课件概率论课件

1、参 数 估 计想法：用X的一组样本观察值（x1，x2，xn）来估计总体中未知参数的值，即用样本统计量的值估计总体中未知参数的值。第七章 参数估计问题：若总体X的分布函数F(x)的类型已知，但它的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数？估计量：设为总体X的未知参数，用样本（X1，X2，Xn）构成的一个统计量 来估计的真值， 称 为的估计量。参数的点估计：指用样本统计量的值估计未知参数的值。估计值：对应于样本 的一组观测值（x1，x2，xn），估计量 的值 （ x1，x2，xn） 称为的估计值，仍记作 。本章介绍 ：1）矩估计法；2）极大似然估计法。7.1参数的点估计mk= E（Xk）ck=

2、EX-E(X)k 总体矩 总体矩的估计值 样本矩 =显然通常取理论根据：格利文科定理。Fn(X) 以概率1收敛于F(X)，可以证明, 只要总体的 l 阶矩存在,样本的 l 阶矩依概率1收敛于总体的l阶矩。一、矩估计法矩估计法：是用样本矩估计相应的总体矩，用样本矩函数估计总体矩的同一函数的一种估计方法。解得1，2的矩估计量为： 解：由于 据矩估计法有例1设总体XN(，2 )，试求，2的矩估计量。解：由于 E(X)= , D(X)= 2，据矩估计法有解得，2 的矩计量分别为：即：即：例2设总体XU1，2 ，试求1，2的矩估计量。试求的矩估计量。解：由于 E(X)=, 根据矩估计法：(k=0,1,2

3、；0+)又由于 D(X)=故可得的另一个矩估计量为由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的。例3设总体X服从参数为的泊松分布，即 极大似然估计法是求估计值的另一种方法，最早由高斯(R.A,Gauss)提出，后来为费史（Fisher)在1912年重新提出，并证明该方法的一些性质它是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法 极大似然原理：一个随机试验有若干种可能的结果，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大 引例设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球，今随机地取出一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一

4、个箱子中取出的？解：甲箱中抽得白球的概率P（白|甲）99/100乙箱中抽得白球的概率P（白|乙）=1/100 白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，根据极大似然原理，既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是从抽取概率大的箱子中抽出的，所以，可作出统计推断：白球是从甲箱中抽出的.二、 极大似然估计法（Fisher) 设总体X的概率密度函数为 f(x;)，(若X是离散型， 是分布律），则样本（x1,，xn ）的联合密度函数为： 2、求极大似然估计步骤这是参数的函数，称为样本的似然函数，记为L()。使似然函数取得最大值的 称为 的极大似然估计量。这种方法称为极大似然估计法。 (1)写出似

5、然函数 特别地，若的取值范围为开集时，可转化为求L(x,)的驻点. 取对数lnL，求lnL关于未知参数的导数。由导数等于零解得的估计值(2) 求出使L(x;)达到最大值的1、极大似然估计法解：设x1,xn为样本的一组观测值，于是似然函数为：两边取对数得，对求导数，并使其等于0得，解这一方程得的极大似然估计为：比如，样本观测值为：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123，n=10。则，例4XP（），求极大似然估计。例6设XN(,2）,求,2的极大似然估计。得，2的极大似然估计值为：则由例5X服从参数为的指数分布，求的极大似然估计。解：似然函数L（x1,，xn;,2)解：似然函

6、数为 例7设总体具有0, 均匀分布，密度函数为：求未知参数的极大似然估计。解：设x1, xn是取自这一总体的一个样本，似然函数为：显然L是的一个单值递减函数。每一个xi ( i=1,2,3 ,n),所以的极大似然估计量为：对同一个参数用不同的方法得到的估计量可能不相同，问题：选哪一个估计的结果更好呢？有没有评价估计量好坏的准？ 1 . 一致性 2 . 无偏性，则称 为的一致估计量。定义2 设 为未知参数的估计量，若E( ) =，则称 为的无偏估计量。 若 依概率收敛于，即 对于任意0,有 一般情况 ，但希望n时， 。这就是说当样本容量n无限增大时，估计值 非常接近真值的概率趋近于1一致估计是对

7、极限性质而言的，它只在样本容量较大时才起作用。 一个好的估计量的数值应该在参数的真值周围摆动，也就是估计的期望值与未知参数的真值相等。定义1 设三、估计量的评选标准为未知参数的估计量，即样本的二阶中心距，不是总体方差的无偏估计故 为的无偏估计量。证明：而故，即S2为2的无偏估计量。例8试证样本均值 及样本方差S2分别是总体均值及总体方差2的无偏估计。若 ， 则称 较 有效。设 ， 是的两个无偏估计量， 若在的一切无偏估计中， 的方差最小，则称 为的最小方差无偏估计量。3. 有效性 对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个，而且无偏仅仅表明 所有可能取的值按概率平均等于，有可能它取的值大部分与相差很大.为保证 的取值能集中于附近，自然要求