振动响应的计算机仿真

1、课程名称：自动控制课程设计设计题目振动响应的计算机仿真院 系：专 业：年 级：学 号：姓 名：指导教师：西南交通大学峨眉校区2010年07月23日课程设计任务书专业 姓名 学号开题日期：2010 年07月13日 完成日期：2010年07 月23日题 目振动系统的计算机仿真一、设计的目的通过对机械振动系统响应的模拟仿真，加深对测试工程以及控制工程分析 方法的认识和理解，巩固所学知识，另外掌握利用MATLAB软件进行数值计算以 及系统仿真的初步知识，并能够进行数学模型的建立和模型之间的相互转换，提 高利用数学模型分析问题的能力，二、设计的内容及要求对一个单自由度和二自由度机械振动系统利用MATLA

2、B软件进行建模和仿真, 分别模拟其在不同激励下的输出响应，并针对二自由度机械振动系统较为详细地 论述了振动系统的动力学微分方程的建立、微分方程转化为状态方程及进行建模 和仿真分析，要求学会利用MATLAB中的各类调用函数进行时域、频域等系统分 析三、指导教师评语四、成绩指导教师（签章）年 月 日目录 TOC o 1-5 h z 摘要11第一章概述1 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 第二章建立数学模型2 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 1 单自由度机械振动响应系统的数学模型建立22二自由度机械

3、振动响应系统的数学模型建立3. HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 3将微分方程转化为状态方程.3 HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 第三章系统的时域分析6 HYPERLINK l bookmark65 o Current Document 1单自由度机械振动系统的时域分析6 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 1-1系统的单位阶跃响应.6 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 1-2系统的理想单位脉冲响

4、应.6 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 3-1-3系统的任意输入响应.8 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 2二自由度的机械振动系统时域分析7 HYPERLINK l bookmark82 o Current Document 3-2-1系统的单位阶跃响应.73-2-2系统的理想单位脉冲响应.9 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 3-2-3 系统的任意输入响应10 HYPERLINK l bookmark88 o Current Documen

5、t 2-4四阶龙格-库塔法进行时域仿真12 HYPERLINK l bookmark97 o Current Document 第四章振动系统的频域响应.14 HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 1单自由度系统的频域分析 14 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 1-1系统的频域分析.14 HYPERLINK l bookmark107 o Current Document 1-2二阶系统的频域探究15 HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 2二自

6、由度系统的频域分析.17 HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 第五章系统的稳定性分析19 HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 1单自由度机械振动系统的稳定性分析.19 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document 2二自由度机械振动系统的稳定性分析.20 HYPERLINK l bookmark131 o Current Document 第六章结语22参考文献23.振动响应的计算机仿真摘要：本课程设计就一个单自由度和二自由度机械振动系统为例，利用 MAT

7、LAB软件对其进行了建模和仿真，并针对二自由度机械振动系统较为详细地论 述了振动系统的动力学微分方程的建立、微分方程转化为状态方程及进行建模和 仿真分析。关键词：机械振动系统、自由度、MATLAB、建模、仿真Computer Simulation of Vibratory ResponseAbs tra ct :takin g aone deg ree of fre edo m mech ani calv ibratingsyst em anda two de gre es of fr eed om me cha nic al vib rating systemas exa mpl es ,t

8、 his co urs e des ign i s mod eli ng and s imu lat ing f or the m ech ani cal vib rat ing sys tem s by mat lab , and two d egr ees of free dom mech an ica lvib rat ion syst ems for a mor edetailedexpo sit ionof the dynami c d iff ere nti al e qua tio ns ofv ibrationsyst em e sta bli she d equa tio n

9、s are t ran sfo rme d i nto sta te equa tio ns and mo del ing an d s imu lat io n.Keywords : degrees of freedom; degree of freedom; MATLAB; modeling; model analysis第一章概述机械振动是自然界、工程技术、和日常生活中普遍存在的物理现象。所谓机械振动， 是指物体（或物体系）在平衡位置（或平均位置）附近来回往复的运动。1各种机器、 一起和设备运行时，不可避免地存在着诸如回转件的不平衡、负载的不均匀、结构刚度的 各向异性、润滑状况的不良及间

10、隙等原因而引起的受力不均、碰撞和冲击，以及由于使用、 运输和外界环境下的能量传递、存储和释放都会诱发或激励机械振动。所以说，任何一台 运行着的设备、机器都存在着震动现象。2机械振动既有有利的一面，也有有害的一面.一方面，可以利用振动为生产、生活服务; 另一方面,需要减小或避免振动以减轻因振动而造成的危害.3这些都需要对振动进行 动态响应分析，通过研究物体偏离平衡位置的位移、速度、加速度等的动态变化来达到目 的.随着计算机技术的不断发展，系统仿真技术的应用已遍及众多的领域.采用计算机仿 真的方法对振动系统的动态特性进行分析研究，能在设计阶段预测其未来运行的近似结果， 并提前对系统进行适当的修正及

11、改进，因此大大提高了产品开发的效率.4目前，在众多 数学应用软件当中，Matlab软件在该领域应用较为广泛，并深受用户欢迎.Matlab是一种 面向科学与工程计算的高级语言，提供了强大的矩阵处理和绘图功能.MATLAB/Simulink简介及特点MATLAB是由Math Work s公司于1984年推出的一套数学计算软件，经过多年的发展，已 经成为适合多学科多工作平台的大型科学应用软件。目前，MATLAB已经成为国际上最流行 的科学与工程计算的软件工具，它不仅是一个“矩阵实验室“和”手写式的计算纸“，而 且已经成为了一种具有广泛应用前景的全新的计算机高级编程语言，它集数值分析、矩阵 运算、信号

12、处理和图形显示于一体，构成一个功能强大、方便、界面友好的用户环境。5 它自带了许多专用工具箱可满足不同专业用户的需求，如科学计算、系统控制、图形处理、 信号处理、数据统计等。运用MATLAB提供的数值分析功能对机械振动系统仿真具有很大优势，其中动态系统工 具simulink使其主要工具箱之一，其主要功能是对动态系统做适当分析，从而可以在做出 实际系统之前，预先对系统进行仿真和分析，并可适当修正，提高系统性能，减少系统设 计和修改的时间，实现高效开噶维护系统的目的。Simulink的仿真结果能够以直观的图形 方法显示出来，仿真过程十分直观。4第二章建立数学模型根据研究目的，对所研究的过程和现象（

13、称为现实原型或原型）的主要特征、主要关系、 采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就 是构造数学模型。数学模型是计算机仿真的基础.要对系统进行仿真处理,首先应当建立系统的数学模 型，然后才可以对系统进行模拟.系统的数学模型是描述输入、输出变量及内部各变量之 间关系的数学表达式.最常用的数学模型是微分方程与差分方程.实际工程应用中，机械 振动系统是很复杂的，为了便于分析研究和使用数学工具进行计算，在满足工程要求的条 件下，要把实际的振动系统抽象为动力学模型，其模型可以应用牛顿定律来建立，使用质 量、弹性和阻尼三个要素来描述.实际的工程结构都是弹性体结构，是有

14、无限多个自由度 的系统，但通过适当抽象化，往往可以归结为多自由度系统.一般来说，一个n自由度系统 可以用n个独立坐标来描述,所以系统的振动常用n个二阶常微分方程来描述，振动微分方 程为：M X + CX + KX = F （ t）（1）2-1单自由度机械振动响应系统的数学模型建立如右图，为了简便计算，令质量m 1 = 1，阻尼系数d=0.5，弹单位阶跃其中M、C、K分别是n阶的质量、阻尼和刚度.F （t）为激励，X、X是位移x对时间的二次、 一次导数，求系统的动态响应就是解方程（1）.6簧系数k1=0.5，外部激励fl分别为单位脉冲函数5 （t） 函数R（t）=1，任意输入函数。根据牛顿第二定

15、律，建立如下运动力学方程：mi又 i + ci义 i+kixi = fi ;对式（2）进行拉普拉斯变换，可的传递函数为H （ s）= C （s） =i （3）R （s）mi s 2 cis + ki2二自由度机械振动响应系统的数学模型建立如右图，为了简便计算，令质量m1=m2=1， 阻尼系数c1=c2=0.5，弹簧系数k1=k2=0.5，外部 激励fl分别为单位脉冲函数(5(t)，单位阶跃函 数R (t)=1，任意输入函数。根据牛顿第二定律，建立如下运动力学方 程：mlX 1 + clX 1+k1x1 -2（x2-x1）-c2（又 2- X 1）二fl （4）（5）m2X 2 + c2（X 2

16、- X 1）+ k2 （x2-x1） = f2将上式(4)、(5)转化为矩阵形式3将微分方程转化为状态方程微分方程和传递函数只能够描述系统的输入输出关系，而对系统的内部结构不提供任 何信息。有系统的状态变量构成的一阶微分方程叫做状态方程(State Equation)。系统 的输出与状态变量间及输入之间的函数关系式，称为系统的输出方程。(Out Equation)。 微分方程都可以转化为状态空间方程，状态空间方程可以用于求解机械振动系统的时域响 应。用状态空间法分析系统时，首先要建立系统的状态空间表达式。状态空间表达式的建 立一般由三个途径：一是由系统框图来建立；二是从系统的物理或是化学的机理

17、出发建立; 三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或是传递函数演化。7将系统的动力学微分方程转化为状态方程，首先定义系统的各个位移和速度为状态变 量，即定义状态向量：同时，必须指定每个状态变量的初始值Z（0）=0,于是将微分方程转化为状态方程和输出方程，如下面所示：7( )二 AZ(i) += CZ(f) - 口 TOC o 1-5 h z 0I其中系统矩阵A =L - M K - M 1 H其中输入矩阵为b = 俨6 输出矩阵c = a sn直接传输矩阵n .本文仅对二自由度的机械振动系统做状态方程转化，即以ml、m2的位移和速度作为状态变量，取Y=得到状态方程 *二厂海寸-(Ci+C2)/n

18、iB m-(+处也|屁/也1C-睥恐-*i /10001/叫0 00-01/ 提B =00-00 -其中A=同时得到输出方程y(r)CZ(/)其中，C()C()A1C2-灼k?0010()001-D 二。从状态空间表达式能清楚的看出，状态空间表达式既能表征输入和输出对于系统内部 状态的因果关系，又反应了内部状态和输入对外部输出的影响，所以状态空间表达式是对 系统的一种完全描述。二自由度系统的状态方程将在下面的时域分析、频域分析和稳定性 分析中运用。第三章系统的时域分析控制系统最常用的分析方法是，当输入信号为单位阶跃和单位脉冲函数时，求出系统 的响应函数。系统的响应函数是时间t的函数，称为时域响

19、应。控制系统的时间响应应决 定于系统本身的结构和参数、系统的初始状态及输入信号的形式。从时域响应可以获得从 初始时刻开始的任意时间的响应值，因此事与分析最能体现系统各个方面的性能。分析的 方法式求解系统的微分方程，或是将其传递函数利用拉斯反变换在时域中进行分析。81单自由度机械振动系统的时域分析单自由度的机械振动系统进行时域响应分析，该系统分别在单位脉冲函数、单位阶跃 函数和任意输入函数下的时域响应。3-1-1系统的单位阶跃响应单位阶跃信号时控制系统最常用的典型输入信号。根据系统单位阶跃响应的特征值可 以定量的描述系统的快速性、阻尼性和稳定性等性能指标。MATLAB中求取连续系统的单位 阶跃响

20、应的函数为step。已知单自由度机械振动系统的传递函数为H(s)二竺2 =1 ，R(s) ms 2 cis + k1且m 1=1，阻尼系数c1=0.5，弹簧系数k1=0.5在MATLAB命令窗口出如下面程序，可以获得单位阶跃响应曲线： sys=tf(1,1,0.5,0.5); y,t=step(sys); plot(t,y); hold onplot(t,range),grid on;图3-1-1单自由度系统的单位阶跃响应曲线3-1-2系统的理想单位脉冲响应impulse函数用于求取连续系统的理想单位脉冲响应，其使用方法和step函数相同。在MATLAB命令窗口输入下面的程序，可获取系统的单位

21、脉冲响应 sys=tf(1,1,0.5,0.5); y,t=impulse(sys); plot(t,y); hold on-0 2图3-1-2单自由度系统单位脉冲响应曲线3-1-3系统的任意输入响应任意输入响应，当输入信号不是典型信号时，可以使用lsim函数求取系统对任意输 入信号的响应，其使用方法和参数定义于step函数基本相同。在MATLAB命令窗口输入下面的程序，可获得系统的输出响应曲线 sys=tf(1,1,0.5,0.5);u,t=gensig(square,8,32,0.1);lsim(sys,u,t),grid on;LinearSimulati&m R&sultsTirne

22、i s&c图3-1-3单自由度系统的任意输入响应2二自由度的机械振动系统时域分析该系统分别在单位脉冲函数、单位阶跃函数和任意输入函数下的时域响应。3-2-1系统的单位阶跃响应单位阶跃信号时控制系统最常用的典型输入信号。根据系统单位阶跃响应的特征值可 以定量的描述系统的快速性、阻尼性和稳定性等性能指标由于已知二自由度振动系统的状态空间方程 ?号；=+技*，其中，()Cl()灯C2-fc?00100001-D 二。-亿i+以也IC2/-(k +宙也0其中A=-也冲生*2/-fcl/1000-01001/叫0 01/ gB =00-()0 -同时得到输出方程y( r)=CZ(i)+ Dtt( f)且

23、已知为了简便计算，质量m 1=m2=1，阻尼系数c1=c2=0.5，弹簧系数k1=k2=0.5。在MATLAB命令窗口中输入下面程序，仿真得到响应曲线a=-1,0.5,-1,0.5;0.5,-0.5,0.5,-0.5;1,0,0,0;0,1,0,0;b=-1,0;0,1;0,0;0,0;c=0,0.5,0,0.5;-0.5,0.5,-0.5,0.5;0,0,1,0;0,0,0,1;d=0,0;0,0;0,0;0,0; sys=ss(a,b,c,d); step(sys),grid on;IDTZImQ.E a=-1,0.5,-1,0.5;0.5,-0.5,0.5,-0.5;1,0,0,0;0,

24、1,0,0;b=-1,0;0,1;0,0;0,0;c=0,0.5,0,0.5;-0.5,0.5,-0.5,0.5;0,0,1,0;0,0,0,1;d=0,0;0,0;0,0;0,0; impulse(a,b,c,d);(瞥o01061tDpl七-d图3-2-2二自由度系统的单位脉冲响应3-2-3系统的任意输入响应任意输入响应，当输入信号不是典型信号时，可以使用lsim函数求取系统对任意输 入信号的响应，其使用方法和参数定义于step函数基本相同。在MATLAB命令窗口输入下面的程序，可获得系统的输出响应曲线a=-1,0.5,-1,0.5;0.5,-0.5,0.5,-0.5;1,0,0,0;0,

25、1,0,0;b=-1,0;0,1;0,0;0,0;c=0,0.5,0,0.5;-0.5,0.5,-0.5,0.5;0,0,1,0;0,0,0,1;d=0,0;0,0;0,0;0,0;sys=ss(a,b,c,d); u,t=gensig(square,4,10,0.1);lsim(sys,u,t),grid on-口一(巳专 0bl (E 考 OQJ.ILITJnwdEV3-2-4四阶龙格-库塔法进行时域仿真控制系统的动态模型经常是转换成以状态方程的形式给出的，一般采用四阶龙格-库 塔数值积分方程算法进行求解与分析仿真，如果系统是由传递函数描述的，则应用tf2ss 的转换方法，可以方便的将传递

26、函数表达式转换成状态空间表达式。MATLAB中的ode45() 函数可以实现四阶/五阶龙格-库塔算法，其调用格式为：t,y=ode45( f，tspa,x0)其中，f为定义的常微分方程函数名，tspa为起止时间向量，x0为初始状态向量，y 为输出向量，t为仿真时间。J 7(1) = A7H) +已知系统的状态方程为：I 源=CZ(i) - 口其中A=且质量m 1=m2=1阻尼系数c1=c2=0.5，弹簧系数k1=k2=0.5在MATLAB命令窗口输入下面的程序：a=-1,0.5,-1,0.5;0.5,-0.5,0.5,-0.5;1,0,0,0;0,1,0,0;b=-1,0;0,1;0,0;0,

27、0;c=0,0.5,0,0.5;-0.5,0.5,-0.5,0.5;0,0,1,0;0,0,0,1;d=0,0;0,0;0,0;0,0; sys=ss(a,b,c,d); x0=0,0,0,0; tspa=0,25;t,y=ode45(ab,tspa,x0); plot(t,y),grid on图3-2-4二自由度系统的仿真曲线C(s)二1R(s) ms 2 cis + k1第四章振动系统的频域响应频域分析法是利用频率特性研究线性系统的一种经典方法，频域分析方法是一种图 解方法，用开环系统的乃奎斯特图、伯德图、尼克尔斯图分析闭环系统的性能，本文就伯 德图来进行分析。Bode函数可以计算连续时间

28、LTI系统的幅频和相频曲线（伯德图），其使用方法与 nyquist函数相同。1单自由度系统的频域分析4-1-1系统的频域分析已知单自由度机械振动系统的传递函数为 H （ s）在MATLAB命令窗口中输入下面的程序， g=tf(1,1,0.5,0.5); g_close=feedback(g,1); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(g);，且m 1 = 1，阻尼系数c1=0.5，弹簧系数k1=0.5。图4-1-1单自由度系统的伯德图4-1-2二阶系统的频域探究我们已知单自由度机械振动系统的传递函数H(s)二竺2 =1，R(s)ms 2 + c1s + k1我们研究一下在不同参数下的二阶

29、系统的伯德图。假设当o为固定值，变化时，试看单自由度系统的伯德图将发生如何变化。n在MATLAB命令窗口中输入下面的程序，可得到变化后的伯德图 wn=0.707;zet=0:0.1:1,2,3,5;hold on;for i=1:length(zet);num=wn2;den=1,2*zet(i)*wn,wn2;bode(num,den);end; grid on,hold off导翔ILIWEL-C_一 1 - r t r rr T|_ 一 - t - t i_ r- m t r| - - 一 i- - r t m iiiiiii11iiiiiii11iiilliiiiiii11iiiiii

30、i11iiilliiiiiii11iiiiiii11iiilli _ J _ L 1 L U ii1-1 _i_ L U 1 UL _ L J J J .IIIIIII11IIIIIII11IIillIIIIIII11IIIIIII11IIill11111111111111111111IIIIIIIIII11IIIIIII11IIill1 - r t r ri tit - t -i- r m t ni ii i iiiiiii11iiiiiii11iiill iiii in 丁 - - -i- -i- ttt rn i- i r r m 叮 一 -r _ t -i-i-IHii iiiiiii

31、i11iiiiiii11iiiiiiii11 iiiiiiii11iiiiiii11iiiiiiii11 iiiiiiii11iiiiiii11iiiiiiiiU X1 J 1 LUJ - J - L LiJ UL _ 1U.11 iiiiiiii11iiiiiii11iiiii i 1111 iiiiiiii11iiiiiii11iiiiiiii11 llllllll11lllllll11lllll l 1111 iiiiiiii11iiiiiii11iiiiiiiin t1i- tit m i r - r r m nr trr11 iiiiiiii11iiiiiii11iiiiiiii|i

32、 i i bi i Esli i iii I I iIIIIIII11IIIIIII11I1IIIIIII11IIIIIII11IIillIIIIIII11IIIIIII11IIill1 1- + l-I,l+ - + -I-I-I + I11TTT11111111111111111111III11111111111111111111III11111111111111111111III11111111111111111111III11111111111111111111III11111111111111111111III11111111111111111111III11111111I11111

33、111I11III111111111111I1111111III i H +11- + H +- T - 1- b HU Hb - + -l-l-l-l +4-II 1 II 1 1II11 i ii i i iiii 11 iiiiiiii 11iiiiiii11iiiiiini Iiiiiiii 11iiiiiii11iii i iiiii 1iiiiiii 11iiiiiii11iii i iiii图4-1-2 变化时的伯德图假设当C为固定值, 变化时，试看单自由度系统的伯德图将发生如何变化。 n在MATLAB命令窗口中输入下面的程序，可得到变化后的伯德图： wn=0.1:0.1:1;z

34、et=0.707;hold on;for i=1:length(wn);num=wn(i)”2;den=1,2*zet*wn(i),wn(i)”2;bode(num,den);end;grid on,hold off;图4-1-3变化时的伯德图备归招一足uBemS翔 J 器 EL-CL从图4-2-2可以看出，当阻尼比比较小时，则系统的频域响应在自然频率 附近将出现比较强烈的震荡，该现象称为谐振。在图4-2-3中，可以看出当自然频率 的值增加时，伯德图的带宽将增加，该现象会使系统的时域响应速度变快。n2二自由度系统的频域分析：由于已知二自由度振动系统的状态空间方程 在MATLAB命令窗口中输入下

35、面程序：其中A=1/ nt0B _01/ 圮00-00-同时得到输出方程yfr) = CZ(i) + Dtt(i)。C() Al其中，c =-0010-0001- a=-1,0.5,-1,0.5;0.5,-0.5,0.5,-0.5;1,0,0,0;0,1,0,0;b=-1,0;0,1;0,0;0,0;c=0,0.5,0,0.5;-0.5,0.5,-0.5,0.5;0,0,1,0;0,0,0,1;d=0,0;0,0;0,0;0,0; sys=ss(a,b,c,d); bode(sys)Bode Diagram(wlno一 m 匕亏 Qb月入巴一nQQi)o耳巴 InQb宇一目色 InobJ. (

36、顷wp) wwEL-d - ftEp-IDP一_七U顷Ez图4-2二自由度系统的伯德图第五章系统的稳定性分析求解线性系统稳定性问题最简单的方法是求出该系统的所有极点，并观察是否含有 实部大于0的几点（不稳定极点）。如果有这样的极点，则系统称为不稳定系统，否则为 稳定系统。若稳定系统中存在实部等于0的极点，则系统称为临界稳定系统。系统稳定性分析一般采用直接判定方法和间接判定方法。直接判定方法：要得出传 递函数（num，den）描述的系统和状态方程（A,B,C,D）描述的所有极点，只需调用roots （den）函数或是eig（A）函数，这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性了。 间接判定方

37、法：Routh判据、Hurwitz判据和Lyapunov判定法，他们分别适用于传递函数 模型和状态空间模型。41单自由度机械振动系统的稳定性分析已知单自由度机械振动系统传递函数H（s）=旦 =1 ，R （s）ms 2 c1s + k1其中m 1 = 1，阻尼系数d=0.5，弹簧系数k1=0.5。在MATLAB命令窗口输入下面的程序，分析稳定性判别方法。 g=tf（1,1,0.5,0.5）;roots（g.den1）ans =-0.2500 + 0.6614i-0.2500 - 0.6614i由结果可以看出，分母多项式的根为一对共轭复数极点，闭环系统的特征值全部位 于s平面的左半边，因此闭环系统是稳定的。2二自由度机械振动系统的稳定性分析 TO