)(ba)又eq f(1,2)()eq f(1,2)(ab)eq blc rc(avs4alco1(ADNABM, f(2,3) ) eq f(2,3)eq f(1,3)(ab)11证明：(1) (1) 又A、B、C三点共线k即eq f(1,)eq f(,1)k1.12解：依题意，由ab，得(ab)，即()如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线

35、交于O，则，A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过ABC边BC的中点详解答案一、选择题1解析：依题意得ab(3，k2)由ab与a共线，得1(k2)3k0，由此解得k1，ab22k4.答案：D2解析：abeq f(1,2)abeq f(1,2)a.答案：A3解析：可得ab(1，2)，由(ab)c得 (1)4320，eq f(1,2)答案：B4解析：ab，(1cos )(1cos )eq f(1,2).即sin2eq f(1,2)，又为锐角，sin eq f(r(2),2)，45.答案：B5解析：ab，ab，且A、B、C三点共线存在实数m，使m，即abm(ab)eq

36、 blcrc (avs4alco1(m,1m)，1.答案：D6解析：mn(eq r(3)bc)cos Aacos C0，再由正弦定理得eq r(3)sin BcosAsin Ccos Acos Csin Aeq r(3)sin Bcos Asin(CA)sin B，即cos Aeq f(r(3),3).答案：C二、填空题7解析：(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,2).答案：eq f(1,2)8解析：如图所示，eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,2)()eq f(1,3)eq f(1,

37、3)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(2,3)aeq f(1,3)b.答案：eq f(2,3)aeq f(1,3)b9解析：由已知ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c得12(m1)(1)m10，所以m1.答案：1三、解答题10解：ab(2,23)，又向量ab与向量c(4，7)共线，所以7(2)(4)(23)0，解得2.11解：a，b，又3450，34(a)5(b)0，化简，得eq f(1,3)aeq f(5,12)b.设t (tR)，则eq f(1,3)taeq f(5,12)tb.又设k (kR)，由ba，得k(ba)而a，ak(ba)(1k)akb.由，得eq f(1,

38、3)t1k，eq f(5,12)tk解得teq f(4,3).代入，有eq f(4,9)aeq f(5,9)b.12解：(1) t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2，2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有4t20,2t14t20故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，不论t2为何实数，A、B、M三点共线(3)当t1a2时，(4t2,4t22a2)又(4,4)，4t24(4t22a2)40，t2eq f(1,4)a2.(a2，a2)又|4eq r(2)，点M到直线AB：xy20的距

39、离deq f(|a2a22|,r(2)eq r(2)|a21|.SABM12，eq f(1,2)|deq f(1,2)4eq r(2)eq r(2)|a21|12，解得a2，故所求a的值为2.详解答案一、选择题1解析：由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案：D2解析：2ab(3,3)，ab(0,3)，则cos2ab，abeq f(2abab,|2ab|ab|)eq f(9,3r(2)3)eq f(r(2),2)，故夹角为eq f(,4).答案：C3解析：因为ab10，所以x810，x2，所以ab(1，2)，故|ab|eq r(5).答案：D4解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a21，b21，c21，由ab0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)cc