工程光学习题参考答案第十四章光的偏振和晶体光学

1、工程光学习题解答第十四章 光的偏振和晶体光学1. 一束自然光以30度角入射到玻璃-空气界面，玻璃的折射率n =1.54，试计算（1）反射光的偏振度；（2）玻璃-空气界面的布儒斯特角；（3）以布儒斯特角入射时透射光的偏振 度。解：光由玻璃到空气，n1 =1.54, n2= 1,r =30c2 =si n_1n1 si nyn2= 50.354rssi1 巾3528, rsin R v2tan- . -0.06305tan宀 匕I max - I minI max I min22rs-rp=22rsrp= 93.8o=tan，331.54 -B时，T2 = 90 -= 570,p =0,s啦归=0

2、.4067 sinTs=1 _rs2 = 0.8364, Tp =11 0.8364门2 C0S2注：右2一，Ts 八 ts2,Tp =Mpn1 coskI max _ Tp I 0 , I min = Tsl2 2t t t故P 22或=C0S2(t -2)tp2 ts2Tp22.自然光以布儒斯特角入射到由10片玻璃片叠成的玻片堆上，试计算透射光的偏振度。解：每片玻璃两次反射，故2 20 2010 片玻璃透射率 Tsh1-rsi； -0.8364- 0.028I而 Tp =1，令.二 a ,pImax则= Imax7min一 0.02689 = 0.94761+1 Imax+lmin 1+0

3、.026893.选用折射率为2.38的硫化锌和折射率为（，=632.8nm ）的偏振分光镜。试问（ 度应为多少？解：（1） H3Sin45 二 n2sin j2n1tge1 （起偏要求）n3 = 2-n2sin v2 =、2n2tg v221 tg21.38的氟化镁作镀膜材料，制作用于氟氖激光2）膜层的厚1）分光镜的折射率应为多少?n2二五凸.迈.nn2厂nn2n2丿1ni2=1.6883（2）满足干涉加强 厶2=2n2h2 cos v22v2 = sin=30.1065则 h2 *2.2 n? cos 廿 2=76.84 nm而片=90 -）2 = 59.8934 ， h1 =22n1 co

4、s 齐=228.54 nm4.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与警惕主截面成（1）30度（2）45度（3）60度的夹角，求O光和e光从晶体透射出来后的强度比？解：垂直入射- -3，S波与p波分阶rs2二心2_ ni cos 片- n2 cosln, _ n2n1 cos n2 cosE n1 n2_ n2 cos 齐 - ni cos 二2 _ n 2 -n,n2 cos n1 cos v2n2 n1e光此时对应p波sin2 ： T0 cos2 ： Te=tg 2a血4取 n0 =1.6584, ne =1.4864则 5=tg2：0.9526IeI 1 ：

5、=30 -00.9526 =0.3175Ie 3: =45 ,S = 0.9526(3)ot=60，匕=3 0.9526 =2.8578I e5.方解石晶片的厚度d = 0.013mm，晶片的光轴与表面成 60度角，当波长=632.8nm的氦氖激光垂直入射晶片时（见图14-64），求（1）晶片内0、e光线的夹角；（2） O光和e光的振动方向；（3） o、e光通过晶片后的相位差。1fk 60d1!光轴图14-64 习题5图第五题解图解：垂直入射，o光、e光波失都延法线方向，而 e光光线方向2tg吟g： -0.7187 ne取 n0 -1.6584，ne =1.4864 (适合=589.3 nm)

6、打=35.7e光折射角 礼叮-30 =5.7 =54 2，此即与o光分离角e光折射率1.60992 a丄22cos n0 sin-no d2- =1.994 二 =632.8nm 时，n0 =1.6557,足=1.4852则叮=35.66 ,ne 1.60766 = 1.975 6. 一束汞绿光以600角入 KDP晶体表面，晶体的n。=1.512 ,ne =1.470,若光轴与晶体表面平行切垂直于入射面，试求晶体中o光与e光的夹角。解：先求波矢方向日。=sin，sin60八=34.94。I n0ek-1 = sinsin60-36.10o光与e光的夹角由于光轴与入射面垂直，故与波矢垂直，所以光

7、线与波矢同向，即36.10 -34.94 =1.16 =1 97.如图14-65所示，一块单轴晶片的光轴垂直于表面，晶片的两个主折射率分别为n。和ne。证明当平面波以片角入射到晶片时，晶体中非常光线的折射角de可由下式给出tgr en0 s i n1解：因光轴平行于界面法线, 由波矢折射定律所以波矢折射角等于波矢与光轴夹角,nne-n02 sin2 寸 ne2 cos2 -sin图14-65 习题7图nJ2 IE2nensin2 耳=ctgjn22 口2sin Sne2而tg：V =其tgr，故tgi2442-2-ro 1 n 1 ne sin “4 24 2 2. 2 re Ctg V ne

8、 n n sin 刊2 2 nsin 1=2 22心ne ne sin 1tgn=ne Jne sin d8. 方解石晶体的光轴与晶面成 30角且在入射面内，当钠黄光以 60入射角（即入射光正对着晶体光轴方向（如图14-66所示）入射到晶体时, 光线的折射角？在晶体内发生双折射吗？解:设e光波矢折射角 k与光轴夹角v - 60 -匕求晶体内eMe sin=ne sin 亠二!(n2 sin2 日 + ne2 cos 日)2 30光轴Fl图 14-66习题8图即 nj sin2 t n2sin2 v ne2cos% - n2ne2sin2 60 - v二 njsin2 哥 n2tg2rne2 产

9、n2ne2|2 2.25r2ne2 -q2n2sin2： tg-3 2 23 2 2n ne tg： n 足14=n .2522nesin2q tg2 -2 sin2 十=12 0.089461将 m = 1,片=60 , n =1.6584,ne 二 1.4864代入-.89461tg -0.86603tg0.47730 = 00.86603 一 0.866032 4 0.089461 0.47730豐囂2 7.6 -84.4舍去2光线方向 tgv - otg)- 0.65078 ：= 33.55e 光折射角 丸=60 7 - 26.945 =26 56一块负单轴晶体制成的晶体棱镜如图14-

10、67所示，自然光从左方正入射到棱 镜。试证明e光线在棱镜斜面上反射后与光轴夹角d e由下式决定：tgr e证明:2ne2设在斜面反射时e光波失方向与光轴有夹角. Vzi，则0n0nesi n心日 + 4 5ne si n 4 5 1n02 si n2. ： j ne 2 co 纟）2因 sin ： 一 ： 45 二手 cos； sin2 2 2 2 2 2 故 n0 sin . ： v - ne cos ： v - n0 cos ： v sin _ ” 2 2 2 2=no tg . r ne1 tg 二 口2 22nrfo2 1 2tg ： j -傀2 二.tg 心-空y0-光线与光轴夹角图

11、14-68所示是偏振光度计的光路图。从光源 Si和S2射出的光都被渥 拉斯顿棱镜 W分为两束线偏振光，经光阑后，其中一束被挡住，只有一束进入 视场。来自3的这束光的振动在图面内，来自 S2的这束光的振动垂直于图面。 转动检偏器N,直到视场两半的亮度相等。设这是检偏器的透光轴与图面的夹角 为试证明光源S,与S2的强度比为tg。证明：视场两半亮度相等，则E1 cos2- E2sin2rE1sin2 二E22cos图14-69中并列放有两组偏振片，偏振片 A透光轴沿铅直方向，偏振片 B透光轴与铅直方向成45方向。(1)若垂直偏振光从左边入射，求输出光强I ;(2)若垂直偏振光从右边入射,I又为多少？

12、设入射光强为1图 14-69习题11图解：(1 )左边入射，入射光偏光方向与A光透光轴相冋，故取后出射光强2 2 2 1I = I0 cos J cos v cosI08(2)右边入射2 2 2 2 1I = 1 0 cos d cos 二 cos 二 cosI 01612.电气石对o光的吸收系数为3.6cm，对e光的吸收系数为0.8cm，将它作成偏振片。当自然光入射时，若要得到偏振度为98 00的透射光，问偏振片需要做成多厚？Iod解：记 x 二-0，则 x = - d 二 ei dIe广丨e -丨0I-丨01 -X1 X0. 9 8故 1 -x =0.98 0.98x =x=0.01010

13、101.98In xa -a= 1.64 cm13.石英晶体制成的塞拿蒙棱镜，每块的顶角是 200 (见图14-70)，光束正入射 于棱镜，求从棱镜出射的o光线与e光线之间的夹角。解:两块晶体主截面共面，故光在斜面折射时o光仍为o光，e光仍为e光，且o光方 向不变，而e光折射前折射率为 n0，折射后为ne二，二-70 入.nsi n 2 0 .Jn0 s i Ine coSnnnnnOO02即 n0 sin v ne cos v sin 2 0 二 ne si n 70 cos j - cos70 si nr图14-70 习题13图二丨一ytg 日 +1 Sin 20 =(sin70 -cos

14、70tg日) 丿卑tg 爲 仁 tg70 tg= 2 ne* _ 2 2tg70tgr 1-tg270 =0取 no =1.54424，几=1.55335，则-0.011695tg弓 5.4949dgr -6.54863 = 0-|1 194793 一7705 一5.49495 一 讪00 6597-二-10.87777Sig波矢折射角乙7 - 70珂总：；23舍去，折射率=nSin20 =1.55335后表面入射角为20 -19.8777 =0.1223故 ne sin0.1223 =sin 玉-0.18997 -111414. 一束线偏振的钠黄光( =589.3nm )垂直通过一块厚度为1

15、.618 10mm的图14-71 习题14图试对于以下三种情况，决定出射光的偏振态。(1)入射线偏振光的振动方向与x轴成45角；(2)入射线偏振光的振动方向与x轴成- 450角;(3)入射线偏振光的振动方向与x轴成300角。石英晶片。晶片折射率为n。=1.54424 ,1.55335,光轴沿x方向(见图14-71),解：Ex 二cos- , E= sin TOC o 1-5 h z xy2兀2兀:x ned,： y nd/u/b2 二n。- ne d2 二589.31.54424 -1.553351.61 = 一TT-，右旋圆偏振2sin、. ： 0*(1)=45 ,Ex 二 Ey,y 分量超

16、前(2” =_45 ,Ex =Ey兀,为左旋圆偏振2（3）屮=30 ：划 =J3?右旋椭圆偏振sin 6 0Ey通过检偏器观察一束椭圆偏振光，其强度随着检偏器的旋转而改变。当检偏器在某一位置时，强度为极小，此时在检偏器前插入一块4片，转动4片使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转过200就完全消光。试问（1）该椭圆偏振光是左旋还是右旋？ （2）椭圆的长短轴之比?解军：一波片使y分量相位延迟，经波片后为线偏光，42其振动方向为逆时针转 70 （检偏器顺时针转 20消光），光矢量在一、三象限，y分量与x分量同相，说明原椭圆偏光y分量超前一，故为右旋。波片只产生相位延迟，不改变振幅

17、大小,2Ayy=tg70 = 2.747A为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将4片置于检偏器之前，再将后者转至消光位置。此时4片快轴的方位是这样的；须将它沿着逆时针方向转45才2能与检偏器的透光轴重合。问该圆偏振光是右旋还是左旋？解：圆偏光经一波片后变为线偏光，消光方向为逆时针转45 ，4说明线偏光为顺时转 45，即光矢量在二、四象限， y分量扎Ji与x分量有二的相位差，使y分量落后，故原圆偏光导出长、短轴之比为2: 1,且长轴沿左旋和右旋椭圆偏振光的琼斯矢量, 并计算这两个偏振光叠加的结果。解：左旋 5（2）， 右旋 （）两者相加ExEy =0，即沿X方向的线偏光19.为测量波片的相位延迟角

18、，采用图14-72所示的实验装置：使一束自然光相继通过起偏器、待测波片、-4和起偏器。当起偏器的透光轴和4片的快轴沿x轴，待测波片的快轴与x轴成45角时，从4片透出的是线偏振光，用检偏 器确定它的振动方向便可得到待测波片的相位延迟角。试用琼斯计算法说明这一 测量原理14-72片图习题19图解：待测波片后Ey_1_21.2波片后42 1 i =e2*COS2sin2y分量与x分量位相差为0，故为线偏振，偏振方向与x夹角tg-旦弋二Ey 220.一种观测太阳用的单色滤光器如图14-73所示，由双折射晶片C和偏振片P 交替放置而成，晶片的厚度相继递增，即后者是前者的两倍，且所有晶体光轴都 互相平行并

19、与光的传播方向垂直。 所有偏振片的透光轴均互相平行，但和晶体光 轴成45角，设该滤光器共有N块晶体组成。试用琼斯矩阵法证明该滤光器总的 强度透射比.是的函数，即汙=si 卫、半=2办（n。一ne）d”乙2*芒厂=丸 2因此该滤光器对太阳光的各种波长有选择作用。图14-73 习题20图解：设偏振器方向为y，晶体光轴为，与x或y都成45角，各晶片相位延迟2 二 n。-入 d ;i :=2，62 =2玄=4，k沖=2N(1) 投影法：P后光矢量(1戶Exo =0, Eyo =1* 11C1 后 E 1 = cos 45, Ey1 :V2V2再经F2后,Ex1=0, Ey1=E 1 cos 45 Ey

20、1 cos 45冷1同理 F3 光出射后，Ey2 =e 2 cosEy1 = e e cos2cos2R 1 光出射后，EyN = e2 $cos cos2 cos(2N 因为宀黔心而 cos 2k 4-sin 2k 4 :2ksin :sin 2k=2ksin :(N =k -1成立，则N =k也成立)2EyNsin (2N2Nsin j:| 1g 守波片的琼斯矩阵（快轴与 x成45 ） G=cos I 22 吨按题意 E = PGn PGn 1 PG1 1PG 二 cos 02 ol62oo,PG icos icoscos21.如图14-74所示的单缝夫琅和费衍射装置，波长为，沿x方向振动

21、的线偏振光垂直入射于缝宽为a的单缝平面上，单缝后和远处屏幕前各覆盖着偏振片 P1和P2，缝面上x . 0区域内P1的透光轴与x轴成45角；x：0区域内P/勺透光轴方向与x轴成-45，而P2的透光轴方向沿y轴（y轴垂直于xz平面），试讨论 屏幕上的衍射光强分布。图14-74 习题21图解：设入射光波振幅E。，为自然光，则 R出射后振幅为-E0，XA0与xv0振动2方向不同（相量），两部分无固定相位差,角，故II =11 sin亏0为光强迭加，sin，I下类似,22.将一块8片插入两个前后放置的偏振器之间，波片的光轴与两偏振器透光轴的夹角分别为-30和40，求光强为I o的自然光通过这一系统的强度

22、是多少?（不考虑系统的吸收和反射损失）1解:设波片（快慢轴为x , y）光轴为x，光通过一波片后8: :i4Ex =E一 cos30 , Ey =E一 sin30 e 4,、OOG再经检偏器后 E2 二 Excos40 - Ey sin 40 =巳 cos30 cos40 -sin 30 sin 40r 2r-ur-u因 a+bef =(a)=a2+b2+ab(e_L3+ei3 )=a2+b2+2abcos62E220* 20C 2=丘一 |(cos30 cos40 ) +(sin30 sin 40 )1sin 60 sin80 cos45 = 0.242E121又因 12-0，故输出，.24

23、211巾1211023.一块厚度为0.05cm的方解石波片放在两个正交的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器透光轴的夹角为 45。问在可见光范围内哪些波长的光不能透过这一系统解:正交偏振器透光轴分别为x , y，方解石光轴为，令：二仝 no- ne d，则光过波片后 E PS45厂45/ .；:1i .经检偏器后 Ey 二 E，cos45 Eycos45 1 -e要使Ey =0,则：=2m： （ m为整数）即不透的光波长!|5(n - ne )d 8600( nm )2兀(no - ne )dmm可见光波长范围 380nm- 780nm 即 m最大23,最小11m111213141516(

24、nm)781.8716.7661.5614.3573.3537.517181920212223390.9373.9505.9477.8452.6430409.5在两个正交偏振器之间插入一块2片，强度为I。的单色光通过这一系统。 如果将波片绕光的传播方向旋转一周，问（1）将看到几个光强的极大和极小值? 相应的波片方位及光强数值；（2）用4片和全波片替代2片，如何？解：设波片快慢轴为x , y，则光透过波片后 Ex -C0 E1,Ey -1 .=再经检偏器后 E2 二 Exsin Ey cos sin21-e_ E1E22Je42 sin2(2 2 _2cos 6 )= E1而I1I 0 （入射光

25、为自然光）2(1)用一波片，2甲=一 J!4,41 2I I 0sin2 2，波片转一圈,2兀时,1I取最大ImaxI 023，当叩，二厂-时，I最小2 2(2)Jin =0ji2，I2 10sin 2，则 Imax3I0,Imin=0(3)全波片八=2二，1 = 0，始终为0。在两个线偏振器之间放入相位延迟角为的波片，波片的光轴与起、检偏器1角。利用偏振光干涉的强度表达式（14-57）证明：当旋=（tg2-：）cos、。务2sin2(2a2sin2 心2幅&,2sin 2 念12丿=1 - COS转检偏器时，从系统输出的光强最大值对应的1角为tg2 1解：I 二a2cos2 ： - - -a

26、2sin 2 sin 2 - sin212丿sin 2 ： - - -sin 2： cos2：a2 sin2： cos2 ： cos、-a2 cos2： sin2 ： a2sin 2 cos2 ： cos、dld=0，贝U cos2： sin2：=sin2： cos2： cos、= tg2：二tg2： cos、此为极值满足的条件，例，则tg2_： =0- si=0 一： = 0，二，2I 2 丿I 二 a2cos2 i：；此时若：一，则 I 为极大，fy H.m：，则I为极小2利用双折射可制成单色仪。一束平行钠光通过一对透光轴相互平行的偏振器， 其间放入一块光轴与表面平行的方解石平板。要使波长

27、间隔-0.06nm的钠双线D的一条谱线以最大强度射出检偏器，此方解石的最小厚度应为多少？方解石早 D线范围的主折射率；当 =587.6nm时，no =165846 ne =1.48647 ；当 =589.3nm 时，no =1.65836, ne =1.48641。解：设x为光轴，光透过晶体后，n0-ne d九Ex 二 Ejcos- ,Ey 二 E1 si nd再经检偏器后E2 二 Ex cos-Eysin= cos2-sin 1故fd = ： d或其奇数倍 2f（扎纠- d、巳=启 2 .（cos2 屮 +si门2屮）24cos2sin2-： sin 2吃丿c o S = -2 s i n故 E2 2 = Ej2 Js4即 +sin4V +2cos2W sin2W cos6 】E1 1 一 si n2（也可引用（14-57）式）12丿所以，当二2m V，（n为整数）时，输出光强I为极小当：=2m二时，输出光强I为极大设波长时为极大，则 n0 - ne d二2m二，记 f，= nne即f d = m 1而波长为/时极小，f 亠 id=m_ 2由题意：= 587.6nm,n0 =1.65846, ne =1