有关人口模型的建模题

1、装订线商丘师范学院2011-2012学年度第二学期期终考试数学与信息科学学院数学与应用数学、信息与计算科学专业10级（数本10-1班、数本10-2班、信计10-1班）数学建模答卷评分标准数学模型（30 分）求解方法（30 分）结果与分析（30分）总体印象（10 分）总分总分人得分A题：河南省人口发展趋势预测摘要在科学技术和飞速发展的同时，我省人口也在快速增长，怎样科学合理的了 解我省未开人口数量和人口结构，已俨然成为我们要解决的问题了。本文根据河 南省统计局发布的我省近三十年人口数据，从不同的出发点分别建立如下的两个 模型。模型一采用指数增长模型进行预测，根据河南省统计年鉴发布的数据，运用 m

2、atlab中的差值与拟合的方法求出此模型的未知量，最后得到实际人口数据。 并与实际数据相比较，计算出误差率，最后得出结论此模型是否适合预测我省未 来人口。模型二是用阻滞模型进行预测的。它是根据我省历年人口自然增长率运用差 值与拟合的方法，求解出人口最大量，然后求解出模型的数学关系式 M=11096./（1+0.5231*exp（-r*t），则可以根据此数学式计算出我省未来人口。关键词：阻滞 Matlab数学模型一：问题重述随着我省不断加大中原经济区建设的力度，人口问题的发展趋势对于未来我 省有关政策的制定有着极大的影响。运用当前官方数据并通过适当数学模型，得 到未来几十年我省人口数量和相关人口

3、数据。从河南省最近几次人口普查数据来装订线看，儿童人口所占比例持续大幅度下降、老龄化进程加速、受教育程度持续大幅 度升高、城镇与乡村人口比不断提高、就业人数稳步提高。而人口、就业和城乡 区域协调发展问题是城市化进程中至关重要的问题。请根据河南省官方提供的数 据，分析河南省人口增长的特点，建立河南省人口增长的数学模型，对于河南省 人口的数量、老龄化水平，从2012年至2052年每隔十年的发展做一次数据的预 测。二：问题分析根据现有人口的数量、性别、年龄构成等预测未来人口数量的变化；根据过 去某一时期内人口增长的速度或绝对数，预测未来人口发展状况；第三，根据影 响人口总数变动的因素进行人口预测，下

4、面从这三个依据出发建立河南人口增长 模型。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确地预报，是有效控 制人口增长的前提。长期以来人们在这方面作了不少工作，下面介绍两个最基本 的人口模型并利用表1给出的近三十年的河南人口统计数据，对模型作检验，最 后用它预测2012至2052年每隔十年的人口。人口数据表：(人口单位：万人，年增长率0)年份198019811982198319841985198619871988人口728573977519763277377847798581488317年增长 率13.714.114.414.112.61417.219.920.1198919901991199

5、2199319941995199619971998849186498763886189469027910091729243931520.818.413.211.19.598.17.87.77.819992000200120022003200420052006200720082009938794889555961396679717976898209869991899677.77.16.965.65.25.35.34.955三：符号假设X :表示人口数目r(x):表示年增长率；r :表示固有增长率；装订线尤：表示最大人口数量；t :表示年份,t = 0代表1980年；% :表示初始时刻(t = 0

6、 )的人口；四：模型的建立与求解模型一指数模型我们知道最简单的人口增长模型为指数增长模型。即记今年人口为X0，k年 后人口为七，年增长率为r，则X广X(1+r)k。显然，这个公式的基本条件是年 增长率r保持不变，即是要保持每年年增长率大致不变的情况下才能使用此模型 进行预测求解未来人口数量。假设人口增长率为常数r，单位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t)。考虑t到t + At时间内人口的增量，显然有x(t + At) - x(t) = rx (t )At令At - 0，得到x(t)满足微分方程 竺=rx, x(0) = x dt0由这个方程很容易解出x(t) = x0ert.通过此种数学模型

7、对上述数据进行拟合，用MATLAB软件计算可得r = 0.0109x0=3.5235 x 10-6并得到指数增长模型拟合图(1)：装订线图（1） 指数增长模型拟合图形（1980年至2009年）模型二阻滞模型阻滞作用体现在对人口增长率,的影响上，使得尸随着人口数量x的增加而 下降。若将r表示为x的函数，则r（x）应是减函数。则可得到方程 dxt = xr（x）,x（0） = x（1），其中 r（x） = r-sx （r,s 0）（2），当 x = x 时人口不 再增长，即增长率r（xj = 0，代入（1）式得s = ，于是r（x） = r（1-里）（3），mm将（3）代入（1）得空=rx（1-三

8、），x（0） = x（4）。事实上，方程（4）可以用 dtx0m变量分离法求解得到x(t)=x申x1 + (m 1)e -rtx0装订线下面利用计算机mathlab软件求解出（4）式的变形式空 = r 一 sx,s = ， （5） xxm中的r,x。等式左边代表每年的自然增长率，可以通过数据表给出。通过计算机得出r = 0.0528442，x=11096，其中x0 = 11096.图形见表二。运用此人口模型进行预测后得到从2012年至2052年每隔十年的人口数据见表（3）图（3）人口预测（单位：万人）年份20122022203220422052人 口1012010499107361088110

9、968对于阻滞模型计算出的未来人口数目，让我们拭目以待。五、分析老龄化装订线采用人口普查资料、,预测河南省平均期望寿命，利用线性回归模型预测老年人 口系数.结果预计到2012年、2022年、2032年、2042年和2052年，河南省女性 平均预期寿命分别为71.90岁、72.64岁、73.24岁、73.73岁和74.11岁男性平 均预期寿命分别约为76.22岁、77.37岁、78.16岁、78.62岁和78.83岁河南省老 年人口系数将分别达到8.47、9.73、10.99、12.25和13.51 .河南省老年人口系数 年代的增加呈线性增长趋势，回归方程分别为Y = 5.528+0.000 288X和 Y=-244.793+0.126X.河南人口抚养比在未来50年中发生了明显的变化。老年人口抚养比 则从13.7%上升到54.6%,上升了 40.9个百分点。同期，少儿人口抚养比下降，少儿人口抚 养比从1990年的43.1%下降到2050年的28.8%,下降了 14.3个百分点。由于老年抚养比增 加的速度远远快于少年抚养比的下降速度，导致总人口抚养比从2000年的56.8%增加到 2052 年的 83.3%。六、模型的推广与评价显然，对于人口增长问题，模型一即指数增长模型，它是在年增长率保持不 变的情况下才是适