1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题：线面角（中下） 学案（Word版含答案）

1、空间向量专题8-1 线面角（中下）（7套，8页，含答案） 知识点：线面角： 直线和平面所成的角有三种： （1）斜线和平面所成的角：一条直线与平面相交，但不和垂直，这条直线叫做平面的斜线斜线与的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （2）垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00. 线面角取值范围：00900线面角（空间向量法）：先标注所有坐标点； 注意：x、y、z轴要两两互相垂直；不容易标

2、注坐标点的，可以先画出俯视图，标注XY轴的坐标，然后再在立体图上标注Z坐标；画图帮助自己理解线面角； 图中为两向量夹角，为要求的线面角，；设法向量；找出平面内的两相交直线的向量，；令，算出以及；算出直线AB向量以及；代入夹角公式：； 角度转换：典型例题：若平面的一个法向量n(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a(1，2，3)，则l与所成角的正弦值为( 答案：B；解析：cosa，neq f(an,|a|n|)eq f(1，2，32，1，1,r(149)r(2211)eq f(223,r(146)eq f(r(21),6).) A.eq f(r(17),6) B.eq f(r(21),6) Ce

3、q f(r(21),6) D.eq f(r(21),3)正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_ 答案：eq f(r(6),3)；解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，易证eq o(AC1,sup6()是平面A1BD的一个法向量eq o(AC1,sup6()(1，1，1)，eq o(BC1,sup6()(1，0，1)coseq o(AC1,sup6()，eq o(BC1,sup6()eq f(11,r(3)r(2)eq f(r(6),3).所以

4、BC1与平面A1BD所成角的正弦值为eq f(r(6),3)._如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)（ 答案：证明略，eq f(r(2),4)；解析：以A为原点，eq o(AB,sup6()，eq o(AP,sup6()分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已知可得：A(0，0，0)，B(0，a，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(

5、r(3),4)a，f(3,4)a，0)，P(0，0，a)(1)证明：eq o(AP,sup6()(0，0，a)，eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)a，f(a,4)，0)，eq o(BC,sup6()eq o(AP,sup6()0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂

6、足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，cosDAEeq f(o(AD,sup6()o(AE,sup6(),|o(AD,sup6()|o(AE,sup6()|)eq f(r(14),4)，AD与平面PAC所成的角的正弦值为eq f(r(2),4).(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二

7、面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP是直二面角）随堂练习：如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C与平面AB1D1所成的角的余弦值是（ 答案：B； ）(A)0 (B) (C) (D) 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_ 答案：，；_ 空间向量专题8-2 线面角（中下）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；( 答案：eq

8、 f(2,3)；解析：设正方体的棱长为1，如图所示，以eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()，eq o(AA1,sup6()为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)，eq o(AD,sup6()(0，1，0)，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以eq o(AD,sup6()是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB

9、1A1所成的角为，则sin eq f(|o(BE,sup6()o(AD,sup6()|,|o(BE,sup6()|o(AD,sup6()|)eq f(1,f(3,2)1)eq f(2,3).即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq f(2,3).(2)依题意，得A1(0，0，1)，eq o(BA1,sup6()(1，0，1)，eq o(BE,sup6()(1，1，eq f(1,2)，设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由neq o(BA1,sup6()0，neq o(BE,sup6()0，得eq blcrc (avs4alco1(xz0 xyf(1,2)z0)，所以xz，

10、yeq f(1,2)z.取z2，得n(2，1，2)设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0t1)又B1(1，0，1)，所以eq o(B1F,sup6()(t1，1，0)，面B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEeq o(B1F,sup6()n0(t1，1，0)(2，1，2)02(t1)10teq f(1,2)F为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F使B1F平面A1BE.)如图，四棱锥中，AB/CD ，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成角的正弦值.（ 答案：； 解：方法一：空间向量法（）以为坐标原点，射线

11、为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，设，则 ，且， ， ，由，得 ，解得： ，由，得 由，得 解，得 ， ， ， ， ， ， ，平面 6分（）设平面的法向量，则， ，又 ， ，取 ，得， ，故与平面 所成的交的正弦值为.方法二：综合法（） 解：如下图，取的中点，连结，则四边形为矩形， ，侧面为等边三角形，且，又 ， ，平面.（）过点作于，因为，所以平面平面所以平面平面，由平面与平面垂直的性质，知平面，在中，由，得，所以.过点作平面于，连结，则为与平面所成角的角，因为 ，平面，所以平面，所以，在中，由，求得.在中， ，所以 ，由，得 ，即，解得，所以，故与平面所成角的正弦值为.）

12、如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF证明：平面PEF平面ABFD；求DP与平面ABFD所成角的正弦值 答案：（1）略；（2）；解答：（1）分别为的中点，则，又，平面，平面，平面平面.（2），又，平面，设，则，过作交于点，由平面平面，平面，连结，则即为直线与平面所成的角，由，而，与平面所成角的正弦值. 空间向量专题8-3 线面角（中下）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为BC的中点，F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2) 答案：eq f(r(5),5)；解析

13、：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(0，2，2)(1)eq o(EF,sup6()(1，0，2)，易得平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，设eq o(EF,sup6()与n的夹角为，则cos eq f(o(EF,sup6()n,|o(EF,sup6()|n|)eq f(2,5)eq r(5)，EF与平面ABCD所成的角的余弦值为eq f(r(5),5).(2)eq o(EF,sup6()(1，0，2)，eq o(DF,sup6()(0，2，2)，设平面DEF的一个法向量为m，则meq o

14、(DF,sup6()0，meq o(EF,sup6()0，可得m(2，1，1)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(r(6),6)，二面角FDEC的余弦值为eq f(r(6),6).如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由（ 答案：证明略，eq f(r(2),4)，存在；解析：以A为原点，eq o(AB,sup6()，eq o(AP,sup6()分别为

15、y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已知可得：A(0，0，0)，B(0，a，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)a，f(3,4)a，0)，P(0，0，a)(1)证明：eq o(AP,sup6()(0，0，a)，eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)a，f(a,4)，0)，eq o(BC,sup6()eq o(AP,sup6()0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，Deq blc(rc)(a

16、vs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，cosDAEeq f(o(AD,sup6()o(AE,sup6(),|o(AD,sup6()|o(AE,sup6()|)eq f(r(14)

17、,4)，AD与平面PAC所成的角的正弦值为eq f(r(2),4).(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP是直二面角） 如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为矩形，面ABFE为直角梯形，AB/EF，AEF为直角，二面角DABE为直二面角，AB2AD2AE2EF4（1）证明：平面DAF平面CBF；（2）求直线DE与面ACF所成角的正弦值 答案：； 【命题意图】本题考查空间

18、线面关系的证明和线面角的计算，对空间想象能力和运算能力都有一定要求，难度：中等题解：（1）二面角为直二面角且为矩形，面，又在直角梯形中易证，面，面，面面 5分（2）由（1）易知，两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示 6分 则，8分设面的法向量为，由得，令得 10分设直线与面所成角大小为，则 12分第18题图空间向量专题8-4 线面角（中下）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小（ 答案：；）已知空间四个点A(1，1，1)，B(4，0，2)，C(3，1，0)，D(1，0，4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( 答案：C；解

19、析：设n(x，y，1)是平面ABC的一个法向量eq o(AB,sup6()(5，1，1)，eq o(AC,sup6()(4，2，1)，eq blcrc (avs4alco1(5xy10，4x2y10，)eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，yf(3,2)，)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，1).又eq o(AD,sup6()(2，1，3)，设AD与平面ABC所成的角为，则sin eq f(|o(AD,sup6()n|,|o(AD,sup6()|n|)eq f(f(7,2),7)eq f(1,2)，30.故选C.) A60 B45 C30

20、 D90如图：在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，ADDE，ADE90，ADCDCB120.（1）证明：平面ABCD平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值. 答案：证明略，；（1）证明：因为，平面，且，所以平面.又平面，故平面平面.（2）解：由已知，所以平面.又平面平面，故.所以四边形为等腰梯形.又，所以，易得，令，如图，以为原点，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，由所以取，则，得，.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.空间向量专题8-5 线面角（中下）正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与平面BDD

21、1B1所成角的大小为( 答案：A； )(A)(B)(C)(D)如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，.侧棱ACBC，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G.求与平面ABD所成角的正弦值；（ 答案：；解：(1)建立如图坐标系，设，则，则，则，取平面法向量为，则与夹角为与平面所成角的余角.所以cos， 所以与平面所成角的正弦值为.）如图，四边形与均为菱形，且（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值 答案：证明略，；解析：（1）设与相交于点，连接，四边形为菱形，且为中点，又，平面.5分（2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，为中点，又，平面.两两垂直，建立空间直角

22、坐标系，如图所示，7分设，四边形为菱形， ，. 为等边三角形，.，.设平面的法向量为，则，取，得.设直线与平面所成角为，10分则. 12分注：用等体积法求线面角也可酌情给分空间向量专题8-6 线面角（中下）如图，在棱长为的正方体中，分别在棱，上，且.（1）已知为棱上一点，且，求证：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值. 答案：证明略，；解：（1）过作于点，连，则.易证：，于是.由，知，.显然面，而面，又，面，.连，则.又，面，.由，面.（2）在上取一点，使，连接.易知.对于，而，由余弦定理可知.的面积.由等体积法可知到平面之距离满足，则，又，设与平面所成角为，.在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC，