必修2-23直线、平面垂直的判定及其性质

1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质主要内容2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3.1 直线与平面垂直的判定直线和平面的位置关系复习1直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 旗杆与地面的位置关系观察线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系思考1直线和平面垂直旗杆与地面中的直线的位置关系如何？ 将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考2思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？ 特征：直线垂直于平面内的任意一条直线BA

2、C直线和平面垂直 如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直.定义平面 的垂线直线 l 的垂面垂足平面内任意一条直线 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考4l如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触） （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直探究 当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面垂直 （1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断

3、AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 ，翻折之后垂直关系不变 由此你能得到什么结论？思考5线面垂直的判定 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直作用：判定直线与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直思想： 例1. 如图，已知 ，求证 例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD是与AC 异面的体对角线. 求证：ACBDABDCA B CD证明：连接BD,因为正方体ABCD-ABCD所以DD 平面ABCD又因为 所以因为AC、BD 为对角线 所以ACBD因为DDBD=D 所以AC平面DDB所以ACBD 例3 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，

4、ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.PABCD 如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？答：底面四边形ABCD对角线相互垂直探究直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”小结 通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.思想方法第2课时 直线与平面所成的角BACABCAABCPD 前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出:线面角相关概念P斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB

5、平面的垂线1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂线与平面所成的角为直角3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO 例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.ABCOD 如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC

6、的大小关系如何？DCABBAD BACE解：作BOAD于O，BEAC于E， 则 BDBE sinBADsinBAC思考1o 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？思考2 1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？ 2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？ 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考3小结1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况.2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角.3. 求一斜线与平面所成的角的关键是

7、找出该斜线在平面内的射影.1直线与平面垂直的判定类型文字语言图形语言符号语言直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，l叫做平面的垂线_任意一条l类型文字语言图形语言符号语言线面垂直的判定一条直线与平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直两条相交直线若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OABB平面OACC平面OBC D平面ABC解析：由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.答案：C2直线与平面所成的角射影锐角直角0PAO如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_；AB1与平面ADD1A1所

8、成的角等于_；AB1与平面 DCC1D1所成的角等于_判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”1如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直()2若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直()3若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线()4若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线()答案：1.2.3.4. 如图所示，直角ABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点则直线SD与平面ABC的位置关系为_线面垂直的定义及判定定理的理解解析：SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC.连

9、接BD，在RtABC中，则ADDCBD，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.答案：垂直【互动探究】 在本例中，若ABBC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系为_解析：ABBC，点D为斜边AC的中点，BDAC.又由例题知SD平面ABC，SDBD.ACSDD，即BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，BD平面SAC.答案：垂直直线与平面垂直定义的“双向”作用(1)证明线面垂直若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，该直线与已知平面垂直即线线垂直线面垂直(2)证明线线垂直若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直即线面垂直线线垂直1.如图，AB为圆O的直径，

10、点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号) 如图，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.线面垂直判定定理的应用ADCD而ADPAA，CD平面PADCDAE.又AEMN，MNCD(2)由(1)可知CDAE，MNAE.又PDA45，PAD为等腰直角三角形又E为PD的中点，AEPDCDPDD，AE平面PCD又AEMN，MN平面PCD证

11、明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面2如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点求证：AD平面A1DC1. 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值求直线与平面所成的角求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂

12、足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算3.如图所示，三棱锥A SBC中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求直线AS与平面SBC所成的角1异面直线垂直的证明策略(1)作出异面直线所成的角，设法证明该角为直角(2)转化为证明一条直线垂直于过另外一条直线的平面2线线垂直和线面垂直的相互转化作业P67练习1，2，3 2.3.2 平面与平面垂直的判定卫星轨道面地球赤道面概念 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线

13、将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.半平面半平面射线射线概念 从一点出发的两条射线，构成平面角. 同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.m记为：二面角-m-记作AOBABO二面角的图示二面角的记号（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为： （2）以直线AB为棱，以 为半平面的二面角记为： AB思考3两个相交平面有几个二面角？如何用平面角来表示二面角的大小？探究lOABlOAB二面角-l-二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角AOB即

14、为二面角-AB-的注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内.（3）角的边都要垂直于二面角的棱. 二面角的取值范围0度角180度角l001800 例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.端点 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.AA1BCDB1C1D1 例3 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？ABCDEOF小结二面角的平面角的作法：1.定义法：根据定义作出来.2

15、.作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到.3.应用三垂线定理：应用三垂线定理或其逆定理作出来.oABoAoABB第2课时 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.aAb记为 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直aA 面面垂直线面垂直线线垂直 例1 如图，O在平面内，AB是O的直径， PA，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. PABCO 例2 在四面体ABCD中，已知ACBD, BAC= CAD=45，BAD=60，求证：平面ABC平面ACD.ABCD 例

16、3 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA底面ABCD,PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC平面PCD.PABCDMEF请问哪些平面互相垂直的,为什么?探究：ABCD小结1. 知识小结 1）二面角及其平面角 2）两个平面互相垂直 2. 思想方法面面垂直线线垂直线面垂直作业P69练习P73习题2.3 A，1，2，3，4.1二面角(1)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做_，这条直线叫做_这两个半平面叫做_，如图(1)，(2)中，棱为l或AB，面为、.记作 l ( AB )或P l Q(P AB Q)(P，Q分别为在、内且不在棱上的点)二面角二面角的棱二面角的面(2)

17、二面角的平面角.垂直射线AOBOAlOBl(3)二面角大小的度量二面角的大小可以用它的_来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做_平面角直二面角在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角D1ABD的平面角的大小是_答案：452平面与平面相互垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作.(2)判定定理.直二面角另一个平面的垂线在三棱锥P ABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如图所示，则在三棱锥P ABC的四个面中，互相垂直的面有_对判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”

18、1经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有无数个()2异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补()3二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角()4二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系()答案：1.2.3.4. 四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.(1)求二面角A PD C平面角的度数；(2)求二面角B PA D平面角的度数；(3)求二面角B PA C平面角的度数二面角及其大小的计算问题(2)PA平面ABCD，ABPA，ADPA.BAD为二面角B PA D的平面角又由题意BAD90，二面角B P

19、A D平面角的度数为90.(3)PA平面ABCD，ABPA，ACPA.BAC为二面角B PA C的平面角又四边形ABCD为正方形，BAC45.即二面角B PA C平面角的度数为45.解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”1如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC.求二面角E BD C的大小解

20、：E为SC中点，且SBBC.BESC.又DESC，BEDEE，SC平面BDE.BDSC.又SA平面ABC，可得SABD.又SCSAS， 如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC1，将ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD平面ACD，则折叠后BC_.平面与平面垂直的定义及应用面面垂直定义的两个作用(1)证明面面垂直首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后证明此平面角是直角(2)证明线线垂直首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后根据面面垂直推出该直二面角的平面角是直角2正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持P

21、EAC，则动点P的轨迹的周长为_解析：如图，取SC的中点M，CD的中点N，连接ME，EN，MN，连接AC，BD，且交于点O，由题意可知SO平面ABCD，SO平面SBD，由面面垂直的判定知平面SBD平面ABCD如图所示，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.面面垂直的判定与证明ASCB【互动探究】 在本例中，若SASBSC2，其他条件不变，如何求三棱锥S ABC的体积呢？证明面面垂直的方法有两种(1)根据定义：若ABE是二面角 l 的平面角，且ABE90，则.具体作法是，作出两面构成的二面角的平面角，计算其为90.(2)利用面面垂直的判定定理具体作法是在其

22、中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线3如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，E是BB1的中点求证：平面AEC1平面AA1C1C.(注：侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱)证明：连接A1C交AC1于点O，连接EO、EA1、EC，则A1OOC，AOOC1.在直三棱柱ABC A1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面A1B1C1，AB平面ABC，B1C1平面A1B1C1，1确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线如例3.(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所

23、成的角，即为二面角的平面角2证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的3下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.2.3.3 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定定理是什么？复习直线与平面垂直的定义是什么？aa思考1 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1思考2 如果直线a，

24、b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？ablablab l相交平行异面思考3 如果直线a，b都垂直于平面，那么a与b一定平行吗？垂直于同一个平面的两条直线平行直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直bOabc性质定理的证明反证法证明：小结 直线与平面垂直的性质定理可简述为“线面垂直，则线线平行”思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.“线面垂直，则线线垂直”作业P71练习1，2P73习题2.3 A组，5，6. B组1，22.3.4 平面与平面垂直的性质复习1ll两个平面相互垂直三个平面两两垂直两个平面垂直的判定 判定定理：

25、如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直复习2laA 1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？思考？思考？ 2.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？AA1BCDB1C1D1 3. 设 垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为什么？ABDCE思考？ 两个平面垂直的性质 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.面面垂直线面垂直aAl 若，过平面内一点A作平

26、面的垂线a，那么垂线a与平面 具有什么样的位置关系?BA思考？B反证法证明点B在两个平面的交线上注意：过一点只能作一条直线垂直于已知平面.结论BA 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内. 例1.如图，已知，a，a，试判断直线l与平面的位置关系，并说明理由.Abal 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， , 侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD. （1）证明：侧面PAB侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.PABCD 对于三个平面、，如果，= l ，那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？lab探究解

27、答：在内分别作平面的垂线a、b，则a l,b l, a与b必相交.所以l小结知识小结 几个结论和性质的应用思想方法线面垂直或线线垂直面面垂直平行ab一个平面内交线垂直aal线面1直线n平面，nl，直线m，则l，m的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直解析：由题意可知l，lm.答案：D2若平面平面，平面平面，则()ABC与相交但不垂直D以上都有可能解析：可能平行，也可能相交如图，与平行，与相交答案：D判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”1已知两个平面垂直，那么一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线()2已知两个平面垂直，那么一个平面内的已知直线必垂直于另

28、一个平面的无数条直线()3已知两个平面垂直，那么一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面()4已知两个平面垂直，那么过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面()答案：1.2.3.4. 如图，l，PA，PB，垂足分别为A，B，a，aAB. 求证：al.线面垂直的性质定理的应用证明：PA，l，PAl. 同理PBl.PAPBP，l平面PAB.PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al线面垂直的性质作用是可用来证明线线平行，同时反过来，若两平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，从而证明线面垂直，这也体现了平行与垂直的相互转化作用1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1C的中点 求证：MN平面A1DC.如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形