第19讲 利用导数解决实际应用问题(提升训练)(解析版))-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

1、第19讲利用导数解决实际应用问题【提升训练】一、单选题i.某市在精准扶贫专项工作中，通过实施农村农田水利项目，以夯实农村农业的发展基础，助力脱贫攻坚.现计划对该村旧的灌溉水渠进行加固改造，已知旧水渠的横截面是一段抛物线弧AOB（如图所示），顶点。在水渠的最底端，渠宽48为3m,渠深为1m，欲在旧水渠内填充混凝土加固，改造成横截面为等腰梯形的新水渠，且新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），若要使所填充的混凝土量最小，则新水渠的底宽为（） TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 4A.-mB.ImC.mD.2m3【答案】B【分析】

2、设抛物线的方程为犬=2py（p0）,由点A得出抛物线的方程，要使所填充的混凝土量最小,则如图内接等腰梯形A8CD的面积要最大，设点C，,f2）0/0）, TOC o 1-5 h z o4因为点A在抛物线上，可得?=可，所以抛物线的方程为y=,x2.要使所填充的混凝土量最小，则如图内接等腰梯形ABC。的面枳耍最大，设点3，1，44R213则此时梯形A3CQ的面积5（。=5（2，+31-3/）=一5/3-2+，+彳，441所以）=不2一于+1=一1+3）1）.31又由0，二，令SQ）=O,解得，=一.22上单调递减,当0t0,S）在（0,（）上单调递增,当时,22所以时，SQ）取得最大值，此时新水

3、柒的底宽co为1m2故选B.解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.如图所示，ABC。是边长为18cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A四个点重合于点尸，正好形成于个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积V（cm）最大，则EE的长为（）A E F BA.7.5cmB.9cmC.6cmD.4.5cm【答案】C【分析】利用题中的条件，设包装盒的高为

4、人（。），BF=x（cm）,底面边长为表示出包装盒的体积，利用函数的单调性，即可解出.【详解】设包装盒的高为(。)，8尸=x(cni),底面边长为a(cm).由已知得a= a/2x h =18-2xF= 0(9-x)(Oxa=753-0,0 xa+(x-3).a=(2x-5a=(2x-5)-6x2+1515x-3750L1875、15152xxJ21875S=-3+=0,解得：x=25，x当0 x0,S单调递增，25cx30时，5a=；.将一个表面积为364的木质实心球加工成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的底面半径为()A.2百B.3C.76D.73【答案】C【分析】求得圆柱体积的表达式，结合导

5、数研究体积的最值.【详解】设球的半径为r,则4万r=36万,r=3,设圆柱的底面半径为x,则0 x圆柱的体枳为v=x2x=7tx2x2l9x2=27rx)也-x2=24l-xb+9x4,(-x6+9x4)=-6x5+36t=-6x3(x?-6)=-6x3(*+#)(%一)，所以一/+9/在(o,、厨上递增，在(跖3)上递减，所以当x=卡时，体积最大.故选：C5.将一个边长为。的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为2,则。的最小值为()A.1B.2c.3D.3次【答案】c【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值

6、即可.【详解】设截去的小正方形边长为x,则方盒高为x,底边长为a-2x,所以V=（a-2xx,xe（0,T），则V=（a2x）2+4（2xa）x=（2x，令V=0,得x=（舍）或x=,当0 x0，单调递增；当26662时，V2.则aN3,故a（6八3）627a的最小值为为故选：C.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考

7、查数形结合思想的应用.现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为/?的圆柱（橡皮泥没有浪费），则该圆柱表面积的最小值为（）A.20万B.24万C.28乃D.32万【答案】B【分析】利用体积相等可得出产=16，再将圆柱表面积表示出来将=当代入求导即可得最值.r【详解】山题意可得圆柱和圆锥的体积相等，底面半径为4,高为3的圆锥为x3=161，底面半径为r，高为的圆柱乃产人，所以7ir2h=16兀可得r2h=16，即h=广 TOC o 1-5 h z 圆柱的表面积为：5=2兀户+2nrh=2%产+2兀r2=2万尸+必巴，rreA32乃41/327rr广人c

8、,41厂3-32乃八r4tl仁人c,4%/一32乃八mi八令S=0可得厂2，令S=0可得0vr0）,生产成本旷2（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为必=21-/（0）,要使利润最大，则该产品应生产（）A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台【答案】A【分析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.【详解】设利润为y万元，则y=y-y2=17x?-（2x一寸）=-2x+18/（x0）,y=-6x2+36x=-6x（x-6）.令y=0,解得尤=0（含去）或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点，应生产6台该产品.故选：A【点睛】利用导数求函数在某

9、区间上最值的规律：（1）若函数在区间加上单调递增或递减./3）与/（加一个为最大值，一个为最小值.（2）若函数在闭区间刃上有极值，要先求出。,功上的极值,与a）,/S）比较,最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.（3）函数f（x）在区间（。力）I二有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.8.已知一个球的半轻为3.则该球内接正六校锥的体积的最大值为（）A.105/3B.生叵C.166D.史122【答案】C【分析】如图，设六棱锥PABC。印球心为O，底面中心为G，设NQ4G=6，则y=Icos2e（l+sin。），令，=11a，（0,1）可得）。+

10、。，利用导数可求出其最大值.【详解】如图，设六棱锥产一A3CDEE球心为。,底面中心为G，设N。4G=6，BC则AG=3cos。,OG=3sin0,:.V=-x6xx(3cos)2x(34-3sin)=cos26(l+sin6).令1=sin6/0,1),则=产)(l+r),可得0,|时，V,(r)0,V(。单调递增：时，V,(r)0,V”)单调递减，W&=16G.故该球内接正六校锥的体积的最大值为16G.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将体积用函数v）=秒5（1-/）（i+r）表示，利用导数进行计算.9.某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容

11、器的底部为圆柱形，高为/,底面半径为，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为乃立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径，的值为（）A.1B.次C.痣D.2【答案】C【分析】根据体积公式用r表示出/，得出费用关于r的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【详解】 TOC o 1-5 h z 解：由题意知V=nrl+x-r3,2?万一28 2 _ 28 - 2,， /一1 3r2,IVZ，Zftr，7irnr故1=3=33建造费用y =（2% +万，）_1.2,，28-2r3,

12、2567_2x3+x4%rx4=6%rx+1nr=+7乃r-,23/r(0rV14).则,=14万一=厂当re（0,延卜时，/0.当r=正时，该容器的建造费用最小.故选：C.【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.10.现需设计肇庆联考联盟2018-2019学年第二学期质量检测数学试卷，该试卷含有大小相等的左右两个矩形栏目（可参考本试卷页面排布），假设这两栏的面积之和为720cm%四周空白的宽度为4cm,两栏之间的中缝空白的宽度为2cm,设试卷的高和宽分别为xcm,ycm.试卷的面积最小时，该试卷的高为（）8【答案】C【分析】10C. 32D. 40设试卷的

13、高和宽分别为xcm,ycm,可得试卷的面积S= = x用导数可求出最小值.【详解】设试卷的高和宽分别为xcm.ycm,则捋栏的高和宽分别为（x8）cm,-cm,其中x8,yio,两栏面积之和为：2（x-8）三一=720,由此得y=-+10,定义域为（8,+8）,2Xo设试卷的面积为S,则s=町，=合+ioj（x8）,.-.5 =-5760。一8)2+ 10,令S = 0得x = 32 (负数舍去),.函数5在（8,32）匕单调递减，在（32,+）上单调递增.x=32时S取得最小值.当试卷的高为32cm,宽为40cm时,可使试卷的面积最小.故选：C.【点睹】本题考查导数的应用求最值，属于中档题.

14、11.从一张圆形铁板上剪下一个扇形，将其制成一个无底圆锥容器，当容器体积最大时，该 TOC o 1-5 h z 扇形的圆心角是（）A2Dcc2后A.7tB.乃C.兀D.jt333【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为r,高为，体积为Y，求出/+川=2,表示出体积衣达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果.【详解】解:设圆锥底面半径为r,高为，则r2+h2=R2,圆锥的体积为丫=!兀/=：兀（/?2-人2）=2.兀（7?2万一3）,V，=-7I(/?2-3/l2)=O,得2=J.r2,此时圆锥体积最大.故r=巫R,32nr 2x6故选:Da =R【点睛】本题考查圆锥与扇形展开图的关系体积的计算考杳

15、计算能力，导数的应用，必须注意函数的单调性与最值的关系.12.如图所示，正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）524 B.25169 %C.25338万 D.125【答案】D【分析】正方形ABCD的边长为2,可得对角线的一半为设正四棱锥边长为。，而为，可得=2-应.正四棱锥体枳丫=：片.最大时，求解a的值，可得正四棱锥边长。和高的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积.【详解】解：由题意，正方形A3CD的边长为公可得对角线的一半为0,折成止四棱锥后，设正四棱锥边长为。，高为，可得：2=2-&a，(0a/2).正四棱锥体枳V=g

16、/访最大时，即y=；j2a4_0q5.由y=2a4-y/2a5.则y，=8/-5缶4,Q令y=0,可得。=工方，Q即当a=不方体枳取得最大值：,屈h=54正四棱锥底面正方形外接圆=.正四棱锥外接球的半径R,可得(半-R解得:六嚼正四棱锥外接球的表面积5=4万斤=花灯.故选：D.【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.13.为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A、8两种小商品.当投资额为x(x20)千元时，在销售A、8商品中所获收益分别为了(X)千元与g(x)千元，其中f(x)=2x,g(

17、x)=51n(2x+l),如果该个体户准备共投入5千元销售A、8两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投入()A.4千元B.3千元C.2千元D.1千元【答案】B【分析】列出利润关于投资8商品x元的函数，利用导数判断函数单调性，再计算函数最大值及对应的x的值即可【详解】解：设投入经销8商品x千元(0WxW5),则投入经销A商品的资金为(5x)千元，所以获得的收益S(x)千元,则S(x)=2(5-x)+51n(2x+l)=51n(2x+l)-2x+10()x5)*S(x) =旦-2 2x+l当0Wx0,函数S(x)在0,2)上单调递增;当2xK5时，S(x)+2r)rsin0=r2(l+cos(9

18、)sin0,夕g(0,)22因为由S,=r2(-sin2。+cos6+cos?O)=r2(-l+cos6+2cos?6)=0,得cosO=J,根据实际意义得cos6=，时，梯形而枳取最大值，此时上底为2rcos6=r,22选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用/。)=0得可疑最值点：第二步:比较极值同端点值的大小.在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.15.内接于半径为样的球且体积最大的圆柱体的高为(A.B.BrC.-RD.Br3322【答案】A【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系,利用导数求体枳取得最大值时对应

19、的自变量即可.【详解】根据题意，设圆柱底面半径为，圆柱的高为，作出示意图如下所示：故圆柱的体积(%)=7/x=+兀R%,4故可得V()乃/?2,(0人0,解得02叵A,故此时v()单调递增，令丫()0,解得空Rh2R，故此时v()单调递减.故用J即当6=2叵R时，圆柱的体积最大.3故选：A-【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.16.现订制一个容积为丫的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作.己知单位面积铝合金板的价格是铁皮的3倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（）【答案】C【分析】设底面半径为r,高为，总造价为v,根据体枳为V,得到=，

20、然后建江总造价函nr利用导数法求解.【详解】设底面半径为,，高为力，总造价为y,V因为体积为V,所以=，nr设单位面积铁皮的价格是“，则总造价为:所以y = a当0r J上时, 丫4乃y = 3兀r,a + （2兀rh + 兀r） ayjE，y0,函数单调性递增，V44所以当厂=；工，BPh=2J,时，总造价最少.N4乃Vn故选：C【点睛】本题主要考查利用导数求最值在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17.一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为A

21、小B.500V2c.5gD.158127【答案】A【分析】由题意作出草图，设底面正方形边长的一半为X,由勾股定理，求出棱锥的高，利用棱锥体积公式得到体枳关于x的函数，再利用导数求最值，即可得到结果.【详解】设四棱锥为PA8CD,如下图所示：设四棱锥高为P0,取3C中点M，IA_2V设四棱锥底面正方形边长的T1为x,则侧面等腰三角形的腰长A6=5-x,2所以尸2=(5一x)2Y,在直角OW=x,所以四棱锥的高PO=JPM2-OM2=y(5-x)2-x2-x2=V-x2-10 x+25，所以Vp_ABcd=-(2x)2-V-x2-10 x+25=-V-x6-10 x5+25x4.设/(x)=_10

22、/+25/,(x0),则r(x)=-6X5-50 x4+1OOx3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),令/(x)=。,可得x=-10(舍去)或x=,当xw(o,g)时,r(x)0,当序+00)时,/,(x)?与aABC有相同的外接圆圆心，设圆心为。，A8=x(x0),棱锥的高为力，连接0。交A5FG，从而得到/=J竺2x,SAU,r=x2.V33*4V金舟一丁,再利用导数即可得到体积的最大值.12【详解】由题知：)?jaABC有相同的外接圆圆心，设圆心为0,AB=x(x0),三棱锥的高为，连接。交于G，如图所小:DG=*V3x,36SA=-x2-sin60=x

23、2ZA/liSC225 5 X 3 3令y=5x4-x5(x0),y=20 x35x4=5x3(4x).当xe(0,4),y0,y为增函数，当xw(4,+8),/相似，所以四边形EFG为正方形，设警=x(Oxl),所以要=产,SA3ACD易知四棱锥OEFGH与四棱锥PABC。的高的比为。-x):l, TOC o 1-5 h z Vfj-EFGH=X设f(x)=X2(1-X),(0X1),f(x)=2x-3x2,2则当0 x0,当一xl时,/(x)时，函数单调递增,乃VV故r=1时，造价最小，此时=-r=4r.故选：D.【点睛】本题考瓷了利用导数求最值，导数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能

24、力.21.已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是()A.1B.72C.GD.2【答案】A【分析】设球心。到底面距离为x,通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论.【详解】如图,APAC是正四棱谯尸一ABCD的对噢其外接留足四棱锥外接球的大圆，。是网心(球心)，设正四棱锥底面边长为。，则AC=缶，OA=OP=3,设OE=x(0 x0,丫递增，Ixv3时，64r/15B.MIC.4/15D.33【答案】B【分析】连接交与点K，山题意，J_CD，设。K=x，则C3=2i巨x,KM=5-x,3求出棱锥的高，

25、和底面面积，由体积公式求得体积的表达式，引入函数/（力=251-10、5,xw（0,1）,利用导数可.求得其最大值.【详解】如图，连接。M,交CO与点K，由题意，OMLCD,设。K=x,则a=但x,3KM=5-x,六棱锥的高h=yjKM2-OK2=y25-10 x+x2-x2=,25-lOxS正六边彩ascoef=彳,铲,6=2出x-、贝丫=gS正六比形曲def,卜=,25-1Ox=2.，25x4-10d.令/(刈=25/-10春*e(0,3,尸(x)=100 x3-50 x4，令/(x)0,即x4_2d0,x2,即xe(0,2)时，/(x)递增，当xe(2,)时，f(x)0,/(x)递减,2

26、f(2)是f(x)在(0,1)上的唯一极大值，也是最大值./(2)=80,匕小=友又痴=与叵，所以体积最大值为亚cm，max333故选：B.GN【点睛】本题考查求棱锥的体积的最大值.解题关键是引入变量(题中的X),然后把棱锥体积表示为这个变量的函数，利用导数的知识求得最大值.23.在四面体ABC。中，AD=AC=BD=BC=5则四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为()A.5乃B.6兀C.207rD.24万【答案】A【分析】四面体的体积最大时，平面ACD_L平idiBCD，设CD=2x,然后把四面体体积表示为x的函数，最后由导数的知识求得最大值，从而得四面体棱长C2A3.把这个四面体补形成个

27、长方体，可得外接球的半径，从而得面积.【详解】当平面ACD_L平面8CZ)时，四面体的体积最大，令C0=2x,则AC。，88的为亚耳则丫=；*2广，3_*2卜3丁=x-1x3(0 xy/3).则V(x)=lx2,当0 xl时V(x)O,当lx6时V(x)0得0巫，由y，(r)史，222.当=学时，Hr)取极大值，也是最大值，即=&-故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.26.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起,所以V（x）在（0,|二单调递增，在匕单调递减，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正

28、六棱柱容器的底面边长为(321A. -B. -C.一433【答案】B【分析】设正六楼柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为#(1 - X). 容积为V(x) = (x + 2x).且r 且(1一力=(4 +内,再利用导 解.【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱柱容器的高为立(1 - X 所以正六棱柱容器的容积为V(x) = (x + 2x)等r *(1-力=； 所以v(x)=弓+gx,则在(o,q上,y(x)o；在彳/卜)时，其容积最大.D. 12则可得正六楂柱容器的函数求得最值，即可求(-x3 + x2).V(无)0）.厂x1024令S=2r-=0,得F=512,Jt=8,x

29、所以函数在（0,8）单调递减，在（8,+oo）单调递减.所以当48时，函数取最小值，此时48，尸4.故选；A【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学牛.对这些知识的理解掌握水平和应用能力.做一个圆柱形锅炉，容积为丫，两个底面的材料每单位面积的价格为。元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为（）【答案】A【分析】设锅炉的高为，底面直径为4,根据圆柱的表面枳计算公式列出函数关系式，结合导数,然后求其最值.【详解】h解：设锅炉的高为，底面直径为d,锅炉的高与底面直径的比是1=匕a令y=o,解得火=巴，可得此时y取得最小值.b故当造价最低时，锅炉的高I底面立径的比

30、值为.b故选：A.【点睛】本题考查导数的运用求最值，同时考查圆柱的表面积和体积公式，属于中档题.aANC是边长为的等边三角形，E、尸分别在AB、AC上滑动，EF/BC,沿尸把aAE尸折起，使点A翻折到点P的位置，连接尸3、PC,则四楂锥P的体积的最大值为A.2V2B.73C.3D.2【答案】D【分析】以四边形BCFE为底面,易得当平面PBC与平面BCFE垂宜时四棱锥P8CEE的体积取最大值.再求得底面积与高即可.【详解】以四边形BCFE为底面，则当P与平面BCFE距离最远时四棱锥P-BCEE的体积取最大值.易得此时平面P8C与平面BCFE垂直.作AM_L8C于M,交所于N.则易得AN_L所.A

31、M=ACsinC=3.乂因为A3C是边长为2百的等边三角形，设NF=x.则=2x.AN=氐.则MW=3-.此时底面Sbcfe=一（2x+2x（33x）=3（3x）.故四棱锥尸一BCEE的体积为丫=：、6（3-刀2卜岛=*（3-/）.其中工倒,6）.设刈=%（3/）,故/（x）=（3_f）+x.（2力=3-3丁,令尸（x）=0有x=l.故x）=x（3-x2）在（0,1）匕单调递增，住（1,3）上单调递减.故/（x）的最大值为/（1）=1（312）=2.故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中体积的最值问题，需要根据题意分析取最值时的垂直情况，再设对应的自变量，列出关于体积的表达式，求

32、导分析最值求解即可.属于中档题.30.在直四棱柱48。一4片。|。|中，底面ABCD是边长为4的正方形，A4,=5,垂宜于AA的截面分别与面对角线RA,B,A,BC,C相交于四个不同的点E，F，G, TOC o 1-5 h z H，则四棱锥A-EFGH体积的最大值为（）.8125128640A.一B.C.D.382581【答案】D【分析】由直棱柱的特点和底面为正方形可证得四边形EFGH为矩形，设点A到平面EFGH的距离为5/（0，1）,可表示出根据四棱锥体积公式将所求体积表示为关于，的函数，利用导数可求得所求的最大值.【详解】.四棱柱A8CZ)A4GR为直四棱柱，AA_L平面A8CD，A%J.

33、平面44GA1平面EFGHH平面ABCD,平面EFGHH平面4BA,由面面平行性质得：EF/B.D./GH,EH/AC/FG,又4QJLAC,EFFG,四边形EFGH为矩形.设点A到平面EFG”的距离为5f（0f0,当rw故选：D【点睛】本题考查立体几何中的体积最值的求解问题，关键是能够将所求四棱锥的体积表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用导数来求解函数最值，从而得到所求体积的最值.31.将一个边长为。的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为2,则a的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】Ca6【分析】小正方形边长为X,将体积用X表示,通过求导

34、判定函数的单调性，得匕政=丫该方盒的体积为2,则方盒的最大值要大于等于2,解得【详解】解：设截去的小正方形边长为无，则无盖方盒底边是边长为a-2x的正方形，高为x所以其体积为V=(a-2x)2-x=4x3-4ax2+a2x,xe(，怖)则V=12x2-8ax+a2=(2x-a)(6x-a),xe(。,1)当0 x0，丫单调递增，当qx时V0.丫单调递减所以匕”x=VT1若该方盒的体积为2,则匕ax=V所以。的最小值为3.故选：C.r点睛】求函数最值的五种常用方法：(I)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值：(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(

35、3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值：(4)导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.32.如图所示，等边三角形ABC的边长为2,。，分别是AC,A8上的点，满足。石BC,将aAOE沿直线OE折到VEOE，则在翻折过程中，下列说法正确的个数是()丫；yF-BCDE-9，mGgFE,使得8G平面FCD；若存在平面EBC_L平面FDE，则ADE=x(Ox2),求出体积衣达式，利用导数可求出最大值，即可得出结论；反证法，假设存在，在EF上

36、任取一点G,过G作GH/DE，交FD于H,连接BG,CH,可证四边形8CHG为梯形，即BG与C”相交，即BG与平面厂。相交，得出结论；取BC中点M,DE中前N,连接尸M,FN,连接并延长至A,可得NM/W=9()，即得ANMN,即证AOOC.【详解】可知当平面平面8CDE时，四棱锥尸3CDE的体积最大，设。E=x(Ox2),则DC=2-x,则等腰梯形8CDE的高为J(2-”2一(言)=6与x，故梯形3CDE的面积为Sb3=2(x+2)6-彳x=V3-x2,点F到平面BCDE的距离即尸至IDE的距离为YLx,2j3J3二四棱锥尸BCDE1的体积V=x5/3xx=-x3+-x,()x0，当XG叫时

37、,r0,(3 J当、二学时丫取得最大值为哈,故*3竽,故正确:如图，在EF上任取一点G,过G作GH/OE,交FDFH,连接BG,CH,DEHBC.且DE8C,又G/7/OE,且GHE,：.GHHBC,且G”hBC,故四边形BCHG为梯形，.8GHCH相交，（。“匚平面厂。，故BG与平面/CO相交，故错误：如图，取8C中点M,CE中点M连接FAf,FN.连接MN并延长至A,设平面ESCD平面FDE=7,则由DEBC可得OE/平面FBC，则DE/.即GE/8C/,;FD=FEFNDE,:.FNl,;FC=FB，：.FMBC,:.FMl,则NM7W即为平面F8C与平面FDE所成角,.平面EBC_L平

38、面FDE，.NMFN=90，：.FNMN,-AN=FN.：.ANMN,AD ANDCMN：.ADDC,故正确.故选：C.【点睛】本题考查立体几何的综合问题，属于较难题.33.已知长方体48CD-A4G。内接于半球。，且底面ABC。落在半球的底面上，底面的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3,AB=BC,则该长方体体积的最大值为（）A.126B.6指C.48D.72【答案】A【分析】设该长方体的高为从底面边长为，计算出底面外接圆的半径/=44,利用勾股定理2lr+r2=32得出/=18-2万,利用柱体体积公式得出柱体体积丫关于h的函数关系式,然后利用导数可求出V的最大值.【详解】设长方体A

39、BCO-AqG。的高为伍底面棱长为m则长方体的底面外接圆直径为、/72r=?.a所以r=a-2由勾股定理得+2=32即2+图=9得储=82*，其中0力3,所以长方体ABCD-ABCR的体积为丫=/=（18-）力=一2川+18力，其中0/3,设/（力）=一2/+18联其中则/（70=-62+18,令/（力=0,得h=5当0a，/（力）在（0,月）上单调递增：当&%,故半球的半径为OF.设AD=2。.则OA=j2a.VO=712-2a2，正四棱锥的体积V=-AD2VO=-a2yJ2-2a2(r)=V2=a4(12-2a2).令/=/a*,佝即e(0,6),g(r)=/(12_)=-2/+12Rg(

40、r)=-6r+24,6/(r4)，因此当，e(0,4)时,g，0；当rg(4,6)时,g(f)0,当Hw(痴，病)时,广0,则当”=历时/()取得最大值，此时K)=V30-10=2#),又因为尺2=；+(如一/?丫，所以r=所以该球的表面枳为S=4万R?=90万，故选：B.【点睛】本题考查圆锥的外接球以及圆锥的体积最值问题，其中涉及到利用导数分析体积最值，对学生的分析与计算能力要求极高，难度较难.球的内切、外接问题，注意结合几何体本身的特点进行分析.在四面体ABCD中，AD=DB=AC=CB=2,则当四面体A8CD的体积最大时一，其外接球表面积为()【答案】A【分析】根据题总易得，当aABCj

41、ABO垂直时四面体A5CD的体枳能取得最大值，再取A3中点。，设AO=x再列式求导分析当体枳取最大值时AB的长度，进而求得外接球的半任即可.【详解】由题,“1ABC与/XABD形状确定时，以aABC为底面，易得当ABC与AABD垂FL时四面体A8CD的高取得最大值,此时体积取最大值.取A8中点。，因为AO=O8=AC=C8=2.故OO_LAB.CO_LA8.设AO=x则co=747?.故AB。的体枳为/(x)=*A8OCOO=gx(4x2).令尸(x)=0,则x=功，易得当*=逑时f(x)=:尤(4一/)取最大值35/333此时。72m手此时根据对称性可知，球心O必定在COD中.作OQOCQA

42、XO,Q1.ODD“八BC2x2/72BQ-=t=-=/6易得P,Q分别为ABO与aABC的外心.故sinABAC迷,1故QC=BQ=曰,OQ=当一与=.又POQO为正方形，故QO,=QO=4故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题以及外接球的表面积的求法等.需要根据题意设合适的边长求出对应的函数解析式，再求导分析最值.同时外接球的问题需要找准球心位置，构造宜角三角形求边角关系.属于难题.已知直角三角形A3C两直角边长之和为3,将AABC绕其中一条直角边旋转一周， TOC o 1-5 h z 所形成旋转体体积的最大值为（）54八29A.TCB.-71C7TD.7C3338

43、【答案】B【分析】设将AABC绕长度为。的直角边旋转，则其体积为V=；%/5=（万/0一。），然后求其最大值即可.【详解】设直角三角形的两边长分别为则a+b=3.以长度为b的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为V=g7rcrb=g%/（3-a）,V=-7r（6a-3a2）,当0a0；当2a3时，V0,.。83又.正三棱锥的体积V=x-a2h=-（Sh-h2）h=y（8/i2-/z3）-则丫，=（16人-3炉）,令V=0,则力=或=0（舍去），3.函数丫=也侬2一在（0,日）上单调递增，在（学8）上单调递减,.当=不时，V取得最大值，故选：D.【点睛】本题考查球与多面体的关系、三棱锥的体积公式、导

44、数的综合应用，考查空间想象能力及运算求解能力，属于难题.39.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为()A.3+B.6C.2#D.273【答案】D【分析】根据正六棱柱和球的对称性，球心。必然是正六棱柱上卜底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求得函数取得最值的条件即可求出所要求的量.【详解】以正六棱柱的最大对角面作截面如图，设J求心为。，正六棱柱的上下底面中心分别为。2则。是。I，。2的中点，设高为2，设底面边长为a,则+%2=9,./=9_力2,AV=6x-a2-2h=(

45、9-h2)2h,v=27y/3h-3y/3h3/3h2=Q-k472h=y/3/=G-2h=2/3,【点睛】本题重点考查球的内接几何体的知识，将空间几何体与导数的应用相结合是解题的关键，考查了学生的空间想象能力和运算能力.40.已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面半径为，点A,8,C,O在底面圆周上，当四棱锥PABCO体积最大时，r=A.&BYC.还D.毡V3327【答案】C【分析】设圆锥的高为，AC8。相交于点用，ZAMB=G求得Sms。的最大值，以及根据锥2体的体积公式，求得匕,令令导数求解函数的单调性与最值，进而可求解答案.【详解】设圆锥的高为力，AGBD相交于点M，ZAMB=e,则0,

46、2),r2+h2=4.111zX29SMBCD=-ACBD.sin0-ACBD10)米的圆锥，下部分是底面半径为米、高为米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为0a元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为。元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是()QQAA.10r0可得r的范围，则可判断A的对错；根据与r的关系即可利用厂的范围求的最大值，则可判断B的对错；分别求出圆锥的侧面积和恻柱的侧面积，底面积，然后得到总费用的表达式,进而将r=21代入，即可判断C选项的对错；在C的基础上，利用导数求解最值即可判断D的对错.【详解】63000 1 ,由由题意可得工/Xr+

47、兀r/=63000乃，所以，63000）-兀，3h=广兀丸0，得封毁一！r0,解得r30#7，所以104r五=4开产，圆柱的侧面积5,=2兀rh=2万/6320_；/=2x630004_耳/，圆柱的底面积r3Jr3S3=7rr2,所以总费用y=y/2aS1+（邑+53）/t/z2r2x630002乃22、=V2axx/2r+a广+）广Ir3J7。万22x63000m产+7。乃2x63000。万当r = 21时,y=x2+=7029。乃，C项正确.2114。乃 ry =.32x63000。414aH/_ 27000)-3当 104rv30时，/0,函数y707r 2 2x63000瓯、,、用*、

48、r2 +单调递减,当30r0,函数y =7。1 2 2 x63000m广+单调递增,3所以当r=30时，取得最小值，最小值为匕竺x3（）2+-3吧=6300。乃，。项正330确.故选；BCD【点睛】关键点睛：本题粮食储存问题为背景，解题关键是通过组合体体积与表面枳的求解，制造总费用的最值的求解，主要考查考查运算求解能力、逻辑思维能力、创新能力，难度属于中档题42.如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为10岳万的半球，下面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为

49、（）A.10万B.18万C.30%D.4()乃【答案】ABC【分析】根据半球的体积公式及小圆锥体积的表达式并结合导函数的性质，求出圆锥最大体积，即可得出结果.【详解】解：令上部分的半球半径为R,可得2乃/?3=10/豆，解得R=Jig,设小圆锥的底面半径为，小圆锥底面中心到球心距离为，可知r,h,和R可构成直角三角形，即/+川=15，小圆锥体积丫=+/(+6)=$(152)(+6)(oJ可.令/()=(15-/)(1+6)(0(0_1),可知/()在(0,1)上单调递增，在(1,厉)上单调递减，98所以当人=1时，)(与最大，/(/z)iiux=/(1)=98,即嗫x=万，即ABC三个选项都满

50、足题意.故选：ABC.【点睛】本题考查圆锥体积的问题，结合导函数的单调性的知识，考查分析问题能力，属于中档题.43.如图，在四面体A8C。中，点与，G，。分别在棱A8,AC,A。上,且平面8cA/平面BCQ,4为A8CD内一点，记三棱锥A-B|G0的体积为丫，设*=了,对于函数V=/(x),则下列结论正确的是/A/DC2A.当x=时，函数/（x）取到最大值2B.函数/（x）在（,1）上是减函数C.函数/（x）的图象关于直线x=，对称2D.不存在%，使得/（与）；匕-bcz）（其中匕de为四面体ABC。的体积）【答案】ABD【分析】由题意可知耳CQsaBCQ,设匕”8=K，则匕，/葩=/（x）=

51、犬（1一幻.利用导数性质求出当x=2时，函数/（X）取到最大值.【详解】在四面体48co中，点用，G，。分别在棱A3，AC，AO上，且平面用GR/平面BCO,由题意可知aBiGRsaBC。，.CR_AD,.Sb1GA_2-X9-A.CDADSmcd.棱锥A-4G。与棱锥A8CO的高之比为1x.设匕_88=%，匕.43=/（0=（1一x）%.fx）=2xV0-3x2VQ,22当r（x）o时,0cx当r（x）o时，x-,332当x=时，函数/（x）取到最大值.故A正确；函数在函数/（X）在（|,1）上是减函数，故3正确；函数/(X)的图像不关于宜线x对称，故C错误；222.24/()=()-(1-

52、)匕-BC0=石Va_bcD,不存在%,使得/(%)：匕一型(其中VA-BCD为四面体ABC。的体枳).故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，利用导数研究几何体体积最值问题，属于中档题三、填空题44.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包下半部分近似一个圆柱、上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥.今制作一座蒙古包，下半部分圆柱的高为2m、上半部分圆锥内部的母线长为3m,当该蒙古包的内部空间最大时，其内部的实际占地面积为【答案】(4/7-2,【分析】设底血圆的半径为，圆锥高为鼠则=,9_尸,户=9一，又V=7rrx2+兀广h=

53、18万2兀lr+37rh兀h,令f(ft)-1812兀片+37rh利用导数得到当=一2时，/(丸)取得最大值，即Y取得最大值，此时产=9-F=4出-2,而内部的土际占地面积为乃产，进而求出结果.【详解】解：设底面圆的半径为r,圆锥高为九，则=,9-产,r2=9一力2，XV=jur2x2+-7ir2h=18万-2%川+3一：加？，令/(/?)=18-利用导数得到当力=近一2时，/()取得最大值，即V取得最大值，此时产=9川=4j72,而内部的实际占地面积为尸，进而求出结果.解：设底面圆的半径为，圆锥高为人，则=59一/，r2=9-/z2(V=71rlx2+7rr2h3=2-(9-/z2)+-(9

54、-h2)h=18万一2兀h，+3万一乃日，3令/()=18兀一2兀h?+37uh-7rY,：.fh)=一兀诔-4兀h+34=一乃(2+4_3)=_(+一71，令/伍)=0得:=近一2或=J7-2(舍去)，又.母线长为3加，当0o,/()单调递增；当-2人3时,/(/?)万-2)=(45一2)万.故答案为：卜近一2)万.【点睛】本题11要考杳了圆柱和圆锥的体枳公式，考查广利用导数研究函数的最值.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=/(x)在小句内所有使(x)=o的点，再计算函数y=./(x)在区间内所有使/(x)=0的点和区间端点处的函数值，最

55、后比较即得.45.已知四面体48c。，点。为其内部一点，满足QA=O3=OC=厉，00=2,当四面体ABC。体积最大时，四面体ABC。外接球的表面积为.【答案】494【分析】已知得点0位于过“BC的外心且垂直于面ABC的直线上,若要四面体的体积则（9、0在平面ABC的同侧，且点。满足平面ABC，设外接球的半价R=|。川，可得yD-ABc4?（15-丁）（2+x）利用导数可得答案.【详解】由。4=0B=0C得，点q位于过aABC的外心且垂直于面ABC的直线上,若要四面体的体积最大，则O、。在平面A8C的同侧，且点。满足0_L平面ABC，如图所示，设外接球的球心O，在平面ABC上的射影为（T,外接

56、球的半径R=|OA|,设OD=2+x,OA=OB=OC=V15-x2因为A、B、。为圆O”上的三点，所以S/ABC43xgx（15一/）x*=（15一二），同所以匕）_abc47（15-x）（2+x）,设尤）=4（15）（2+x），则（x）=-（3x-5）（3+x）易得/（x）在x=g处取得最大值，所以x=|,又QA=|OoT+|aT，所以r2=（?_r）+15一（1）,7解得R=j，所以球的表面积S=41/?2=497.故答案为：497r.【点睛】本题考查J球的内接三棱锥的问题，解题的关键点是求得匕灰：故体枳为x4/xj9-2/=+d9aJ2a6,其中0述.332令/（a）=9a42。6,o

57、a当，贝|）/，（0）=36。312。5=124（34）,若0a。；若6a0在（0,6）I:为增函数，在瓜.1二为减函数，故/（a）nx=/（6）=27,故体积的最大值为4JL故答案为：473【点睛】方法点睛:空间中几何体的面积、体积的最值的计算，需把计算目标表示为某个变量的函数,利用基本不等式、导数等求其最值.47.某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后

58、模具制作完成，则该模其体积的最小值为【分析】设中空圆柱的底面半径为r,圆柱的高为2+人(0%2),把圆柱的体积用含有力的代数式表示，利用导数求其最大值，即可求得模具体积的最小值.【详解】设中空圆柱的底面半径为，圆柱的高为2+(。0，当心(|,2)时，F0.则当=I时，V取得最大值为”，3274(yjr乂毛坯的体积为万xFx2+3%xl3=等,该模具体积的最小值为竽-捺万=等.故答案为:2726tv【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用单变量来表示体积，然后利用导数法求出最值.48.在直三棱柱ABC-AgG中，aABC是等腰直角三角形，且若该三棱柱的外接球半径是2，则三棱锥G-ABC体积的最大值

59、为.【答案】必巨27【分析】根据直三棱柱的性质，结合三棱锥的体枳公式、导数的性质进行求解即可.【详解】如图，由题意可知三棱柱ABC-A与G的外接球的宜径为4G，则AG=4,即AB2+BC2+C,C2=AC,2=16,从而2AB之+C,C2=16.三棱锥P-G-A8C的体积为V=CC=-x-AB2CC=-CC+CC.设/(x)=-+-x(0 x4),则f(x)=+-(0 x0,得c,480 x；3(4733273由f(x)X,故/(X)Wf(X)max=f故答案为：必走27【点睛】关键点睛：运用直二棱柱的性质，结合三棱锥的体积公式，利用导数求最值是解题的关键.49.某企业拟建造一个容器(不计厚度

60、，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为/,22底面半径为r,上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为一乃立方米，假设3该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为.【答案】近【分析】根据已知条件先表示出容器的表面积，然后根据容济的体积，得到/,，.之间的等量关系，由此将表面枳表示为关了半径的函数，利用导数的思想分析出S(r)的最小值，即可求解出建造费用最小时半径r的值.【详解】设容器的表面积为S,所以S=3(4/+2%引+4-2乃/=17vr2+6兀rl,03cq2823non