三垂线定理复习

1、三垂线定理(04高考复习)复习目标：三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此能够进行推理、论证和解决有关问题。 一、引例：如图，已知PA平面ABC，ABC=90，求证：BCPB。思考：（1）证明线线垂直的方法有哪些？（2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 证明：PA平面ABC，BC在平面ABC内，PABC，又ABC=90， BCAB，BC平面PAB，PB在平面PAB内，BCPB线线垂直的方法 ：（1）a ,b在 内，则ab（2）ab，mb，则am （3）三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线

2、垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直PAOa线面垂直 线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理和其逆定理？三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂

3、直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直 线斜垂直 定 理逆定理二、定理内容阐述：1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线。 顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线”的含义：（1）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直“一面四线”的不同情况三、巩固性练习：1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ ）（A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ ）（A）至多只能有一个直角三角形 （

4、B）至多只能有两个直角三角形（C）可能都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形DC四、例题分析：例1：如图所示，已知PA 平面ABC，ACB= 90， AQPC，ARPB，试证PBC、 PQR为直角三角形。证明：PA平面ABC，ACB= 90， ACBC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，BCPC（三垂线定理），PBC是直角三角形；BC平面PAC，AQ在平面PAC内，BCAQ，又PCAQ，AQ平面PBC，QR是AR在平面PBC的射影，又ARPB，QRPB（三垂线逆定理）， PQR是直角三角形。小结：凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，而我们的目标应该是能够熟悉

5、这两个定理的直接应用。例题2、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC BD。证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO平面BCD于O，连结BO，ABCD，CDBO（三垂线逆定理），同理可得BCOD，则O为BCD的垂心，BDOC，OC是AC的射影，BDAC（三垂线定理）。若AB 平面BCD，垂线即是AB，由条件BCAD，则BCBD（三垂线逆定理），而BC是AC的射影， BDAC（三垂线定理）小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要的。例题3、如图示，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所在的平面，且BC=EC=2DB，求平面ADE与平面A

6、BC所成二面角的平面角。F解：延长ED、BC交于F，连AF，则AF为二面角的棱，由已知DB、EC都垂直正三角ABC， DB/EC，又BC=EC=2DB FB=BC=AB， FAC为Rt ，且FAAC，而EC 平面ABC， AFAE（三垂线定理），于是EAC为平面ABC与平面ADE的平面角，又EC=AC， EAC= 45， 二面角的平面角为45。 思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？（用 ）小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角的方法有（1）定义法，（2）三垂线

7、定理法，（3）作垂面法。此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。(学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等.)例题4、直角三角形ABC中，B= 90， C= 30，D是BC的中点，AC=2，DE平面ABC且DE=1，求E到斜线AC的距离？解：过点D作DF AC于F，连结EF， DE平面ABC，由三垂线定理知EFAC，即E到斜线AC的距离为EF，在Rt ABC中， B= 90，C= 30，AC=2， BC=，DFAC， 在Rt EDF中 为所求小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把垂线段作出，按“一作、二证、三计算”的步骤求解。方法规律：三垂线定理及

8、其逆定理的应用：（1）证明两条异面直线垂直；（2）确定二面角的平面角；（3）确定点到直线的垂线段。运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。能力拓展：1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ACB= 90，BAC=30，BC=1， ，M是CF的中点，求证AEDM。证明：连结AF， Rt AFC Rt MDF， AFC= MDF ， DMF+AFC=DMF+MDF= 90， DM AF，又ABC-DEF为直三棱柱， CFEF，又EFDF， EF平面AF，由三垂线定理知AEDM能力拓展：2、过Rt BPC的直角顶点P作线段PA 平面BPC，求证： ABC的垂心

9、H是P点在平面ABC内的射影。证明：H是ABC的垂心，连结AH延长交BC于D，连结BH延长交AC于E，ADBC，BEAC，AP平面PBC，BCPD，ADPD=D，BC平面ADP，BCPH，又AP面PBC，APPB，由已知BPPC，PB面APC，又BEAC，PEAC，AC面PBE，PHAC，ACBC=C，PH面ABC，H是P点在平面ABC的射影。1.直接利用三垂线定理证明下列各题：(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3) 在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D

10、 C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBDPOABCD证明:ABCD为正方形 O为BD的中点 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BCAMBCAM证明: PB=PCM是BC的中点PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方体AC1中，求证：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1

11、C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明： C B A1B1 C1A D D1同理可证， A1CB1D1由三垂线定理知 A1CBC1 若a是平面的斜线，直线b垂直于 a在平面内的射影，则 ab （ ）若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影， 则 ab （ ）若a是平面的斜线，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射 影则ab （ ）若 a是平面的斜线，平面内 的直线b垂直于a在平面内的射 影，则 ab （ ）2.判断下列命题的真假：面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直线

12、A1C 斜线 a直线AB 垂线 b面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 b已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO分析： 要证 BAO=CAO只须证OE=OF, OEAB,OFACP C B A O F E ?证明： PO OE、OF是PE、PF在内的射影 PE=PF OE=OF由OE是PE的射影且PEABOEAB同理可得OFAC结论成立 3. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。4. 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点， F在AB上，且C1EEF，则EF与GD所成的角的大小为（ ）(A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90DF A D C B A1D1