齐鲁医学传染病传播模型

1、传染病传播模型 人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。12021/10/23 星期六 传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。 22021/10/23 星期六模型 1（SI 模型） 假

2、设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 32021/10/23 星期六 根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的增加率为 N

3、s(t)i(t)。于是得到人员流程图如下42021/10/23 星期六进而有再设初始时刻（t = 0）病人的比例为i0，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题 Logistic 模型52021/10/23 星期六初值问题的解为 62021/10/23 星期六可画出 i(t) t 和 di/dt i 的图形为 i(t) t 的图形72021/10/23 星期六di/dt i 的图形82021/10/23 星期六于是可知： 当 t 时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。 9

4、2021/10/23 星期六 然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2时，di/dt 达到最大值 (di/dt)m，这个时刻为 这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 102021/10/23 星期六 还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触率 表示给定地区的卫生水平， 越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。 112021/10/23 星期六模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型） 有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫

5、性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。 122021/10/23 星期六 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人

6、数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期。 132021/10/23 星期六如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下 于是有142021/10/23 星期六记初始时刻的病人的比例 i0（i0 0），从而 SI模型可以修正为我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题，其解析解为152021/10/23 星期六其中 = /。 由 和 1/ 的含义可知， 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。于是有162021/10/23 星期六我们画出 di/dt i 和 i t 的图形为 di/dt i 的图形（

7、 1） 172021/10/23 星期六i(t) t 的图形（ 1） 182021/10/23 星期六di/dt i 的图形（ 1） 192021/10/23 星期六i(t) t 的图形（ 1） 202021/10/23 星期六模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型） 当传染病的传播周期比较长时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。212021/10/23 星期六

8、 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期。222021/10/23 星期六在上述的假设条件下，人员流程图如下 232021/10/23 星期六于是有242021/10/23 星期六 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 0）和

9、 i0（i0 0），从而考虑出生和死亡的 SIS 模型为252021/10/23 星期六而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型简化为 如果令 = /(+)，则 仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的 SIS 模型相同。 262021/10/23 星期六模型 4（不考虑出生和死亡的 SIR 模型） 许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它们已经退出传染系统。272021/10/23 星期六 模型的

10、假设条件为 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。282021/10/23 星期六在上述的假设条件下，人员流程图如下 292021/10/23 星期六由假设条件显然有s(t) + i(t) + r(t) = 1 302021/10/23 星期六 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移

11、出者的初始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值问题312021/10/23 星期六而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为 上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。322021/10/23 星期六 例如，取 = 1， = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，则求得数值解如下表，相应的 i(t)、s(t) 曲线和 i s 曲线如下图。 t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34

12、440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398332021/10/23 星期六SIR 模型的i(t)、s(t) 曲线 342021/10/23 星期六SIR 模型的 i s 曲线352021/10/23 星期六 在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经常

13、通过一些统计资料来估计。 事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人们经常利用定性理论从方程本身推出解的相关性质。 对于上述的 SIR 模型，就可以采用相轨线分析的方法，来获得i(t)、s(t) 的一般变化规律。（参教案，略）362021/10/23 星期六模型 5（考虑出生和死亡的 SIR 模型） 模型的假设 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数 N 中占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。 372021/10/23 星期六在上述的假设条件下，人员流程图如下 382021/10/23 星期六此时由假设条件有s(t) + i(t) + r(t) = 1 392021/10/23 星期六 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死