量子力学练习题1答案

1、量子力学 练习题1答案一。基本概念及简要回答 1. 和 是否相等？为什么？答：不相等。因为是动量的本证态，而是动量的本证态，实际上与代表同一个态。 2 判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？； ； ； 。答：是算符，是数，是矢量。波函数的导数是否一定要连续？举例说明。答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在和点不连续。4为什么既不能把波理解为粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子， 也不把波理解为由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的？答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。所以不能把波包看作粒子；另一方面，戴维逊-戈末实验表明电

2、子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样. 所以不能把波看作由粒子构成的。5. 设，。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。(1) ; (2) ; (3) ; (4)。解：（1） ， ，即为厄米算符。（2） ， 不是厄米算符。（3） ， ，即不是厄米算符。（4） ， ，即为厄米算符。 6 (9) 指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A.; B. ; C.; D. ; E. ; F. . 答：B，E，F不正确。B中是力学量，是态在的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是

3、态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。7(5)简述态迭加原理。 若， 且， 那么的物理意义是什么？答：迭加原理：如果，是体系的可能状态，那么它们的线性迭加 （是复数）也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学的态迭加原理。 的物理意义：在态中包含态的振幅，是包含态的几率。当是某一个算符本征值时，就是这个本征值在这个态中出现的概率。8(5)在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？答：不能。因为9. (3)确定，哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。答：，是厄米算符，10指出下列使用的Dirac符号那些是不正

4、确的。为什么？A.; B. ; C.; D. ; E. ; F. . 答：B，E，F不正确。B中是力学量，是态在的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。 11. (5) 和 是否相等？为什么？答：不相等。因为是动量的本证态，而是动量的本证态，实际上与代表同一个态。12. (5)波函数的导数是否一定要连续？举例说明。答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在和点不连续。 13. (6) 如果，且， 都是束缚态，则证明：这里考虑了是束缚态，因而是有限的，及。同理可证如令则，由此得。

5、二1、质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态，若弹性系数突然变成，即势场变成，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)解：粒子的波函数随时间的变化满足方程 对时间区间积分得 可见，当发生突变（由）、但变化量有限时，不变。以和分别表示场和场的基态波函数，当势场突然由变成后，粒子的波函数仍为。由于已变为，新势场中的基态是。于是随即测量粒子的能量，则测得粒子处于态的概率为，即粒子能量为新基态能量的概率为。 将和写成标准形式：可得 ，又有：其中因此所求概率为2、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，若t=0时，体系处于态，式中，n=1，2，3 求：（1

6、）（5）t=0时，及的几率（2）(5)t0时的波函数，能量的可能取值及相应几率。（3）若粒子处于基态，求A（5） 粒子的动量分布（只列公式，不必计算）B (7)当阱宽突然变为2a时，求粒子处于新的基态的几率（只列公式，不必计算）。解：（1）的几率是(2）三个可能值分别为，和，它们相应的取值几率分别为，和（3） A将向动量本征态展开，即 B因为阱宽度突然变为，粒子状态还来不及变化，所以粒子仍处于态，而由于阱宽度变为，新的的本征态已变，设为，则此时处于此态几率为3、 计算对易关系，其中，。解： （1） （2）同理可得 ; （3） ; （4）三1、已知二维谐振子的哈密顿算符为，在对其施加微扰后，利用

7、微扰论求第一激发态能量至一级修正。提示：，其中，而为线谐振子的第个本征矢。解：若选 （1）则 （2）已知的本征解为 （3）令 （4）则零级近似能量本征值可写成 （5）第一激发态，简并度为。在简并子空间中，相应的零级近似解为 （8）能量一级修正满足的本征方程为 （9）相应的久期方程为 （10）由 （11）可以求出微扰矩阵元 （12）而（13）将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10），得到 （14）显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。 为了求出近似本征矢，将代回本征方程 （15）得到 （16）由归一化条件可知 （17）于是，得到相应的零级本征矢为 （

8、18）同理可得，相应的零级本征矢为 （19）2、对于一维运动，求算符的本征值和本征函数，。解：在表象中， ，,因为 本征值为任意实数。3、质量为的粒子处于能量为的本征态，波函数为，问粒子在什么样的位势中运动？解：由，得这是谐振子势。四. 1、已知，求证 证明：用数学归纳法证明。当n=1时， 假设当指数为n=k时，也成立。即： ，则当指数为n+1时， 成立，所以 2、用狄拉客符号导出由F表象到G表象的表象的波函数及其算符的变换公式，写出么正变换矩阵。解： 在F表象中，。是么正变换矩阵元。3、求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。提示：偶极近似的情况下，。解：在只考虑电场作用，即，偶极近似的情况下，。跃

9、迁几率与矩阵元成正比。 在线性谐振子的情况下，利用得可见，要使，必须 或 由此得 此即线性谐振子偶极跃迁的选择定则。五1、一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。解：定态波函数的一般形式为为能量。由题可知。由于是束缚态，必定有（当）。于是可按下式计算动量平均值，如 对也有同样结果。2、在能量表象中，一维谐振子在t0时的状态为求（1）(6)能量的可能值及相应几率;（2）(4)能量平均值;（3）(8)t时刻粒子的波函数.解：（1）首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开，由可得， 由，可得能量可能测值为对应的几率分别为（2）用来求得平均值为 ，或 （3）

10、而时刻波函数。3、在能量表象中，一维谐振子在t0时的状态为求（1）能量的可能值及相应几率（2）能量平均值（3）t时刻粒子的波函数解：（1）首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开，由可得， 由，可得能量可能测值为对应的几率分别为（2）用来求得平均值为 ，或 （3）而时刻波函数 六1、质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态 上，求其动量与动能的几率分布及平均值。解：做一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为显然两者相互对易，有共同完备本征函数 分别满足 将向展开，即 展开系数 只有当时，利用归一化条件 可知归一化常数为 于是归一化后的展开系数为动量的取值概率为 平均值为动能的取值概率与动量

11、相同，而平均值为 2、 ，=*1，求：. (10)H的近似到的能量本征值；. (8)和近似到的波函数（用微扰法）解：将矩阵改写成 能量的零级近似为能量的一修正为利用能量二级修正公式求出能量二级修正的具体结果是近似到二级的能量为利用波函数一级修正的公式可以求出波函数的一级修正为近似到一级波函数为3、设 求的准确本征值。 若 ，求的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。解：设本征值为，求解久期方程 得到 将哈密顿分解 根据微扰论，第一级本征值近似为，所以均为零，而第二级近似为所以近似到二级为， 量子力学 练习题2答案一 基本概念基本解题方法什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定

12、态？定态主要特征是什么？答：若，则A为量子体系的一个守恒量。其主要特征：无论体系处于什么状态（定态或非定态），守恒量的平均值及其可测值的概率分布不随时间改变。 若哈密顿不含，则的本证态，即能量有为以唯一确定之值的状态为定态。其特征是，定态中任何一个物理量，无论是否守恒量，其平均值及可测值的出现概率都不随时间变化。已知，求证 证明：用数学归纳法证明。当n=1时， 假设当指数为n=k时，也成立。即： ，则当指数为n+1时， 成立，所以 3 已知 ，为厄米算符，则也为厄米算符的条件是什么？答：，若为厄米算符，则，即，即反对易。4. 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；解：

13、（1）设 由角动量对易关系可得5.设 且已知以一维线性谐振子的能量本征值，本征函数，及的宇称为。试写出能量本征值及本征函数。解：在区间，与谐振子的势相同。而在区间，由于，应有。因为的宇称为，为奇数时，必有。而为偶数时，。由此可得满足波函数标准条件的解为6在上的平均值为零，即证明：利用（7.3.2）式、（7.3.11）式及本征函数的正交条件可得 同理可证的平均值为零。7.(1).全同粒子交换算符是否对易?有无共同本征函数? (2) .不考虑粒子间的相互作用。有5个单粒子态，4个全同粒子。下列情况下，体系有多少可能的状态？A.粒子是全同玻色子; B. 粒子是全同费米子; C. 不考虑粒子的全同性.

14、解: (1).不对易,但有共同本征函数,对于全同费米子,是全反对称波函数; 对于全同玻色子,是全对称波函数.(2). A. ；B. ； C.。二1、线谐振子受到一个方向均匀电场的作用，求其能级。设该线谐振子的质量为、电荷为、角频率为。解：在均匀电场作用之下，线谐振子的哈密顿算符为 （1）利用配方的方法改写其势能项为 （2）若令 （3） （4）则定态薛定谔方程可以写为 （5）此即正常的线谐振子的能量本征方程，它的解为 （6）利用（3）、（4）式可以得到电场中线谐振子的本征解为 （7） （8）2、对于一维运动，求算符的本征值和本征函数。解：在表象中， ，,因为 本征值为任意实数。三1、求算符在动量

15、表象中的矩阵表示。 解：本题既可以在坐标表象下进行，也可以在动量表象下完成，得到的结果是完全相同的，只要一种解法即可。解法1，在坐标表象中计算。 这时，有 （1） （2）在动量表象中的矩阵元为 （3） 解法2。在动量表象中计算。 这时，有 （4） （5）在动量表象中的矩阵元为 （6）上式的最后一步用到 （7）或者，利用矩阵元的厄米性质 （8）亦可得到同样的结果。2、设氢原子在时处于状态求其能量、角动量平方及角动量分量的取值几率和平均值；写出在时体系的波函数，并给出此时能量、角动量平方及角动量分量的取值几率与平均值。已知氢原子的本征解为 解：将向氢原子的本征态作展开， （1）不为零的展开系数只有

16、三个，即； ； （2）显然，题中所给出的状态并未归一化，容易求出归一化常数为，于是归一化后的展开系数为 （3） 能量的取值几率为 （4）平均值为 （5） 不为零的角动量平方的取值几率只有 （6）平均值为 （7） 角动量分量的取值几率为 （8）平均值为 （9）在时刻，体系的波函数为 （10）由于能量、角动量与角动量分量算符皆为守恒量，所以，它们的取值几率及平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。四1、设粒子在宽为的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态 求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。解：已知在无限深势阱中运动的粒子的能量本征解为 （1） （2）由展开假设可知 （3）其中，展开系数

17、为 （4）其中，用到下列三角函数公式 （5）由（4）式知，波函数是归一化的。于是，能量的可能取值为，其相应的几率为 ； （6）取其它值的几率为零。2、已知算符满足，证明，并在表象中写出的矩阵表示。 解：由题中所给条件可知 （1）设算符满足的本征方程为 （2）则有 （3）由（1）式可知 （4）显然，有 （5）在自身表象中，算符的矩阵形式为 （6）五1、耦合谐振子的哈密顿算符为 .（1）（5）求其零级定态波函数的简并度。（2） (20)试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。已知 。 解：若选 （1）则 （2）已知的本征解为 （3）令 （4）则零级近似能量本征值可写成 （5） 为了看清能级的简并情况，将与的关系列在下面： （6）显然，第能级的简并度 （7） 第一激发态是，简并度为。在简并子空间中，相应的零级近似解为 （8）能量一级修正满足的本征方程为 （9）相应的久期方程为 （10）由 （11）可以求出微扰矩阵元 （12）而 （13）将（13）