估计量的评选标准与区间估计ppt课件

1、估计量的评选规范与区间估计一 估计量的评选规范(一) 无偏性 定义 假设估计量 = (X1 ,X2 ,Xn)的数学期望E( )存在，且对于恣意有 E( )=,那么称 是的无偏估计。 在科学技术中E( )-称为以 作为的估计的系统误 差,无偏估计的实践意义就是无系统误差。 例1 设总体X的的k阶矩k=E(Xk)(k1)存在，又设X1 ,X2 ,Xn是X的一个样本。试证明不论总体服从什么分布，k阶样本矩证 X1 ,X2 ,Xn与X同分布，故有 E(Xik)=E(Xk) = k , i=1,2,n.即有证例2 对于均值,方差20都存在的总体，假设, 2均为未知，那么2的估计量 是有偏的。是k阶总体矩

2、k的无偏估计。 特别，不论总体服从什么分布,只需它的数学期望存在 总是总体X的数学期望1=E(X)的无偏估计量。所得的估计量就是无偏的了：这就是说S2是2的无偏估计，因此，普通都是取S2作为方差2的估计量。 例3 设总体X服从参数为的指数分布，概率密度为其中0为未知,又设X1 ,X2 ,Xn是来自X的样本,试证都是的无偏估计量证 而Z=min(X1 ,X2 ,Xn)服从参数为/n的指数分布，即具有概率密度故知即nZ也是参数的无偏估计量。 由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量。现实上X1 ,X2 ,Xn均可。 (二)有效性 的无偏估计量，假设有如今来比较的两无偏估计量. 例4 (续例3)试

3、证当n1时,的无偏估计量 较的无偏估计量nZ有效。(三) 一致性 定义 设 (X1 ,X2 ,Xn)为参数的估计量,假设对于恣意,当n时 (X1 ,X2 ,Xn)依赖收敛于,那么称 为的一致估计量。 证 由于D(X)=2,故有D( )= 2 /n, 再者，由于D(Z)=2/n2 , 故有D(nZ)= 2. 当n1时 D(nZ)D( ),故 较nZ有效。 由第六章2知，样本k(k1)阶矩是总体X的k阶矩k=E(Xk)的一致估计量，进而假设待估参数=g(1 , 2 , k ),其中g为延续函数，那么的矩估计量=g(A1 ,A2 ,Ak)是的一致估计量。 由极大似然估计法得到的估计量，在一定条件下也

4、具有一致性。 二 区间估计 对于未知参数,除了求出它的点估计 外，还必需给出一个范围，并知道这个范围包含真值的可信度，这样的范围用区间给出，并给出范围含的可信程度。这种形式的估计称为区间估计。 置信区间 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参数. 对于给定值a(0a1), 假设由样本X1 ,X2 ,Xn确定的两个统计量满足别称为置信度为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1-a称为置信度。 意义：假设反复抽样多次(容量都是n),每个样本确定一个区间，其中包含 真值的约占100(1-a)%。 例4 设总体XN(,2), 2为知, 为未知, 设X1 ,X2,Xn 是来自X的样本, 求的置

5、信度为1-a的置信区间。且它不依赖于任何未知参数, 按规范正态分布的上a分位点的定义，有(如图)这就得到了的一个置信度为1-a的置信区间 假设取a=0.05, 即1-0.05=0.95, 又假设 =1, n=16, 查表得za/2 =z0.025 =1.96. 于是得到置信度为0.95的置信区间这已不是随机区间, 但仍称为95%的置信区间，含义是该区间属于那些包含的区间的可信程度为95%, 或“该区间包含的可信度为95%. 留意：置信区间不独一，上例给定a=0.05, 那么还有也是的置信度为95%的置信区间。 比较5和7那么区间长度分别为 可见, L随n的增大而减小(当a给定时)。 我们可以

6、确定n , 使置信区间具有预先给定的长度。 寻求参数 的置信区间的详细做法步骤： 1)寻求一个样本X1 ,X2,Xn的函数： Z=Z(X1 ,X2,Xn ; ),它包含待估参数 ，而不含其它未知参数，且Z的分布不依赖其它未知参数。当然不依赖于待估参数 ) 2)对给定置信度1- ，定出两常数a, b，使PaZ(X1 ,X2,Xn;)b=1- 3)假设能从a Z(X1 ,X2,Xn;)b得到等价的不等式 函数Z(X1 ,X2,Xn ; )的构造, 可以从 的点估计着手思索。 (三)单个总体N(,2)的情况 设已给定置信度为1-a, 并设X1 ,X2,Xn为总体N(,2)1)均值的置信区间于是得的置

7、信度为1-a的置信区间例5 有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得分量为 506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496 解 这里 1-a=0.95, a/2=0.025, n-1=15, s=6.2022.于是根据 得均值的0.95置信区间即 500.4, 507.1). 假设以此区间任一值作的近似值，其误差不大于设袋装糖果的分量近似服从正态分布，试求总体均值的置信区间。 2)方差2的置信区间(只引见为未知) 2的无偏估计为S2 由第六章2定理一知 这就是2的置信度为1-a的置信区间还可得规范差的置信区间。 例6 求例5中的置信度为0.9