《平面向量的数量积及运算律》优质课比赛课件

1、无论你是狮子还是羚羊你都必须奔跑在辽阔的非洲大草原上，当黎明的曙光刚刚划破夜空，一只羚羊从梦中猛然惊醒。“赶快跑！”它想到。“如果跑慢了，就可能被狮子吃掉！”于是，它起身就跑，向着太阳飞奔而去。就在羚羊醒来的同时，一只狮子也惊醒了。“赶快跑!”它想到，“如果慢了，就可能会被饿死！”于是，起身就跑，也向着太阳飞奔而去。一个是自然界兽中之王，一个是食草的羚羊，等级差异，实力悬殊，但面临着的是同一个问题：为了生存而奋斗！人与人之间的竞争，不仅仅是实力的竞争，更是行动速度，效率的竞争！无论你是优等生还是一般生你都必须奋斗平面向量的数量积及运算律定义：一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度

2、和方向规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当0时,a的方向与a方向相同； 当0时,a的方向与a方向相反； 特别地，当=0或a=0时, a=0运算律：设a,b为任意向量，,为任意实数，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。=180 =90向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。=0特殊情况OBAOBA当=0时，a与b同向当

3、=180时，a与b反向。 OBAOBA =90，a与b垂直，记作ab。说出下列两个向量 a 和 b 的夹角的大小是多少？ba( 1 )40O( 2)abab( 3) ab( 5 )ab60O(6)60Oba(4) 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a| |b| cos定义规定:零向量与任一向量的数量积为0。注意：向量的数量积是一个数量。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有那些区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“ ”在向量运算

4、中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab = bc 能否推出a = c ？(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。解：ab=|a| |b|cos=54cos120 =54（-1/2）= 10。例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。练习：p130-2,3OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|b|cos。|b

5、|cos叫做向量b在a方向上的投影。为锐角时为钝角时=90=0=180投影也是一个数量，不是向量；OAB|b|cos abB1OBA当=0时，|b|cos是|b|OBA当=180时， =|b|cos是|b|。OBA当=90， |b|cos是0。OBAB1ab当为锐角时， |b|cos是正值；OBAB1当为钝角时， |b|cos是负值；数量积的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的乘积。 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：ab=|a| |b| cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当 =90时ab为零。设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 （1）ea=ae = |a| cos重要性质:（5）|ab|a|b|ab|a|b|（4）cos=（3）当a与b同向时，ab=|a|b| 当a与b反向时，ab=-|a| |b|特别地，aa =|a|2或|a|=aa 。（2）ab ab=0(6) (a+b)2=a2+2 ab+b2四.课堂练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有ab=0-(2)若a0,则对任意非零向量b,有ab0-(3)若a0,且ab=0,则b=0 -(4)若ab=0,则a=0或b=0 -(5)对任意向量a有a2=a2 -(