电力系统远动03-远动信息的信道编码

1、电力系统远动1第三章 远动信息的信道编码第一节 抗干扰编码的基本原理第二节 奇偶校验码第三节 循环码的编译原理第四节 循环码的检错及纠错能力第五节 系统循环码的编译码电路第六节 系统循环码的编译码算法第七节 远动信息的CRC校验2第一节 抗干扰编码的基本原理1、编码问题的提出由于数字信号在传输过程中必不可免的受到干扰的影响，使码元波形变坏，故传输到接收端后可能发生错判。3干扰乘性：均衡加性：调制解调体制、发送功率、最佳接收若还不行，则需差错控制编码。第一节 抗干扰编码的基本原理4信道译码检/纠错编码目的：在数字通信系统中，为了提高数字信号传输的有效性而采取的编码称为信源编码；为了提高数字通信的

2、可靠性而采取的编码称为信道编码。差错可控第一节 抗干扰编码的基本原理2、错误的类型（1）随机性错误 （白噪声引起）特点：单个错，错误之间不相关。主要出现在无记忆信道。（2）突发性错误 (脉冲干扰引起）特点：成串错，错误之间有相关性。主要出现在有记忆信道。错误传播。（3）混合性错误5第一节 抗干扰编码的基本原理3、差错控制的方式（1）检错重发(ARQ)6收发可检错的码只检不纠，有错自动要求重发。特点: 1）双向通道 2）通信效率低 3）不适于实时通信 4）编、译码设备简单 5）编码效率高总码元 (n bit)= 信元 (k bit)+ 督元 (r bit )第一节 抗干扰编码的基本原理（2）前向

3、纠错 (FEC)特点： 1）只需单向信道省信道！ 2）通信效率高； 3）适于实时传输； 4) 译码设备复杂。7收发可纠错的码检错并纠错第一节 抗干扰编码的基本原理（3）反馈检验法原理：收端将信码原封不动地转发回发端，并与原发送信码相比较：发现错重发；否则：PASS特点: 需要双向通道；收发设备简单；传输效率低（最低）。8收发第一节 抗干扰编码的基本原理9纠错编码的基本原理1、基本思想信元督元信元督元信元和督元有一的函数关系，插入督元的过程就是一种编码的过程，接收端可检错纠错。显然，传输效率（引入冗余码）第一节 抗干扰编码的基本原理10 信元 督元 0 0 0 晴 0 1 1 云 1 0 1 阴

4、 1 1 0 雨三位码元有23=8种组合，实际使用了22=4种许用码组。其余 001，010，100，111 为禁用码组。检错能力：可检错奇数个错；纠错能力：无。例：天气预报第一节 抗干扰编码的基本原理例：天气预报，可预报天晴11信元 督元 0 0 0 1 1 1冗余量加大，禁用码组比例提高。检错能力：检2；纠错能力：纠1。许用码组2个，禁用码组6个晴阴第一节 抗干扰编码的基本原理纠错编码的分类线性码和非线性码分组码、卷积码和循环码系统码和非系统码12第一节 抗干扰编码的基本原理分组码定义:将信息码分组，为每信息码附加若干个监督码编码，称为分组码。特点: 在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信

5、息码元。结构:符号: ( n , k ) , r = n k码字:13an-1an-2arar-1a0k个信元r个督元码长n第一节 抗干扰编码的基本原理一、最小距离与码的检错、纠错能力1. 重量 码组中非0元素的个数在二进制情况下，它就是码字中1码元的个数。 例: A= ( 10110 ) 码重 = 314第一节 抗干扰编码的基本原理2. 码距 两两码组对应位上数值不同的个数，记为d。最小码距: 某种编码中各个码组间距离 的最小值，记做d0 d0=dmin码距的几何意义: (n=3) 各顶点沿立方体各边行走的几何距离。码元值：每一码组的三个码元值，就是此立方体各顶点的座标（a2a1a0）最小码

6、距: 115前例中：天气预报四个许用码组之间的距离均为2。Why?摈弃d=1的码禁用码组。许用码组最小码距愈大，抗干扰能力愈强！确定最小码距的目的：决定编码的检纠错能力。第一节 抗干扰编码的基本原理16 信元 督元 0 0 0 晴 0 1 1 云 1 0 1 阴 1 1 0 雨第一节 抗干扰编码的基本原理 d0与纠检错能力若要求检测l个错,则 d0l+1 若要求纠正t个错,则 d02t+1 若要检测l纠正t 个错(同时),则 d0l+t+1, 且lt17第一节 抗干扰编码的基本原理码距与检错和纠错能力的关系如图：18t 1 tl第一节 抗干扰编码的基本原理190 1 2 3Ad00 1 2 3

7、 4 5A Bt td0A Bt 1 tl第一节 抗干扰编码的基本原理二、信道编码的代数基础1.伽罗华域及域上多项式数学中讨论的对象，如代数中的数，几何中的点、直线等，都可以称为元素，简称元。若干个元素的集体称为一个集合，简称集。只含一个元的集，称为单元集；含若干个元的集，称为多元集；不含任何元的集，称为空集。20第一节 抗干扰编码的基本原理二、信道编码的代数基础1.伽罗华域及域上多项式如果一个集能够满足某些代数运算的法则，则称为代数系统。一个集内的元素，如果经过某种代数运算(如加、减、乘、除)后，所得结果仍是这个集内的元素，则称这个集对某种代数运算是运算自封的。设F是一个非空集合，在F中定义

8、了加法和乘法两种代数运算，若F对这两种运算满足自封，并满足以下运算规则，称F对于所规定的加法和乘法运算是一个域。21第一节 抗干扰编码的基本原理加法：22第一节 抗干扰编码的基本原理乘法：23第一节 抗干扰编码的基本原理在加法与乘法运算间满足分配律：如果域F中元素的个数无限，称F为无限域；元素的个数有限，称F为有限域，也叫伽罗华域(Galois Field).有的集合按照通常的加法运算和乘法运算不是域，但对模P的加法运算和模P的乘法运算满足域的条件。具有两个元素0和1的非空集合，对于模2加法运算和模2乘法运算是一个有限域，称为两元域，记作GF (2)。24第一节 抗干扰编码的基本原理模2加法(

9、相当于异或)运算规则是：模2乘法（相当于与）运算规则是：25 第一节 抗干扰编码的基本原理2.二元域上的多项式运算在信道编码中，经常用多项式来表示一个信息序列或码字，这种多项式称为信息多项式或码多项式。通常用k-1次多项式表示信息多项式，记为m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+m1x+m0；用n-1次多项式表示码多项式，记为c(x)= cn-1xn-1+cn-2xn-2+c1x+c0。这时，多项式中的x不再有未知数的概念，它只代表系数mi或ci所处的位置，而系数mi或ci则代表码元的取值。例如二进制信息序列或码字1001011，可以用二元域上的多项式x6+x3+x+1来等效地表示。2

10、6第一节 抗干扰编码的基本原理对GF (2)上的多项式，它们的四则运算必须按模2运算规则进行。设f (x)=x4+x3+x2+1和g (x) =x+1都是二元域上的多项式，它们的四则运算规则如下：27第一节 抗干扰编码的基本原理28第二节 奇偶校验码一、奇偶校验码一个(n，k)码，如果每个码字中的r个校验码元不仅与本码字中的信息元相关，还与前面若干个码字的信息元相关，这2k个码字的集合称为卷积码；如果每个码字中的r个校验码元都只与本码字的k位信息元有关，这2k个码字的集合称为分组码。奇偶校验码是一个(n，n-1)分组码。它的编码规则是在n-1位信息元后面，添加一位奇校验或偶校验的校验码元，使每

11、个码字中1码元的个数恒为奇数或偶数。29第二节 奇偶校验码设码字c(x)= cn-1cn-2c1c0，其中cn-1cn-2c1为信息码元，c0为校验码元。当码字中1码元的个数恒为偶数时，则满足这种码称为偶校验码。由式(3-5)可知，偶校验码的校验码元等于信息码元的模2和。30第二节 奇偶校验码如果码字中1码元的个数恒为奇数，则满足这种码称为奇校验码。由式(3-7)可知，奇校验码的校验码元等于信息码元的模2和再取非。31第二节 奇偶校验码偶监督码：码组中1的个数为偶数；奇监督码：码组中1的个数为奇数。检错能力: 所有奇数个错。一半！应用非常多。编码效率:32第二节 奇偶校验码二、水平垂直奇偶校验

12、码水平垂直奇偶校验码是水平和垂直两个方向的奇偶校验码，也称纵横奇偶校验码。纠检错能力: 仍可检错奇数个错 还可检错偶数个错 可纠正一些错码适于检测突发性错误（bj+1）33第二节 奇偶校验码34横比码(等重码)例: 码重为31 . 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0许用码组: C35 = 10禁用码组: 25-10 = 22检错能力: 可检测所有奇数个码元的错 和部分偶数个码元的错,但 不能检测码组中“1”变为“0” 与“0”变为“1”的错码数目相同的那些偶数错码编码效率:例： n=10 , 则 k=5信元码 监督码 合成码 校验码1 0 1 1 0 1 0 1 1 0

13、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 接受端的检测正反码编码规则: 信息位(n/2)中有奇数个“1”,则监督位与信息位相同 信息位(n/2)中有偶数个“1”,则监督位是信息位的反码第三节 循环码的编译原理当分组码满足每个码字中的每一位校验码元，都是本码字中某些位信息码元的线性模2和时，这个分组码为线性分组码。若分组码（n,k）,督元与信元的关系可用一线性方程组来描述，则该分组码（n,k）称为线性分组码。37第三节 循环码的编译原理汉明码 能纠一位错的线性分组码。定义：是一种能纠正一位错码，且编码效率较高的线性分组

14、码。最小码距：d0=31. 构造原理考察：定义一个监督方程（监督关系式、偶监督）：由于一位校正子只有两种取值，故只能表示有错或无错，不能指出错码的位置38第三节 循环码的编译原理推想:如果监督位增加一位（即变成两位），则可增加一个类似于上式的监督关系，即可获得两个校正子，于是可有39S1 S20 00 1 0 1 1 无错可指示一个错码可能出现的位置，共有22-1=3 个位置。第三节 循环码的编译原理可指示一个错码可能出现的2r-1个位置。显然：要求 2r-1n（n=k+r），则可指示（仅一位错时）任一错码的位置包括信元、督元。或： 2rk+r+140S1 S2 Sr0 0 . 00 0 .

15、11 1 .1 1无错2r-1 个错的可能位置第三节 循环码的编译原理2. 例: 构造k=4 的汉明码（1）确定 r由 2r k+r+1 得 r = 3，则 n= k+r=7 ( 7,4 ) 分组码41第三节 循环码的编译原理（2）写出校正子的编码表 r = 3 共有3个校正子42 S1 S2 S3 错码位置 S1 S2 S3 错码位置0 0 1 a0 1 0 1 a4 0 1 0 a1 1 1 0 a51 0 0 a2 1 1 1 a6 0 1 1 a3 0 0 0 无错第三节 循环码的编译原理（3） 由校正子编码表得监督方程组校正子和哪些码元构成偶监督关系43偶监督关系第三节 循环码的编译

16、原理若 S1S2S3 = 000 时, 即无错得校验方程:44校验方程第三节 循环码的编译原理即实际上确定了督元和信元之间的关系:有了校正子编码表，督元不是随便选的！45督信关系第三节 循环码的编译原理（4） 给定了信元a6a5a4a3,可确定督元全部( 7,4 ) 码组46第三节 循环码的编译原理线性分组码1. 线性方程组和监督方程47第三节 循环码的编译原理写成矩阵式:481 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 a6a5a4a3a2a1a0第三节 循环码的编译原理可见：H一旦确定，督元和信元之间的关系也就确定了。若:则称H为典型阵，一般，H总可以

17、化为典型阵。49第三节 循环码的编译原理2. 生成矩阵从督信方程入手由矩阵形式:50第三节 循环码的编译原理写成行阵形式:其中 Q = PT。上式表明：信息位给定后，就产生了监督位！进一步，令生成矩阵 G = Ik Q 则，码组行阵 A = a6a5a4a3 G 51第三节 循环码的编译原理讨论：由具有 Ik Q 形式的生成矩阵称为典型生成阵。由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位不变，监督位附加其后这种码称为系统码。52第三节 循环码的编译原理例：生成矩阵码组行阵：53第三节 循环码的编译原理一般形式: A = an-1an-2ar G54第三节 循环码的编译原理3. G 和 H 的关系由 Q

18、 = PT 或 P = QT 则 : H = P Ir G = Ik Q 综上：线性分组码的编码，就是根据其监督阵H或生成阵G将长为k的信息码编成长为n的码组。55第三节 循环码的编译原理4. 线性分组码的纠错译码过程怎样由含有错误的接收码组中的接收码组中恢复正确。 （1）错误图样设：发码组为A , 接受码组为B 则 B A = E ( 模 2 )错误行阵或错误图样： E= en-1en-2e0 56第三节 循环码的编译原理例: A = 1 1 1 1 1 1 1 B = 1 0 0 1 1 0 1 则 E = 0 1 1 0 0 1 0 57第三节 循环码的编译原理（2）校正子（或称译码伴随

19、式）B = A+E 代入上式，得结论：校正子S仅于错误图案有关，与发送码组无关。58第三节 循环码的编译原理（3）纠错译码过程 由收到的码组B，按式：BHT=SS由 S=ET E按B+E=A A由A 原始信息59第三节 循环码的编译原理5. 线性分组码的重要性（1）封闭性设： A1、A2 分别为一线性分组码的任意两个许用码组。则：A1+A2 仍为该线性分组码的许用码组。证：由假设知A1HT=0、A2HT=0 所以A1HT+A2HT=（A1+A2）HT0 即A1+A2也是一个码组。结论：线性码组中任意两个码字之和，仍为该线性码组之码字60第三节 循环码的编译原理（2）线性分组码的最小码距即为该码

20、的最小重量:d0=Wmin（除全0码组）证：由封闭性得，两个码组之间的距离（之差），必是另一码组的重量。故最小码距即是码的最小重量！61第三节 循环码的编译原理二、循环码 仍属于线性分组码特点: 编译码设备简单，检纠错能力强。9.5.1 循环码的原理具有线性分组码的所有性质之外，还具有循环性：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。62第三节 循环码的编译原理码多项式 T(x)（1）定义为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项式来表示，这个多项式被称为码多项式。设：许用循环码A=(an-1 an-2 a1 a0)，则：它的码多项式表示为：其中：x仅是码元位置的标

21、记。63第三节 循环码的编译原理例: 设 ( 7,3 ) 循环码组为 ( 0 1 1 1 0 0 1 )则相应码多项式为： 可由码组直接写出。反之，由码多项式易得出码组：( 0 1 1 1 0 0 1 )64第三节 循环码的编译原理（2）码多项式的按模运算1）整数的按模运算若一个整数m可以表示为:则在模n运算下，有mp（模n）。例：同样对于多项式而言，也有类似按模运算。65第三节 循环码的编译原理2）码多项式的按模运算若则其中：商Q(x)为多项式，余数R(x)的幂次低于N(x)的幂次。例: 求 x4+x2+1 按模 x3+1 运算的余式 R(x)66第三节 循环码的编译原理 3）循环性在循环码

22、中，若T(x) 是一个长为n的许用码组，则xiT(x) 在按模xn+1运算下，亦是一个许用码组。即设： T(x) 是长为n的许用码组多项式则： T(x)仍为该码组中的一个码多项式。67第三节 循环码的编译原理例: （7，3）码T(x) = x6+x5+x2+1 ( 1 1 0 0 1 0 1)68第三节 循环码的编译原理由此类推可见：一个长为n的循环码，必为按模（xn+1）运算的一个余式。69第三节 循环码的编译原理2. 生成多项式g(x)（1）存在性 ( n，k ) 循环码中有且仅有一个g(x) g(x)=xn-k+1特点: 最高的次数: n-k=r； 最高次项和常数项系数必为1 。 70第

23、三节 循环码的编译原理在循环码中，除了全0码组外，再也没有连续k位均为0的码组。即连0长度最多为k-1位！这唯一的n-k次多项式称为生成多项式，记为g(x)！71第三节 循环码的编译原理（2） g(x) 与生成矩阵 G(x) 的关系生成矩阵G的每一行都是一个码组；G是k行n列矩阵只要找到k个已知码组，就能构成生成矩阵G！72第三节 循环码的编译原理生成多项式确定后，则g(x)、x g(x)、 xk-1 g(x)都是码组，且这k个码组信息无关，因此可以用来构成生成矩阵。g(x)确定了G(x)也就确定了整个码组即确定！ A = an-1ar G G = Ik Q 73第三节 循环码的编译原理例:

24、( 7，3 )循环码， g(x) = x4+x2+x+1 求 典型生成矩阵解:可方便地直接写成码组形式典型阵:74第三节 循环码的编译原理（3） g(x) 与 T(x) 的关系（7，3）表明：所有T(x)都可以被g(x)整除，而且任一次数不大于(k-1)的多项式乘以g(x)都是码多项式。75第三节 循环码的编译原理（4） 如何寻找g(x)依据: g(x)是xn+1的一个(n-k)次的因子，且常数项不为零。证：任一循环多项式T(x)都是g(x)的倍式，即而生成多项式g(x)本身也是一个码组，即有76第三节 循环码的编译原理由于码组T(x)为一（n-k）次多项式，故xkT(x)为一n次多项式。由知

25、，xkT(x)在模（xn+1）的运算下，亦为一码组，故可写成77第三节 循环码的编译原理上式左端分子和分母都是n次多项式，故商Q(x)1，因此上式可化成即将T(x)=h(x)g(x)、 T(x)=g(x)代入，并化简，得78第三节 循环码的编译原理表明: g(x)应该是xn+1的一个因式！结论: g(x)是xn+1的一个(n-k)次的因子，且常数项不为零。79第三节 循环码的编译原理（4） 如何寻找g(x)依据: g(x)是xn+1的一个(n-k)次的因子，且常数项不为零。如 (x7+1) = (x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)n=7（7，4）： x3+x2+1、x3+x+1（7，3

26、）： (x+1)(x3+x2+1) 、(x+1)(x3+x+1)（7，6）： x+180第三节 循环码的编译原理例: （7，3）循环码有多项式如下，找出（7，3）码的生成多项式g(x)。 （1） x4+x3+x （2） x3+x2+1 （3） x+1 （4） x4+x2+x+1 （5） x4+x+181第三节 循环码的编译原理解: 依据 r = 7-3 = 4，常数项不为零，有 （4） x4+x2+x+1 （5） x4+x+1还须证其是不是xn+1=x7+1的因子?X7+1 = (x4+x2+x+1)(x3+x+1) + 0X7+1 = (x4+x+1)(x3+1) + (x2+x)故: 仅有

27、 x4+x2+x+1 为生成多项式 g(x)。82第三节 循环码的编译原理例：(7, 4)循环码，生成过程首先分解x7+1，找出n-k=7-4=3次的因式。由x7+1=(x4+x2+x+1)(x3+x+1)，找到生成多项式g(x)= x3+x+1。83第三节 循环码的编译原理(n，k)系统循环码的编码过程是：首先把信息多项式m(x)乘以xn-k，得到xn-km(x)；然后以生成多项式g(x)去除xn-km(x)，如果商为q(x)，余式为r(x)，则xn-km(x)= q(x)g(x)+r(x)；最后用r(x)模2加xn-km(x)，便得到所需的系统循环码码字c(x)= xn-km(x)+ r(

28、x)。84第三节 循环码的编译原理例：(7, 4)码，设生成多项式g (x) =x3+x+1，对信息序列(1111)，即信息多项式m (x) =x3+x2+x+1进行系统循环码的编码，其过程如下85第三节 循环码的编译原理当信息多项式 的系数：m3、m2、m1、m0取十六种不同的值时，按同样方法生成的十六个系统循环码码字列在表3-3中。86第三节 循环码的编译原理三、缩短循环码生成一个码长为n，信息位为k的(n, k)循环码，依靠从xn+1中分解出一个n-k次的因式作为生成多项式。如果对于我们所要求的码长n和信息位k，在xn+1的因式分解式中，不存在n-k次的因式，则可以用缩短循环码来产生我们

29、需要的(n ,k)码。一般来讲，任何一个给定的(n，k)的系统循环码的2k个码字中，一定存在2k-(n-k时，检测不出的突发错误占同样长度可能的突发错误总数的百分比为 2-(n-k)当b-1n-k 2-(n-k-1)当b-1=n-k由n-k次多项式g(x)生成的循环码，不仅能检测出所有长度不大于n-k的突发错误，而且可以检测出绝大部分更长的突发错误。97第五节 系统循环码的编译码电路一、除法电路98无论编码还是译码，都要进行多项式的除法运算，求余式。第五节 系统循环码的编译码电路多项式的除法运算，可以用反馈移位寄存器实现。当除式g(x)为n-k次多项式时，完成除法运算的电路见图3-3，称为除法

30、电路。99第五节 系统循环码的编译码电路除法电路中移位寄存器的个数等于除式g(x)的次数n-k。移位寄存器之间的模2加法器最多为n-k个，两寄存器之间是否有模2加法器由除式g (x)的系数确定。当gi= 1时，由gi控制的开关闭合，该反馈线对应的模2加法器存在；当gi=0时，由gi控制的开关断开，该反馈线对应的模2加法器不存在，两寄存器之间直接连接。由除法电路的构成可知，只要除式g(x)被确定，与它对应的除法电路也唯一地被确定。100第五节 系统循环码的编译码电路二、系统循环码的译码电路按照图3-3，当g(x) =x3+x+1时可以构成图3-4所示的除法电路。这种除法电路的被除数从移位寄存器的

31、低端输入，所以称它为低端输入除法电路。101第五节 系统循环码的编译码电路在信息位发送完毕后，需要等待n-k个节拍才能得到余式，使余式不能紧接着信息位发送，从而不能满足远动信息连续发送要求。因此低端输入除法电路一般不用来作编码电路，而只用它在接收端作译码电路。102第五节 系统循环码的编译码电路三、系统循环码的编码电路103第五节 系统循环码的编译码电路工作过程：信息输入时，开关合2：输入码一方面输入除法器，另一方面直接输出，在信息位全部进入除法器后开关合1：输出端接到移位寄存器，将移位寄存器中存储的余项依次输出，同时切断反馈线。104第五节 系统循环码的编译码电路105第六节 系统循环码的编

32、译码算法在计算机系统中，系统循环码的编码和译码可以不采用除法电路，而直接用程序来完成编码和译码的除法运算。(n，k)系统循环码的编译码，要分别完成xn-km(x)/g(x)和R(x)/g(x)的除法运算，它们都是n位二进制序列除以n-k+1位二进制序列的除法运算。如果按通常的除法运算过程进行程序设计，程序执行的时间较长。为了提高运算速度，可以采用一种快速简便的查表算法实现除法运算，称为软件表算法。106第六节 系统循环码的编译码算法一、软件表算法I仅讨论信息位正好为校验位的整数倍，即k=p (n-k) (p为整数)时，软件表算法I的实现方法。设k位信息序列m=mk-1mk-2m1m0进行编码，

33、软件表算法I的步骤是：(1)把k位信息序列、分成长度为n-k位的p个信息段，记为m=M1M2Mp(2)在第一个信息段M1后面添加n-k个零，然后除以生成多项式g (x)得余数r1。再将余数r1与第二个信息段从模2加得M2。(3)在M2后面添加n-k个零，然后除以生成多项式g(x)得余数r2，将r2与第三个信息段M3模2加得M3。(4)对M3按步骤(3)进行得M4，如此下去直到对Mp按步骤(3)进行得到，它就是信息序列m编码应得的余数。这时信息序列，对应的码字是c= M1M2Mprp。107第六节 系统循环码的编译码算法例3-1 3-2108第六节 系统循环码的编译码算法二、软件表算法II仅讨论

34、n-k为偶数，并且信息位k正好是(n-k) /2的整数倍，即k=p(n-k)/2(p为整数)的情况。设信息序列m=mk-1mk-2m1m0，欲对其进行编码，软件表算法II的步骤是：(1)把信息序列m分成长度为(n-k) /2位的p个信息段，记为m=M1M2Mp。(2)在第一个信息段M，后面添加n-k个零，然后除以生成多项式g(x)，得中间余数r1。再将n-k位中间余数r1分成两段，前半段的(n-k) /2位是高位段，记为r1H，后半段的(n-k)/2位是低位段，记为r1L(3)将r1H与第二个信息段M2模2加，得M2。在M2后面添加n-k个零，然后除以生成多项式g(x)，得中间余数r2，再将n

35、-k位中间余数r2分成两段，前半段的(n-k)/2位记为r2H，后半段的(n-k)/2位记为r2L。(4)将r2H和r1L第三个信息段M3模2加，得M3=r2H+r1L+M3。在M3后面添加n-k个零，然后除以生成多项式g (x)，得中间余数r3，再将n-k位中间余数r3分为两段，前半段的(n-k)/2位记为r3H，后半段的(n-k)/2位记为r3L(5)对M3后面的信息段M4，M5Mp重复步骤(4)，直到求出Mp=r(p-1)H+r(p-2)L+Mp。在Mp后面添加n-k个零，然后除以生成多项式g(x)，得中间余数rp再将n-k位中间余数rp分为两段，前半段的(n-k)/2位记为rpH，后半段的(n-k)/2位记为rpL。将rpH与r(p-1)H模2加得rH=rpH与r(p-1)L，令rl=rpL。则rH和rL分别是信息序列m的余式r的高(n-k) /2位和低(n-k) /2位。记为r=rHrL109第六节 系统循环码的编译码算法例3-3、3-4110第六节 系统循环码的编译码算法三、两段查表法把算法中划分的信息段再进行处理，其方法是把一个信息段分解成两个信息段的模2和，并且使分解后