在工农业生产中产量的高低、质量的优劣,方案实施效果的好坏等,往

1、 在工农业生产中产量的高低、质量的优劣，方案实施效果的好坏等，往往是由许多因素所至。这就要从众多因素中找出主要因素，分析该因素处在何种状态时，使产量高、质量优、效果好。 要解决这类问题就需要： 当两个总体方差相等时，可用 t 检验来检验两个总体均值间的差异性；当总体是三个或三个以上时如何检验呢？就要用本章的方差分析。它是在二十世纪20 年代由著名统计学家R. Fisher首先应用到农业试验中的。 由于试验设计不同，方差分析的方法也有所不同。本章重点介绍单因素方差分析和双因素方差分析。 方差分析的作用：从方差的角度分析试验数据、判断各因素各状态对试验结果的影响是否显著。第九章 方差分析 一、设计

2、一个好的试验方案（试验设计）； 二、有效地分析多因素多状态下试验结果的差异性。 例1 检验某种激素对羊羔增重的效应。选用3个剂量进行试验，加上对照（不用激素）在内，每次试验要用4只羊羔，若进行4次重复，则共需要16只羊羔。研究激素用量对羊羔增重的影响是否显著。羊羔的增重（kg/每头/每200日） 试验中所研究的指标（羊羔的增重数量）称为试验指标或响应值；影响试验指标（增重数量）的量是激素，称为因素或因子；激素用量（因素的状态）称为因素的水平或简称水平。本例中有1个因素，4个水平，故称为单因素试验。几个概念 处理 重复1(对照)2341475057542525453653626769744515

3、75759 在方差分析中，通常取1-3个因素进行研究。因素的每一个状态称为一个水平，水平可以是数量化的，也可以是定性的。 例1为单因素四水平试验。也就是四个总体的比较问题。 本例中有一因素 (激素, 记为A) 四个不同水平 (分别记为A1, A2, A3, A4)。可认为一个激素水平的增重量就是一个总体，在方差分析中总假定各总体独立地服从同方差的正态分布，即第j个激素水平的增重量是一个随机变量，它服从分布N(j , 2), j=1, 2, 3, 4. 要检验假设 若拒绝H0，我们就认为这四个激素水平的平均增重量之间有显著差异；反之，就认为各激素水平间增重量的不同是由随机因素引起的。 方差分析是

4、检验同方差的若干正态总体均值是否相等的一种统计分析方法。9.1 单因素方差分析 例2 一批由同种原料织成的同一种布，用5种不同染整工艺处理，然后进行缩水率试验，考察染整工艺对缩水率的影响，在其它条件尽可能相同时，测得缩水率（%）如下表。 水平 重复A1 A2A3A4A514.3(x11) 6.1(x12)6.5(x13)9.3(x14) 9.5(x15) 27.8(x21) 67.3(x22)8.3(x23)8.7(x24)8.8(x25)33.3(x31) 4.2(x32)8.6(x33)7.2(x34)11.4(x35)46.5(x41) 4.1(x42)8.2(x42)10.1(x44)

5、7.8(x45)由于xijN(j , 2) ，所以假定xij具有下述数据结构式：其中ijN(0 , 2)且相互独立。要检验的假设是： 一般地，设单因素试验中，因素A有k个水平 (总体)，记为A1，A2，Ak，相应的响应值（试验结果）X1，X2，Xk 是 k个相互独立的总体，且XjN(j, 2)（ j =1, 2, , k）。 今对第j个总体进行nj次重复观测，得到nj个观测数据xij（i=1, 2, , nj ），这可以看成是取自Xj的一个容量为nj的样本。 这里，并不要求n1, n2, ,nk完全相同。 观测数据及计算列表如下。单因素方差分析数据及计算表 由于xijN(j , 2) ，所以假

6、定xij具有下述数据结构式：其中ijN(0 , 2)且相互独立。要检验的假设是：为了方便起见，把参数的形式改变，并记 称为一般平均，j 为因素A的第j个水平Aj 的效应，容易看出，k个效应满足关系式：单因子方差分析模型中的数据结构式可以写成：xij = + j + ij, j=1,2,k; i=1,2,nj ;所要检验的假设可以写成：H0: 1= 2= k=0 引起诸xij波动的原因有两个：一个是假设H0为真时，xij的波动纯粹是随机性引起的；另一个可能是假设不真而引起的。因而我们设想用一个量来刻划诸xij之间总的波动，并把引起波动的上述两个原因从中分离出来，用另外两个量来表示，通过比较这两个

7、量来检验H0的真实性。记总离差平方和:它反映了观测数据总的变异程度组间平方和:反映因子A的不同水平效应间的差异组内(误差)平方和:反映了随机误差ij 对响应值影响的总和可以证明St =SA +Se 平方和分解公式 E(Se)=(n-k)若0成立，则当H0为真时，是2的两个无偏估计，故比值不应太大。当F值过大时，可以认为假设H0不真。 可以证明，当假设H0为真时，有于是 对于 显著性水平，查出临界值F( k-1, n-k). 若 FF(k-1, n-k),则在水平下拒绝H0 ，即认为有些水平对响应值的影响有显著差异。单因素方差分析表 记St, SA, Se的自由度为ft, fA, fe, 可以证

8、明如下自由度分解公式： ft = fA + fe 设在某试验中，有二个因素A、B在变动。 因素A取m个不同水平 A1，A2，Am， 因素B取r个不同水平 B1，B2，Br， 在(Ai, Bj)水平组合下的试验结果独立地服从N(ij,2)分布。 在每个组合水平(Ai, Bj) 下均做1次试验，得到观测数据xij见下表。9.2 双因素方差分析 基于这种试验进行的方差分析称为双因素无重复试验的方差分析。双因素方差分析观测数据表 B AB1B2BjBrA1x11x12x1jx1rA2x21x22x2jx2rAixi1xi2xijxirAmxm1xm2xmjxmr 例1 将土质基本相同的一块耕地分成均等

9、的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位：公斤），试以显著性水平1=0.05, 2=0.01考察品种和地块对收获量的影响是否显著。这是一个双因素无重复试验的方差分析问题。 在双因素无重复方差分析中，假定 ij =+i+j ，我们称该方差分析模型为无交互作用的方差分析模型。此时，我们只需对（Ai , Bj）的每个组合各做一次试验，记其结果为xij，则 xij=+i+j+ij。因此，无交互作用的方差分析模型为假设有两个：H01: 1=2=m=0H02: 1 =2 =r =0 若检验结果拒绝H01 (H02)，

10、则认为因子A (B) 的不同水平对结果有显著影响，若二者均不拒绝，那就说明因子A与B的不同水平组合对结果无显著影响。记那么，不难看出：总偏差平方和反映了数据 xij 总的波动大小。因素A的偏差平方和反映因素A的水平间的差异引起的波动。因子B的偏差平方和反映了因素B的水平间的差异引起的波动。误差平方和反映了随机误差引起的波动。可以证明如下平方和分解公式和自由度分解公式：其中 ft , fA , fB , fe 分别为 St , SA , SB , Se 的自由度。可以证明，在H01，H02为真时，有对给定的显著性水平，当 FAF(m-1, (m-1)(r-1)时拒绝H01, FBF(r-1, (

11、m-1)(r-1)时拒绝H02 . 例1 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位：公斤），试以显著性水平1=0.05, 2=0.01考察品种和地块对收获量的影响是否显著。 查表得临界值F0.01(3，12)=5.95 ， F0.05(4，12)=3.26。由于FBF0.05(4，12)，故认为地块不同对收获量无显著影响。由于FAF0.01(3，12)，故认为品种不同对收获量影响极显著。9.3 多重比较请 大 家自 学。9.4 双因素等重复试验的方差分析 若ij + i +

12、 j ，则称ij = ij - - i - j为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互效应，它们满足关系式： 为了研究交互效应是否对结果有显著影响，那么在（Ai,Bj）水平组合下至少要做t（2）次试验，记其结果为xijk，则要检验假设:H01: 1= 2=m=0H02: 1= 2= r=0H03: 对一切i, j 有 ij=0 将总的离差平方和分解： Se反映了误差的波动；SA，SB，SAB除反映误差的波动外还分别反映了因子A的效应的差异，因子B的效应的差异，交互效应的差异所引起的波动。我们分别称它们为误并的偏差平方和，因子A的偏差平方和，因子B的偏差的平方和以及交互作用AB的偏差平方和。对给定的显著性水平， 例1 在某化工生产中为了提高收率，选了三种不同浓度，