时间序列分析讲义 第2章滞后算子

1、第二章滞后算子及其性质2.1基本概念时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定 的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：(力，光，*)如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进 一步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：(，月，光，)= )：；苦例2.1(1)时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：肉=1另一种特殊的时 间序列是常数时间序列，艮H=c，c是常数，这种时间的取值不受时间的影响：(3)在 随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：义=弓，

2、,；：竺是一个独立 随机变量序列，每个随机变量都服从A0,*/ = 81 + 叫=(!Lyt + w,也可以表示为：(1一。乙)月=叫在上述等式两边同时作用算子：Q + 0七+02/?+吠)，可以得到：Q + 0L+ +穴 L!)(1 -L)yt = yt如果利用“1”表示恒等算子，则有：+ 七+吠)(1 一 匕)=1r-Kc记：(1-。乙尸=1皿(1 + L在 Z/)因此得到了 “逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。定义2.1：当|洌1时，定义算子Q-”)的逆算子为(1-。匕)-】，它满足：(1- XI - 尸=(1 - 虬)-、(1 - ) = /其中/表示单位算子，即

3、对任意时间序列免，有：Ky,) = y,(2)在形式上逆算子可以表示为：(1一尸=质夕”丁=0这表示逆算子作为算子运算规则是：对于任意时间序列月，有：(1一)-成=如力(),)=如心3j=0j=0当|。|21时，逆算子(1-L)-1的定义以后讨论。如果时间序列乂是有界的，则一阶差分方程的解可以表示为：X=叫 +。吧 T + 2 叫 +,=朴J=0可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。但是解并惟一，例如对于任意实数 %,下述形式的表达式均是方程的解。8乂 =%犬 + ”吧_/_/=0上述差分方程的解中含有待定系数，这为判断解的性质留出一定的余地。 2.3二阶差分方程我们考察二阶差分方程的滞

4、后算子表达式：乂 =.T + 心tf + 叫将其利用滞后算子表示为：Q-SL-Wt = W,对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求4和为使得：（1 S L 白 Lr ）= （1 % 匕X】一“2 L） = 1 （人+ 人2 ） + A/2 乙 显然4和冬是差分方程对应的特征方程的根：人2 0人一饱=0当特征根和冬落在单位圆内的时候（这也是差分方程的稳定性条件），滞后算子多项 式分解为：（1-2.L）-1=1（冬 石）（1 人I L）（l A2 L）（人也）（1 4 乙）（1 /l2 L） j将上述表达式带入到二阶差分方程解中: =1 + 22L + 2;L =wf(1 -A2L) +人=/?

5、+.这时二阶差分方程解可以表示为：月=（1 一 乙）-（1 一 2 乙）T Wt注意到算子分式也可以进行分项分式分解（如此分解需要证明，参见Sargent, 1987, p.=(1 + x.L +(A-2)+ + 1 + 人2 L + 72 乙 + J184）：=(Q + c2 )wt + (c 俱 i + c2A2 )妇 + Qi 本 + d 禺 M-2 + 其中:A2A-i Aj利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为:dwt上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。例2.3对于二阶差分方程而言，其特征方程是：万_ A人_卷=o得到特征根为：4 =：（玖+JS1+40），冬=

6、：（由_/。1+4但）上述方程的稳定性与滞后算子多项式的根落在单位圆内是一致的。2.4 p阶差分方程上述算子多项式的分解方法可以直接推广到P阶差分方程情形。将P阶差分方程表示成 为滞后算子形式：（1一0匕一处匕2 -一。力）以=叫将上式左端的算子多项式分解为：（1 乙的 Z? eLP ）= （1 4 L）（l L） （! 人 p L）这相当于寻求（九,况/,）使得下述代数多项式恒等：（1-。次2）= （1-2X z）（l-人技）（1 一人 Z）定义人=厂|,则可以将上述多项式表示成为：（人 _ 但 p- S” ）=（人人1一 心）3 - 人）这意味着算子多项式的分解，就相当于求出差分方程特征方

7、程的根。如果差分方程的根相异，且全部落在单位圆内，则可以进行卜述分式分解:1_C1 .C2 .=F(1 - L)(l - 22 L) (1 - L) (1-2jL) (1 - L) (1 - Ap L)通过待定系数法，可以得到上述分式中的参数为：疔-1 9c； =， / = 1,2,有-】+人尸+4厂J显然有：G +G + +上=1 TOC o 1-5 h z *P利用上述算子多项式分解，可以得到差分方程的解为：1力=冬一欧上一农口一一加。)吗CCrC=W, +=VV. + 圮(1 一 人L) (1 一 22 L)(1 一 L)=ck(l + AlL + AjLr + c2(1 + A2L +

8、 ALr + - )wt+ + c(l + + 2；Z? + 加=(q +c? + . + c,)Wp +(q/l +62? +. + c2p)w_ +.+ (q2/ + cM + . + cpAJp )、%_ + .通过上述方程通解，可以得到动态反应乘子为:=C +6 人!/ = 1,2，8)危 dwt命题2.1外生变量叫对），现值的影响和外生变量圮持续扰动对）；的动态影响乘子是:o1希匡顼f ) 1* 一“mJWJ +土=!.，* a叫 dwfU 初匕+打 Hl.一p证明：将差分方程的解表示为:），=%叫+代叫_2 +/叫T +，其中：? =龙 + +C/；，j = 12,设：仞（匕）=0

9、0 + （pL*甲 +（3 +利用算子多项式表示：yt =心加叫对）;现值的影响可以表示为：o f x） 00V.+ /x 伊）M =伊们=0（）owt Vj=o） j=0owt;=o注意到：例乙）=% + %乙+代厅+ 03厅+=（1 一人1乙）（I T/）T 因此有：(KP) = (1 一 40)(1 一 人代 = 一奴。一奴伊一一州伊 T长期乘数相当于A = 1的情形，从而得到公式所示的公式。上述命题结论是利用滞后算子多项式推导的，其结论同利用差分方程矩阵表示所得到的 结论是一致的。 2.5初始条件和无界序列假设给定下述线性差分方程：H = A f/-l + 02 巾2 + +/-/,

10、+ 叫一般情况下，求解P阶差分方程的特解，需要个初值：人,)，*,)，也需要外生 变量的一个输入序列：冲，,，这样一来根据差分方程结构，便可以确定月的时间路 径。但是，在一些常见的经济或者金融时间序列当中，无法给定具体的初值或者完整的外生 输入变量，那么这时差分方程解的性质如何？例2.4假设变量比表示股票价格，。，表示股票派发的红利。如果一个投资者在时刻，买 入股票，然后在时刻f + 1卖出股票，则他将获得实际红利收入喝成和价格收益 (，+】-，)/旦，因此投资者的收益率为：在简单的股票市场模型当中，假设收益率是常数，则上述方程可以转化为股票价格的差 分方程模型：4=(1+洒_如果知道红利序列

11、Q, 2,Q 和股票价格的初值P。，则可以得到股票价格路径为: = (1 + 尸)| R _ (1 + 尸)i _ (1 + r)z2 D2 Dt但是如果仅仅知道红利序列，而不知道股票价格初值，则可能有很多价格轨迹满足价格 的差分方程。为了说明这个问题，进一步假设红利为常数，则有：R = (1 + r)z PQ 一 )(! + (1 + + 1= (l+r)fP0-1(1 + /)f D= (l+r)P0-(D/r) + (D/r)如果初始时期股票价格等于红利贴现，即P0=D/r,则有：Pt = D/r , / = 0,1,2, -此时股票价格保持常数，股价等于红利除以收益率。这种股票价格被称

12、为在收益率是常 数情形的股价基础成分。假设初始股价超过了 D/r,即P0D/r,这时股票价格出现了扩散现象，这与资 产定价理论相符。因为为了保持资产收益率不变，股票的价格就会出现持续上升，同时假设 红利是固定的，红利带来的实际收益减少将被股价的加速增长所弥补，这样就出现了股票价 格膨胀的现象，即出现股票价格泡沫。为了消除股价当中的投资泡沫，一种方法是对股票价格路径给予有界性限制。例如, 假设对于所有时期的股票价格满足：Pt P，f = 0,1,2,这样一来，满足上述约束的股票价格路径便是常数的市场基础价格。上面假设了常数红利，现在假设红利序列是有界的。将股价表示为：4=己% +财1 + r进行

13、向前叠代运算有：11 + rTP.T +7-1n+71 + . . .+T0+7 +如果价格序列R满足约束条件:1TR+t=lim在假设Q和当均是有界序列，则得到股票价格水平满足:这是红利随时间变化时股票价格的市场基础成分。需要注意的是，对于上述情形的市场基础成分，需要投资者对于未来红利具有完全预期。当引入预期红利时，上述表达式仍然适用，这时可以修改为：月呵日耳(以+/).Mi + 尸利用红利预期的股价公式，可以确定价格初值:81 TP= 7 Dj;=oLl+rJ如此初值是否满足一般的股价模型，我们可以代入到具有初值的确定解中验证: 已=(1 + ,) R (1 + 尸)1一(1 +一一 Dj

14、将与代入上式后得到：这正是在边界条件卜所推导的向前预期解，由此可见该解与初值选择是吻合的。例2.5我们继续利用滞后算子方法讨论股票价格路径的性质。利用算子表示为：l-(l+r)L=-D,在上述表达式中，滞后算子多项式的特征根小于1，无法采用逆算子的一般表达式，为 此我们需要采取新的定义。定义滞后算子匕的逆算子为 I 具有性质：(1) L L=LL =1 Uy,) = yl+l这样一来，滞后算子乘枳就具有幕乘的性质：对于任意正整数，和J,有：L! L-j = U-i对方程(2.12)两端乘以算子多项式：+L1 +- + +-(1 +尸) (1 + r)2(l + r)71整理得到：1+(1+ 尸

15、)-7 旺=Dt + 一-一 + - 0-7Lri (1+r) z (1+r)2 /+1 (l + r)r 心当尸0,且红利序列是有界的，则上述极限为:根据上述运算，可以定义下述算子的逆算子： TOC o 1-5 h z 1 1 1 1= 1 +F+ .1-(1+r)L L(l + r)Lj L (1 + r)L (l+r)2L2.2.6差分方程的求解方法上面我们主要论述了差分方程的表示和外生扰动的动态乘子，下面我们给出差分方程的 一般求解过程。第一步：构造p阶齐次差分方程，并且寻求齐次方程的p个解：y；, i = l,2,p第二步：构造p阶非齐次差分方程的特解。第三步：齐次方程p个解的线性组

16、合加上非齐次方程的一个特解，得到非齐次方程的通 解。第四步：根据给定的边界条件，确实通解当中的未知参数，得到非齐次方程的确定解。2.6.1齐次差分方程的通解和稳定性p阶齐次差分方程的形式是：y, = S+ 奴 yt-2 + +p*-p命题2.1 (1)如果W是方程的解，则对任意常数A , Ay/也是解。(2)如果和也是方程的解，则对任意实数A和为，人外+夕时,也是方程的解。证明：留做练习。对于P阶齐次差分方程，我们尝试地检验解的形式是：y；= A，代入差分方程为：人e人 仇人 e% =o由此可见，人应该是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相异实数根的时候, 可以得到P个解为：剧=用，i = l,2,p,此时解的稳定性要求所有根落在单位圆内。命题2.2 (1)齐次方程所有特征根落在单位圆内的必要条件是：(2)齐次方程 /=!所有特征根落在单位圆内的充分条件是：(3)齐次方程至少具有一个单位根的充 r=l要条件是:f =1 /=!如果齐次方程的特征根