《数值分析》总复习题-2013年-附部分答案

1、三位有效数字）作近似计算，问计算第2页（共17页）工程硕士数值分析总复习题（2013年用）由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用注：部分文字型的题目请根据提示自行査找，部分题目附图片的是根据老师答疑课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出；碍于本人水平有限，部分题目未有解答。祝各位考试顺利！一.解答下列问题：1）下列所取近似值有多少位有效数字（注意根据什么?）:a）对e=2.718281828459045，取x=2.71828（答:6位（因为它是按四舍五入来的）b）数学家祖冲之取If!作为兀的近似值.（答：7位（按定义式兀355|=13.14159263.1415929|+

2、x10-6推得）c）经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001，90.55000，它们的有效数字位数分别为一5一位，位，一位。2）简述下名词：a）截断误差（不超过60字）（见书P.5）答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差b）舍入误差（不超过60字）（见书P.6）答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，这就要求进行“舍入”，这时所产生的误差就是舍入误差。c）算法数值稳定性（不超过60字）（见书P.9）答：是指算法在执行过程中，某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被积累或放大，从而不会

3、严重降低全部计算的精确度。3）试推导（按定义或利用近似公式）:计算x3时的相对误差约等于x的相对误差的3倍。（参考书P.7例1.2.3）第1页（共17页）产F_（叔空空空2rxWP冥4)计算球体积V二4兀r3时，为使其相对误差不超过0.3%,求半径r的相对误差的允许范围。（见书P.7例1.2.3）注意，有两种解法，任选其一。也釁雅鬻X豔就般鵲:呼皿踰.轉医L抿据定文cjV*）=-=工=匚土_山+*宀為严严八严FD特二阴仆*】（注令心旷）|T矢O丨W0珈J得半桂址许的相对溟妾锻法利用帆差怙计舍式（下面算武中的rV也可理解就近偃值】点叭卩務11：）=抒:池=3如=琢心irrV斗44*-尹厂J-与解

4、法同.令v）|=3|G（r）|）.3%P可得半控允许的柿炖溟遵|叮门用仇.-.iH-i.*AA5)计算下式P(亠亠-亠+厶-亠+丄+34(X-1)5(X-1)4(X-1)3(X-1)2X-1时，为了减少乘除法次数，通常采用什么算法？将算式加工成什么形式?参考书P.43习题1.9（1）及其答案）6)递推公式y=10y1,n-1n=1,2,如果取y0=叱2u1.41=y*(0到y10时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？(本题略)二.插值问题:1)设函数f(X)在五个互异节点X1,X2X3X4兀5上对应的函数值为f1,f2,f3,f4,f5,根据定理，必存在唯一的次数(A)的插值多项式

5、P(x)，满足插值条件(-B-)对此，为了构造Lagrange插值多项式L(x),由5个节点作(C)个、次数均为(D)次的插值基函数TOC o 1-5 h z/.(x)为_(E),从而得Lagrange插值多项式L(x)为CF)，而插值i_余项R(x)二f(x)L(x)=(G)。B(1,2)、C(2,3)的插值多项式。(方法一.见P.46例2.1.1方法二.利用Lagrange插值公式方法三.画图并根据定理分析)第3页(共17页)第 页（共17页）第 页（共17页）方法一:脳亠绸妾数认恥cTtb-o+c二l*仇r十屏弋：二夕f】十匚二$Jf（X）=x十IS丨(仇箱二1方！h-1也妣二丄Lr.方

6、法二:祈械二:抵住由4龟牡*八q/1二、工占丄3（*二丄L=3L/x）=-th（砒十皿爪二（用）厲空J（寸陛空均%）（XrXj卞（焉他）:二”-里0?十2小代可1（p-|）（c-i）（匸取可4乂-廿)(YT)uto7h)-3方法二:槪王:国解呱总仞乩上勺农也0匸二債克-隶亘嫩上諭9?=杓.3）求函数f（x）二e-x在0,1上的近似一次插值多项式。（见习题2.4及答案.）L（x）讯“）七Mr）4）由函数值表：x:123e-x:0.367879441,0.135335283,0.049787068求e亠的近似值.（解略）5）利用插值方法推导工nx-ji二x.iji=0j=j丰i（本题略）三.拟合问

7、题：1）对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是（A）和（B）（见教材P.98）曲上述慕解过即町见，根摒已知数据求皿小二乘拟合曲罐有蹈牛卞餐涉骤:倉定枫昔檸划的幣式、却选庄空问的基歯数敦IpL，.平”：求雄小-来解（T）、即求出拟舍曲红，它牺化丸求解机就的也H胖-2）对同一个量的多个近似值，常取其算术平均作为该量的近似值，这种做法的意义是什么？（答：在最小二乘意义下误差最小）3）设有实验数据如下:1.361.731.9522814.09416.84418.47520.963（解略）按最小二乘法求其拟合曲线。4)已知某试验过程中函数f依赖于x的试验数据如下:Xi/:0.81.51.82.0i

8、试按最小二乘法拟合出一个形如S=ax+bx2的经验公式。（见习题3.6本题取90（x）二x，91（x）二x2）0-a,bdFi二纟工【CtKi皿IrxO.W7设有实验数据如下：X1101826按最小二乘法拟合出一个形如S=a+bx2的经验公式。（参考习题3.7.取90（x）二1,片（x）二x2）数值求积：写出数值求积公式的一般形式，指出其特点，并说明它对计算机的计算有什么意义?(答:Jbf(x)dxqa工Af(x)kkk=0下见书P.130第7行)迢冲求积仝式的捋点是把求蔗呂瞅国班过理申吃农乘法苛加沽的优數运範，这吠适台计算机的运算.构造这种求枳舍式苗要做的工昨是:确定节点丑及帝數皿G=oi小

9、包括覇定具体的小估计余项码门以&讨论公式的煤法设计產诧牯简述数值求积公式的”代数精度”的概念.(见书P.131定义4.1.1)庭义胃Li如黑數值抑確式心七档士輯/(如，当疋)酗e次的式(J简化地我示八1“严.严时上闭儿门扣=/j.2兀4兀6兀2(f()+f()+f()363636兀=而2+4x(1.9981001+1.9831825+1.9705386)+2x(1.9924473+1.9548386)+1.9364917兀=2+4x5.9518212+2x3.9472859+1.9364917108兀=2+23.807284+7.8945718+1.9364617108沁0.02908888x

10、35.638316沁1.0366758注意:1.本题因函数值计算较复杂,故给出函数值表,在其它题中函数值要你现场计算.2.若无带计算器,则要列出前面两个等号的具体数值信息,而不仅仅只列一般公式.解线性代数方程组的直接法:1)Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A.提高计算速度；B.提高计算精度；C.简化计算公式;D.提高计算公式的数值稳定性；E.节省存储空间。(选B,D)2)采用“列主元Gauss消去法”解下列方程组：235x51347x=62133x5113用”列主元Gauss消去过程”将方程组约化成上三角方程组；用”回代过程”依次列式计算出方程组的解。(搞懂P

11、.177的例5.2.2(但这里不用求行列式的值detA)设方程组10-7-1现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答:a）所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？（列主元Gauss消去过程和回代过程）b）要用几步消元？（2步）c）每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）?（按列选主元;必要时换行）d）现经第1步消元结果，上述方程组已被约化为10-70 x1-7_6x26o5x3匚2请你继续做消元计算，直至约化成上三角方程组。（解:第二步消元:按列选主元为5；,10-7换行得消元计算:2-to_+25a二6(+)x5二3+255a-61(-)x105二于是得上三角方程组10

12、-72252e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。(解:X3(3)/(35)1第 页(共17页)第 页(共17页)&=(5；-5X1)/(5；)=-1x=(7+7X(-1)-0X1)/10=01解线性代数方程组的迭代法:1)解线性代数方程组x=Bx+f的基本型迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f,k=0,1,其中B称为什么？x(0)又称为什么？如果迭代序列(k)有极限x*(即迭代公式收敛)，则极限x*是什么？(迭代矩阵/初始向量/方程组的解)2)设解线性代数方程组Ax=b(其中AeRnxn非奇异，b主0)的迭代公式为x(k+1)=x(k)九(Ax(k)b),k=01,则其迭代矩阵是什

13、么？此迭代公式对任意的初始向量x(0)收敛的充分必要条件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量x(0)收敛的一个充分条件是什么？(答：1一九A；P(1一九A)1;|1九A|1)3)设线性方程组x31=xC52试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛，为什么？试用初值x=(，)T计算GS迭代公式的前三个值.(解：12x+x=3写出原方程组为：+425，按公式构造方法可得:1x+4x=51213x(k+1)=x(k)+J迭代公式：1222k=0，1，2,.x(k+1)=x(k)+1241413x(k+1)=x(k)+GS迭代公式:k122215X(k+1)

14、=x(k+1)+2414所得公式都收敛,因原方程组系数距阵为严格对角占优矩阵.用初值x(0)=(0,0)T计算GS迭代:1x(0)221x(1)41x=1x(1)=2x(2)1x(2)2x(3)1x(3)231+=x0+1.5=1.5TOC o 1-5 h z22+-=1x1.5+1.25=0.87544131_x+=x0.875+1.5=1.062522221x(2)+5=1x1.0625+1.25=0.984375414431_x(2)+=x0.984375+1.5=1.00781252221x(3)+5=1x1.0078125+1.25=0.99804694144第 页（共17页）第 页

15、（共17页）-1-5_x-4_4）设方程组_9-1_18x1-2试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式,并说明两者收敛的根据；求出这两种迭代的迭代矩阵.（解：先把方程组换行成严格对角占优矩阵方程组f9x-x=8|x-5x2=-4，按迭代公式的构造方法可得收敛的J迭代公式和GS迭代公式（以下参见上题写法；至于求两种迭代的迭代矩阵略）打魂孚楼刑壮紙n:1世痒u恥紀5）设线性方程组1-0.5aAxb,A-0.52-0.5,x,beR3a-0.51请按便于计算的收敛充分条件，求使J法和GS法均收敛的a的取值范围.（解略）一元方程求根：1）写出求方程f（x）

16、二x3-3x-1二0在1,2中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。（解：可作不动点迭代公式x=,3x+1,k=0,1,k+ik即迭代函数申（x）=33x+1,由1.当1x2时有133x+122.3v(3x+1)21）的有根区间3,4.试写出求该方程在3,4中的根的一个不动点迭代公式；证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.（见课本P.245例7.3.2.题中”试设计其计算机算法”略）*”姙人辄糾I二甘（nXttCtz弧蝌劣畝d的的藏収M十2_二甲wyoOW甲训二厶牛才二笛第 页（共17页）第 页(共17页)3）用Newton迭代法求方程f（x）二x3-3x-1二0在x

17、0二2附近的根，试写其Newton迭代公式；并说明其收敛情况。（解:x=xk+1kx3-3x-1kk3x2-3k其收敛情况是在x0=2附近，此迭代公式二阶局部收敛）4）试写出求V2的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。12（解:X,=恳（x+），k=0，1，k+12kxk其收敛情况是对任意x00,此迭代公式二阶全局收敛）常微分方程初值问题：1）常微分方程定解问题分为初值问题和（A）问题初值问题是指由（B）和O两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时，通常针对基本形式（D）进行研究。设函数y（x）是某初值问题的解析解，则该初值问题在x处的解为（E）而数值解（通常记）为（F），它们的

18、关系是（G）.nTOC o 1-5 h z若记y（x丿是初值问题在点x,处的解，y,是由某数值方法得出的n1n1n1x,处的数值解，则该数值方法在x,处的局部截断误差是指一少）.n+1n+1（答:A.E.H.2）设初值问题fy=f（x,y）边值B.方程C.初始条件D.（/、y（x）=y00y（x）F.yG.近似关系nn在假定前一步没有误差（即y（x）=y）的情况下，TOC o 1-5 h znnx,处的截断误差e,=y（x丿一y,）n1n1n1n1fy=-xy2一y,0 x0.6ty（0）=1试用Euler方法取h=.2，求解上述初值问题的数值解。（解:y0=1y=y+0.2x(-xy2-y)0000=1+0.2x(-0 x12-1)=0