课时规范练36　直线、平面垂直的判定与性质

1、 课时规范练36直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.(2021湖南师大附中模拟)若m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n,则“mn”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知平面,直线n,直线m,则下列命题正确的是()A.mnB.mnC.mD.mnm3.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是()A.ACSBB.ADSCC.平面SAC平面SBDD.BDSA4. 已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直圆柱的底面,则必有()A.平面A

2、BC平面BCDB.平面BCD平面ACDC.平面ABD平面ACDD.平面BCD平面ABD5.(2021浙江,6)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则()A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN平面BDD1B16.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()A.B.C.D.7.(2021北京人大附中模拟)已知,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,l,m,下列四个命题:lm;lm

3、;lm;lm.其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)8.如图,已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有对.9. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=2a.求证:(1)PD平面ABCD; (2)平面PAC平面PBD.综合提升组10.若,是两个相交平面,则在下列命题中,正确的是()A.若直线m,则在平面内,一定不存在与直线m平行的直线B.若直线m,则在平面内,不存在无数条直线与直线m垂直C.若直线m,则在平面内,一定存在与直线m异面的直线D.若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线11

4、.如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足MNOP的是()A.B.C.D.12.(2021河北迁西第一中学模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1平面ABC,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件时,有AB1BC1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)13.在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.14.(

5、2021广东珠海第二中学模拟)在五面体EF-ABCD中,正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直,四边形ABCD为等腰梯形,ABCD,AD=DC=BC=12AB.(1)求证:平面BCF平面ACE;(2)若三棱锥A-BCE的体积为433,求线段AB的长.创新应用组15.刘徽注九章算术商功“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱;阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥;鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.图1图2在如图2

6、所示由正方体ABCD-A1B1C1D1得到的堑堵ABC-A1B1C1中,当点P在下列三个位置:A1A中点,A1B中点,A1C中点时,分别形成的四面体P-ABC中,鳖臑的个数为()A.0B.1C.2D.316.(2021广东深圳月考)已知某“鞠”(鞠为一种球体)的表面上有四个点A,B,C,D满足AB=BC=CD=DA=DB=10 cm,AC=15 cm,则点A到平面BCD的距离为cm,该“鞠”的表面积为cm2.课时规范练36直线、平面垂直的判定与性质1. A解析:若mn,m,n.又n,由面面垂直判定定理知,.“mn”是“”的充分条件;若,如图,在正方体ABCD-ABCD中,记平面BCCB为,记平

7、面ABCD为,AB为直线m,AD为直线n,满足条件,m,n,直线m,n异面.“mn”是“”的充分不必要条件.故选A.2.C解析:若直线n,直线m,则m与n可能异面,可能平行,故A错误;由直线n,直线m,则m与n可能平行,可能相交,可能异面,故B错误;由直线m,m,可得,故C正确;由直线n,直线m,mn,则m与可能平行,可能相交,故D错误.故选C.3.D解析:SD底面ABCD,SB在平面ABCD的射影BD与AC垂直,则SBAC,A正确;SC在平面ABCD的射影DC与AD垂直,则SCAD,B正确;利用上述垂直可得AC平面SBD,且AC平面SAC,从而有平面SAC平面SBD,C正确;若BDSA,则B

8、D垂直SA在平面ABCD内的射影DA,这不符合题意,D错误.故选D.4.B解析:因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以ACBC.又AD垂直圆柱的底面,所以ADBC.因为ACAD=A,所以BC平面ACD.又BC平面BCD,所以平面BCD平面ACD.故选B.5. A解析:连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,所以M为AD1中点.又N是D1B的中点,所以MNAB.因为MN平面ABCD,AB平面ABCD,所以MN平面ABCD.因为AB不垂直BD,所以MN不垂直BD,则MN不垂直平面BDD1B1,所以选项B,D错误;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1A1D,AB平面

9、AA1D1D,所以ABA1D,AD1AB=A,所以A1D平面ABD1.D1B平面ABD1,所以A1DD1B,且直线A1D,D1B是异面直线,所以选项C错误,选项A正确.故选A.6.B解析:对于,由AB与CE所成角为45,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于,由ABCE,ABED,CEED=E,可得AB平面CDE;对于,由AB与CE所成角为60,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于,连接AC,由ED平面ABC,可得EDAB,同理可得ECAB,又EDEC=E,所以AB平面CDE.故选B.7.解析:,l,所以l.又m,所以lm,正确;,l,则l或l,所以l,m可能平行、相交或异面,错误;lm,l,m

10、,则,相交或平行,错误;lm,l,则m,又m,所以,正确.8.7解析:在四棱锥P-ABCD中,因为PD平面ABCD,PD平面PAD,所以平面PAD平面ABCD;同理可得,平面PBD平面ABCD,平面PCD平面ABCD;因为PD平面ABCD,AB平面ABCD,所以PDAB.因为ABCD为正方形,所以ABAD.又PD,AD在平面PAD内,且相交于点D,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.同理可得,平面PCB平面PCD,平面PAC平面PBD,平面PCD平面PAD.所以一定互相垂直的平面有7对.9.证明(1)PD=a,DC=a,PC=2a,PC2=PD2+DC2,则PDDC

11、.同理可证PDAD.又ADDC=D,且AD平面ABCD,DC平面ABCD,PD平面ABCD.(2)(方法1)由(1)知PD平面ABCD,又AC平面ABCD,PDAC.四边形ABCD是正方形,ACBD.又BDPD=D,且PD平面PBD,BD平面PBD,AC平面PBD.又AC平面PAC,平面PAC平面PBD.(方法2)设AC与BD交于点O,连接PO(图略),易知POAC.四边形ABCD是正方形,ACBD.又POBD=O,PO平面PBD,BD平面PBD,AC平面PBD.又AC平面PAC,平面PAC平面PBD.10.D解析:设平面平面=直线l,对于A,当平面平面时,在平面内作直线nl,则n,而m,则n

12、m,故A错误;对于B,m,则ml,则平面内与l平行的所有直线都与直线m垂直,故B错误;对于C,因为直线m,则m与l重合时,即m,内的所有直线都与m共面,故C错误;对于D,当m时,结论成立,直线m与不垂直时,作与直线m垂直的平面,则必与相交,所得交线与m垂直,故D正确.故选D.11.C解析:设正方体的棱长为2,对于,如图1所示,连接AC,则MNAC,图1故POC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,在直角三角形OPC中,OC=2,CP=1,故tanPOC=12=22,则MNOP不成立,故错误;图2对于,如图2所示,取MT的中点为Q,连接PQ,OQ,则OQMT,PQMN.由正方体SBCN-MA

13、DT可得SM平面AMDT,而OQ平面AMTD,故SMOQ,而SNMN=N,故OQ平面SNTM.又MN平面SNTM,则OQMN,而OQPQ=Q,所以MN平面OPQ,而PO平面OPQ,故MNOP,故正确;图3对于,如图3,连接BD,则BDMN,由B的判断可得OPBD,故OPMN,故正确;对于,如图4所示,取AD的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,OA,图4则ACMN.因为DP=PC,DQ=QA,所以PQAC,故PQMN,所以QPO(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,因为PQ=12AC=2,OQ=AO2+AQ2=2+1=3,PO=PK2+OK2=4+1=5,所以OQ2PQ

14、2+OP2,所以QPO不是直角,故OP与MN不垂直,故错误.故选C.12.A1C1B1C1(答案不唯一)解析:当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时,有AB1BC1.证明如下:AA1平面ABC,BC=CC1,四边形BCC1B1是正方形,BC1B1C.CC1AA1,A1C1CC1.又A1C1B1C1,CC1B1C1=C1,CC1,B1C1平面BCC1B1,A1C1平面BCC1B1.ACA1C1,AC平面BCC1B1.BC1平面BCC1B1,BC1AC.AC,B1C平面ACB1,BC1平面ACB1,当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时,有AB1BC1.13.解析:假设AC与BD垂直,

15、过点A作AEBD于点E,连接CE.则AEBDBDACBD平面AEC,则BDCE,而在平面BCD中,CE与BD不垂直,故假设不成立,不正确.假设ABCD,ABAD,AB平面ACD,ABAC,由ABBC可知,存在这样的直角三角形,使ABAC,故假设成立,正确.假设ADBC,CDBC,BC平面ACD,BCAC,即ABC为直角三角形,且AB为斜边,而ABBC,故矛盾,假设不成立,不正确.14.(1)证明取AB中点O,连接CO.AD=DC=BC=12AB,ABCD,四边形AOCD为菱形,CO=OA=OB,OCB为正三角形,ACBC.正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直,且平面CDEF平面ABCD=C

16、D,CDCF,FC平面ABCD,AC平面ABCD,FCAC.BCFC=C,AC平面BCF.AC平面ACE,平面ACE平面BCF.(2)解设BC=x,则AB=2x,由勾股定理得AC=3x,由(1)可知,ED平面ABCD,故VA-BCE=VE-ABC=13SABCED,SABC=12x3x=32x2,即36x3=433,解得x=2,即AB=4.15.C解析:设正方体的棱长为a,则由题意知,A1C1=AC=2a,A1B=2a,A1C=3a,当P为A1A的中点时,因为PA平面ABC,则PAC=PAB=90,ABC=90.由BC平面PAB,得BCPB,即PBC=90,则PAB,PAC,ABC,PBC是直

17、角三角形,即此时P-ABC是鳖臑;当P为A1B的中点时,因为BC平面ABB1A1,所以BCPB,BCAB,所以PBC,ABC为直角三角形.因为ABB1A1是正方形,所以APBP,则PAB是直角三角形,又APBC,BPBC=B,所以AP平面PBC,所以APPC,所以PAC是直角三角形,则此时P-ABC是鳖臑;当P为A1C的中点时,此时PA=PC=12A1C=3a2,又AC=2a,由勾股定理可知,PAC不是直角三角形,则此时P-ABC不是鳖臑.故选C.16.1527003解析:由已知得ABD,CBD均为等边三角形.如图所示,设球心为O,设BCD的中心为O,取BD的中点F,连接AF,CF,OO,OB,OB,AO,则AFBD,CFBD,AFCF=F,得BD平面AFC,则AF=CF=53 cm,而AC=15 cm,所以AFC=120.在平面AFC中过点A作CF的垂线,与CF的延长线交于