振动力学单自由度系统受迫振动课件

1、单自由度系统受迫振动2022/7/271教学内容单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应2022/7/272线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2022/7/273线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动弹簧质量系统设外力幅值外力的激励频率振动微分方程：x 为复数变量，分别与 和 相对应 实部和虚部分别与 和 相对应 m单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动受力分析kcx0m2022/7/274振动微分方程：显含时间 t非齐次微分方程

2、非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应本节内容单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动2022/7/275振动微分方程：设：代入，有：复频响应函数 振动微分方程：引入：振幅放大因子相位差则： ：稳态响应的复振幅 静变形单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动2022/7/276稳态响应的实振幅 若：则：无阻尼情况：单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动2022/7/277（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k

3、, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关 结论：单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动2022/7/278线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2022/7/279 稳态响应的特性以s为横坐标画出 曲线 幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当s1（ ） 激振频率相对于系统固有频率很低 结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当 0123012345单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2710 稳态响应特性（2）当s1（ ） 激振

4、频率相对于系统固有频率很高 结论：响应的振幅 很小0123012345单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2711 稳态响应特性（3）在以上两个领域 s1，s1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 0123012345单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2712 稳态响应特性结论：共振 振幅无穷大（4）当对应于较小 值， 迅速增大 当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降 0123012345单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2713 稳态响

5、应特性（5）对于有阻尼系统， 并不出现在s=1处，而且稍偏左 0123012345单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2714 稳态响应特性（6）当振幅无极值 0123012345单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2715 稳态响应特性记：品质因子 在共振峰的两侧取与 对应的两点 ， 带宽Q与 有关系 ：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭 单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2716 稳态响应特性相频特性曲线 以s为横坐标画出 曲线 相位差 位移与激振力在相位上几乎相同 （2）当s1（ ） （1）当s1（ ） 位移与激振力反相 （3

6、）当共振时的相位差为 ，与阻尼无关 0123090180单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2717有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性2022/7/2718讨论01230123450123090180假设系统固有频率：激励为：响应如何？系统静变形量：如何得到系统的幅频和相频特性？2022/7/2719惯性力阻尼力弹性恢复力+激振力+=0激振力：阻尼力：惯性力：弹性恢复力：稳态响应：矢量表示法2022/7/27202022/7/2721线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段

7、 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2022/7/2722 受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 显含 t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应回顾：单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2723 受迫振动的过渡阶段考虑无阻尼的情况 正弦激励通解：齐次通解非齐次特解初始条件决定 单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2724初始条件响应自由伴随振动强迫响应特点：以系统固

8、有频率为振动频率单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段零初始条件的响应中是否包含固有频率振动分量？2022/7/2725初始条件响应自由伴随振动强迫响应如果是零初始条件自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2726零初始条件(2) s 1(1) s 1稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动00稳态响应全响应单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2727零初始

9、条件0单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2728由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解 通解：初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2729即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应 单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2730例：计算初始条件，以使的响应只以频率 振动解：的全解：如果要使系统响应只以 为频率振动必须成立：初始条件：单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段是否只要满足零初始条件就可

10、以？2022/7/2731若激励频率与固有频率十分接近 令： 小量 考虑零初始条件，有：单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2732代入：单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2733可看作频率为 但振幅按 规律缓慢变化的振动 这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”0拍的周期：图形包络线： 单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2734当随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形 0响应曲线单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2735图 共振响应 【思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？ 1

11、.实际系统都存在阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅。 2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是 线性微分方程了，而是非线性运动微分方程，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。2022/7/2736讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应 初始条件响应自由伴随振动强迫响应利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2737初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动 自由伴随振动强迫响应0强迫响应全响应单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2738初始条

12、件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段2022/7/2739线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2022/7/2740基础简谐激励下的强迫振动2022/7/2741 简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动mxce2022/7/2742 简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激

13、振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 坐标：动力学方程： 基座位移规律 ：x1 相对基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/2743回顾：令：有：其中：单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动xfkcmx02022/7/27440.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1 0 0190180幅频曲线相频曲线单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/2745系统固有频率从左到右：单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动0.25 0.5 0.75 1.0 2.0

14、1 0 1 0 0190180支撑运动：DD如何分析s1，s1，s=1?2022/7/2746若以绝对位移 x 为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/2747单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/2748代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/2749幅频曲线01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 可看出：当 时，振幅恒为支撑运动振幅D当 时，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受

15、迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/2750 总结坐标：基座位移规律 ：x1 相对基座位移xfkcmx0D：基座位移振幅单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移 x 为坐标2022/7/27510.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1 0 01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 相对位移绝对位移2022/7/2752振动测试仪器(惯性式）2022/7/2753D：基座位移振幅0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1 0 位移传感器2022/7/2754A：基座加速度振幅0123012345加速度传感器2022/7/

16、2755V：基座速度振幅速度传感器2022/7/2756例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为 m1=1000 kg空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m阻尼比在满载时为车速为 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示为求： 拖车在满载和空载时的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/2757解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：得：c、k 为常数，因此 与 成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：因为有：单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性

17、力激励的受迫振动l =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz满载: m1=1000 kg空载: m2=250 kg车速 : v =100 km/hk =350 kN/m2022/7/2758满载时频率比记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2有：满载时阻尼比空载时阻尼比空载时频率比因此满载和空载时的振幅比：单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz2022/7/2759例： 已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计支座B不动求：质量m的稳态振动振幅单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离支座A产生微小竖直

18、振动ambAB解：固有频率：简化图在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度mk：因yA的运动而产生的质量m处的运动动力学方程：振幅：杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示2022/7/2760高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为 x：机器离开平衡位置的垂直位移 则偏心质量的垂直位移： 由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：简化图形mxce单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动McxMcxem激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 2022/7/2761me ：不平衡量 ：不平衡量引起的离心惯性力 设：得

19、：单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动Mcx2022/7/2762B 又写为 ：单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动2022/7/27630.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1 0 01901802022/7/2764例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1 m由自由衰减振动测得阻尼系数为假定求： （1）偏心距 e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？mxce单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动Mcx2022/7/2765解:（1）共振时测得最大振幅为0.1 m由自由衰减振动测得阻尼系数为共振时最大振幅

20、（2）若要使系统共振时振幅为0.01 mmxce单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动Mcx2022/7/2766单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动mxceMcxMcxem 偏心质量小结解1：解2：2022/7/2767工程中的受迫振动问题 惯性式测振仪 振动的隔离 单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题2022/7/2768回顾：单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题相对位移基座位移规律 ：绝对位移xfkcmx0mkxxfc支承运动情况2022/7/2769 惯性式测振仪 基础位移x 为 m 相对于外壳的相对位移动力方程 ：振幅 ：kcm单自由度系

21、统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪 当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值 A1 接近外壳振动的振幅 D.低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计.2022/7/2770 惯性式测振仪 单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪 使用频率范围当 s1以后， A1曲线逐渐进入平坦区，并随着 s的增加而趋向于1。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感器的自然频率。为了压低使用频率下限，一般引进 =0.6-0.7 的阻尼比，这样，A1 曲线在过了s=1之后，很快进入平坦区。2022

22、/7/2771 当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值 A1与外壳加速度的幅值成正比. A1 还可写为：高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计.单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪kcm：被测物体的加速度幅值2022/7/2772工程中的受迫振动问题 惯性式测振仪 振动的隔离单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题2022/7/2773图 几种振动抑制手段振源受控对象消振隔振阻振吸振消振:隔振: 在振源和受控对象之间加入弹性支撑来减小相互之间所 传递的振动量。阻振:吸振: 在受控对象上附加一个子系统，振动能量主要集中在子 系统中；

23、消除振源的振动；在受控对象上加阻尼；振动的隔离2022/7/2774第一类隔振（隔力）：通过弹性支撑隔离振源传到基础的力；第二类隔振（隔幅）：通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值；设备(振源)弹性支承基础图 隔力示意图图 隔幅示意图设备弹性支承基础(振源)振动的隔离2022/7/2775设备(振源)弹性支承基础设备(振源)基础1. 第一类隔振经隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别为：图 隔力问题的力学模型振动的隔离2022/7/2776传到基础上的力的合力幅值：力传递率：振动的隔离2022/7/2777图 隔幅问题的力学模型图 绝对运动传递率幅频特性绝对运动传递率：2. 第二类隔振设备弹性支承

24、基础(振源)设备基础(振源)在隔振器设计中，隔振系统的阻尼大好还是小好？s振动的隔离2022/7/2778 振动的隔离 将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振.主动隔振系数隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系统响应：m隔振前kcm隔振后单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离2022/7/2779隔振后通过k、c传到地基上的力：单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后2022/7/2780主动隔振系数隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基

25、的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振后通过k、c传到地基上的力：隔振系数：单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 2022/7/2781单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离例：机器安装在弹性支承上 已测得固有频率 阻尼比参与振动的质量是 880kg 机器转速 n2400r/min 不平衡力的幅值 1470N 求：（1）机器振幅， （2）主动隔振系数 （3）传到地基上的力幅 2022/7/2782例：机器安装在弹性支承上 已测得固有频率 阻尼比参与振动的质量

26、是 880kg 机器转速 n2400r/min 不平衡力的幅值 1470N 求：（1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅 单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离解：频率比：弹性支承的刚度： 机器振动的振幅 ：主动隔振系数 ：传到地基上的力幅 ：2022/7/2783振动的隔离 将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称为被动隔振.被动隔振系数隔振后设备的振幅隔振前设备的振幅基础位移：隔振前振幅：D隔振后系统响应：m隔振前kcm隔振后单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离2022/7/2784解：力的传递率：【例】：一台电

27、机质量为31kg， 转速n=2970r/min， 在电机与基础之间加有弹性衬垫，阻尼不计。要使传到基础上的力减为不平衡力的1/10， 问弹性衬垫的刚度系数为多少？振动的隔离2022/7/2785【例】：某直升机在旋翼额定转速360rpm时机身强烈振动，为使直升机上某电子设备的隔振效果达到 , 试求隔振器弹簧在设备自重下的静变形.解：绝对运动传递率：振动的隔离2022/7/2786线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2022/7/2787 机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性 机

28、械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比 动力学方程：输入：输出代入，得：复频响应函数根据定义，位移阻抗：单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳2022/7/2788位移阻抗与复频响应函数互为倒数， 也称为导纳 输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗 速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应 、 、 分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳2022/7/2789位移阻抗速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数 现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系

29、统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率、相对阻尼系数等参数及其它动力特征 单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳2022/7/2790复频响应函数又可写为：模及幅角： 同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳2022/7/2791记 实部和虚部为：实频特性曲线和虚频特性曲线 单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳发生共振时近似取最大值 101012022/7/2792还可以用频率比 s 或相对阻尼系数 作参变量，把 画在复平面上，这样得到的曲线称为乃奎斯特图（Nyquict plot） 粘性阻尼系数的 Nyquict 图是一个近似的园，并且在共振点附

30、近，曲线弧长随 s 的变化率是最大的Nyquict图在结构动力分析上有很多用处 -6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳2022/7/2793任意周期激励的响应前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励 假定粘性阻尼系统受到的周期激振力： T 为周期 傅立叶级数展开： 记基频：单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应记：n 的偶函数n 的奇函数为任一时刻 2022/7/2794运动微分方程 ：叠加原理，系统稳态响应 ：单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响

31、应不计阻尼时：代表着平衡位置 当 作用于系统上所产生的静变形 周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐波分析法 2022/7/2795例：质量弹簧系统受到周期方波激励 求系统响应 单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应问：为什么在常值力F0作用下，系统会产生振动？2022/7/2796解：激励的周期： 弹簧质量系统固有频率 激励力的基频 ：因 a0 一周期内总面积为0 =0区间 内， 关于 为反对称， 而 关于 对称=0单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应2022/7/2797区间 内关于为对称 而n取偶数时，关于反对称

32、区间 内关于为对称 而n取偶数时，关于反对称 因此单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应2022/7/2798当 n 取奇数时 于是，周期性激励 F(t) 可写为：单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应2022/7/2799则有：其中： 当不计阻尼时：系统运动方程 ：单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应2022/7/27100非周期激励的响应 非周期激励的响应 任意非周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应2022/7/27101 非周期激励的响应 - 对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应 - 单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数(t

33、) 表示 - 函数也称为单位脉冲函数，定义为： 且的图象用位于时刻、长度为 1 的有向线段表示 10单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应2022/7/27102函数： 是一个广义函数可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度趋于零时的极限 即： =其中：也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲 量纲：1/秒 100单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应2022/7/27103 函数的性质: 特别地，当时刻 = 0 时，有 ：实际应用时，通常 f (t) 在时才有意义冲量为的脉冲力可借助函数表示为： 当 I0 =1 时，为单位脉冲力 单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应因而有：

34、 2022/7/27104现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应单位脉冲响应记： 0+、0- 为单位脉冲力的前后时刻 运动微分方程与初始条件可合写为： 或脉冲响应 乘dt ：在脉冲力作用的瞬间，位移来不及变化，但速度可产生突变 令：00-0+单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应如果冲量为 ，脉冲力则为 ： 单位脉冲力2022/7/27105两边在区间内对时间积分： 在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，即有：x(0+) = x(0-) 又当 t 0+ 时，脉冲力作用已经结束，所以 t 0+ 时，有： 单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应

35、质量越大， 越小质量越小， 越大冲量为 的脉冲力：单位脉冲力：2022/7/27106系统的单位脉冲响应位初始位移为零、而初始速度为 1/m 的自由振动 记为 h(t) 无阻尼系统： 若单位脉冲力不是作用在时刻 t = 0，而是作用在 t =时刻： 解为： 如果系统在 t=时刻受到冲量为 I0 的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为 ：单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应2022/7/27107 任意非周期激励的响应 当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加 对于时刻 t =的脉冲力系统受脉冲作用后产生速度增量： 并引起 t

36、各个时刻的响应 系统的脉冲响应 ：单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应其冲量为：由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间内各个脉冲响应的总和 得：杜哈梅(Duhamel)积分 2022/7/27108利用卷积性质： 若有初始条件，则：若阻尼为零，则： 单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应2022/7/27109卷积与相关h(t)t00h(-)(1)反折x(t)0t卷积积分的几何图形表示(2)平移0h(t1 -)(3)相乘0h(t1 -)x(t)0tx(t)0t(4)积分(1)反折；(2)平移；(3)相乘；(4)积分。2022/7/27110卷积与相关h(t)

37、t0 x(t)0t卷积分的计算图例设：2022/7/27111（1）t=0时，y(0)=2A2 T0y(t)2A2T02T0-2T00 x(t)T0-T0h(0-)T0-T0A2T0-T0卷积与相关tt000卷积分2022/7/27112（2） t= T0 /2时，y(T0/2)=3A2 T0/2y(t)2A2T02T0-2T00 x(t)T0-T0h(T0/2- )T0-T0A2T0-T0卷积与相关卷积分2022/7/27113（3） t= T0时，y(T0)=A2 T0y(t)2A2T02T0-2T00 x(t)T0-T0h(T0/2- )T0-T0A2T0-T0卷积与相关卷积分2022/

38、7/27114（4） t= 3T0/2时，y(3T0/2)=A2 T0/2y(t)2A2T02T0-2T00 x(t)T0-T0h(T0/2- )T0-T0A2T0-T0卷积与相关卷积分2022/7/27115（5） t= 2T0时，y(2T0)=0y(t)2A2T02T0-2T00 x(t)T0-T0h(T0/2- )T0-T0A2T0-T0卷积与相关卷积分2022/7/27116（6） t= -T0/2时，y( -T0/2)=3A2T0/2y(t)2A2T02T0-2T00 x(t)T0-T0h(-T0/2- )T0-T0A2T0-T0卷积与相关卷积分2022/7/27117（7） t= -T0时，y( -T0)=A2