空间解析几何第三版答案

1、空间解析几何第三版答案【篇一：空间解析几何复习资料含答案】求点 m(a,设 a(?3,证明 a(1,b,c) 分别关于( 1 ) xz 坐标面( 2 ) x 轴( 3 )原点 对称 点的坐标 x,2) 与 b(1,?2,4) 两点间的距离为 29，试求 x 2,3) b(3,1,5) c(2,4,3) 是一个直角三角形的三个顶点设？abc的三边？，？，？，三边的中点依次为 d, e, f,试用向量 表示 ，并证明： ? 已知： a?i?j?2k ， b?3i?j?k 求 2a?3b ， 2a?3b 6. 已知：向量与x 轴， y 轴间的夹角分别为 ?60 ， ?1200 求该向量与z 轴间的夹

2、角?设向量的模是5，它与 x 轴的夹角为0? ，求向量在x 轴上的投影 45) ， c(3,?1,?2) 计算： 2?3 ， 8. 已知：空间中的三点 a(0,?1,2) ， b(?1,?4 设 a?2,设： ?2,0,?1? ， b?1,?2,?2? 试求 a?b ， 2a?5b ，3a?b ?2,1? ，试求与 a 同方向的单位向量设： ?3?5?2 ， ?2?4?7 ， ?5?4 ， ?4?3?试求( 1 )在 y 轴上的投影；(2 )在x 轴和 z 轴上的分向量；( 3证明： (?)?(?)? 设： a?3,?220,?1? ， b?2,?1,3? 求?， (?) ?14. 设a?2i

3、?xj?k ， b?3i?j?2k 且 a?b 求 x设?0,1,?2? ， ?2,?1,1? 求与和都垂直的单位向量0), b(?2,1,3) , c(2,?1,2)求？abc的面积.16.已知：空间中的三点 a(1,1,(1)设/求？(2?1 求?3?5 ,试确定常数k使？k, ?k相互垂直.设向量与互相垂直， (a?c)?3? ， (b?c)? ?6?1?2?3? 设： ?3?5 ， ?2?3 求 a?b设： a?3i?6j?k ， b?i?4j?5k 求( 1 ) a?a ；( 2) (3?2)?(?3) ；( 3 ) a 与 b 的夹角 ?设： (?)?设： a?1,?6 ?1? ?

4、( 1 ) a?b ；( 2) a?b ；( 3) cos(?) ?1,2? ， ?1,?2,1? ，试求： ?3 ?26?72 ，求 a?b 设 a 与 b 相互垂直，?3?4 ，试求( 1 ) (a?b)?(a?b) ；( 2 ) (3a?b)?(a?2b) 设： a?b?c?0 证明： a?b?b?c?c?a已知：求( 1 )(2 )( 3 ) 4 ) ?3?2? ， ?2 ， a?b ；a?i?b (?2)?(2?3) ； (?)?28. 求与 a?2,2,1?b?8,?10,?6? 都垂直 的单位向量已知： a?3,?6,?1? ， b?1,4,?5? ， c?3,?4,12? 求

5、(a?c)b?(a?b)c 在向量上的投影设： a?b?c?d ， a?c?b?d 且 b?c ， a?d 证明 a?d 与 b?c 必共 线设： a?3b 与 7a?5b 垂直， a?4b 与 7a?2b 垂直，求非零向量a与 b 的夹角设： ?2,?3,6?1,2,?2? 向量在向量与?342 ，求向量的坐标33.?4?3 ， （a?b）?34. 求过点 p0（7,过点p0（1,过点m（1,过点a（3,?6求以 ?2 和?3 为边的平行四边形面积 2,?1） ，且以?2,?4,3? 为法向量的平面方程 0,?1） 且平行于平面x?y?3z?5的平面方程 ?3,2） 且垂直于过点 a（2,2

6、,?1） 与 b（3,2,1） 的平面方程 ?1,2） ， b（4,?1,?1） ， c（2,0,2） 的平面方程过点 p0（2,1,1） 且平行于向量?2,1,1? 和?3,?2,3? 的平面方程过点 mo （ 1 ， ?1 ， 1 ）且垂直于平面x?y?z?1?0 及2x?y?z?1?0 的平面方程将平面方程2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距建立下列平面方程（ 1 ）过点（ ?3 ， 1 ， ?2 ）及 z 轴；（2）过点a （?3 ， 1 ， ?2）和 b （3， 0， 5）且平行于 x 轴；（ 3）平行于x y 面，且过点 a （ 3 ， 1 ， ?5

7、）；（4）过点p1 （ 1 ， ?5 ， 1 ）和 p2 （3 ， 2 ， ?2 ）且垂直于 x z 面求下列各对平面间的夹角（ 1 ） 2x?y?z?6 ， x?y?2z?3 ；（ 2 ） 3x?4y?5z?9?0 ，2x?6y?6z?7?0 求下列直线方程（ 1 ）过点（ 2 ， ?1 ， ?3 ）且平行于向量?3 ， ?2 ， 1? ；（2）过点mo（3 ， 4， ?2）且平行 z 轴；（ 3）过点m1 （ 1 ， 2 ， 3）和m2 （ 1 ， 0 ， 4）；（ 4 ）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0 垂直将下列直线方程化为标准方程?x?2y?3z?4?0?x?2y?2?3x?2

8、z?1?0（ 1 ） ? ；（ 2） ? ；（ 3）3x?2y?4z?8?0y?z?4y?z?0?将下列直线方程化成参数式方程?x?6z?1?x?5y?2z?1?0?（ 1 ） ? ；?25 5y?z?2?y?2?0求过点（ 1 ， 1 ， 1 ）且同时平行于平面x?y?2z?1?0 及x?2y?z?1?0 的直线方程x?4y?3z? 的平面方程 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1?48. 求通过两直线与 的平面方程 1?12?12147. 求过点（ 3， 1 ， ?2 ）且通过直线64 求下列各对直线的夹角（ 1 ） x?1yz?4x?6y?2z?3?，；1?2751?1（ 2） ?

9、5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0， ? ?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0?x?7y?z?0 相互平行 ?x?y?z?2?0?x?1yz?1?49. 证明直线 与4?13设直线 lx?1y?3z?4? 求 n 为何值时,直线l 与平面2x?y?z?5?0 平行？ 1?2n作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0 的夹角为设直线 l 在平面 ?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面 ? 的交点，且与直线l1 垂直、求直线l 的方程求过点（ 1 ， 2， 1）而且与直线? 3?y?z?1?0 x?2z?0?x?2y?z?1?0与 ?x?y

10、?z?1?0?2x?y?z?0 平行的平面方程 ?x?y?z?0一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0 的距离，求它的轨迹方程直线 l:?2x?y?1?0 与平面 ?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线 l 与平面 ?3x?z?2?0的交点，若平行，求直线l 与平面 ? 的距离?x?3?4tx?1yz?5?56. 设直线 l 经过两直线l1: ， l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线11与12都？18?3?z?11?10t?垂直，求直线l 的方程已知直线： 11:?x?y?z?1?0?1， 2） 过点 p 作直线 1 与直线 11垂直相交，求直线1 的方程 及点 p（

11、3 ，?2x?y?z?4?0方程： x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径判断方程： x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径?z2?5x60. 将曲线： ? 绕 x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线： ?绕 y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程?z?0说明下列旋转曲面是怎样形成的x2y2z2y22x?z2?2 ；（ 1?10 ；（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ） x2?y2?z2?1 ；（z?a）2?x2?y2 4343指出下列方程在空间中表示什么

12、样的几何图形x2y2z222?1 ?1 ；（ 3 ） z?4x ；（4 ） 4y? （ 1 ） 3x?4y?1 ；（2 ）32322自测题 （a）选择题1 点 m（4,?1,5） 到 x y 坐标面的距离为 （）a 5b 4 c 1d 422 点 a（2,?1,3） 关于 y z 坐标面的对称点坐标（）a （2,?1,?3）b （?2,?1,3）c （2,1,?3） d （?2,1,?3）3 已知向量a?3,5,?1?,b?2,2,2?,c?4,?1,?3? ，则 2a?3b?4c?（）a ?20,0,16?b ?5,4,?20?c ?16,0,?20? d ?20,0,16?4 设向量 ?4

13、?2?4 ， ?6?3?2 ，则 （3?2）（?3）= （）a 20 b ?16c 32 d ?325 已知： a（1,2,3）,b（5,?1,7）,c（1,1,1）,d（3,3,2） ，则 prja 4 b 1 c cd?ab= （） ?1 d 2 26 设 ?2?2? ，则 （?）?（?）? （）a ?i?3j?5k b ?2i?6j?10kc 2?6?10 d 3i?4j?5k7 设平面方程为 x?y?0 ，则其位置（）a 平行于 x 轴 b 平行于 y 轴 c 平行于 z 轴 d 过 z 轴8 平面 x?2y?7z?3?0 与平面 3x?5y?z?1?0 的位置关系（）a 平行 b 垂

14、直 c 相交 d 重合9 直线 x?3y?4z? 与平面 4x?2y?2z?3?0 的位置关系（） ?2?73 a 平行 b 垂直c 斜交d 直线在平面内10 设点 a（0,?1,0） 到直线 ?y?1?0 的距离为（） ?x?2z?7?0 c a 5 b 填空题 1611d 58【篇二：空间解析几何及向量代数测试题及答案】=txt 一、填空题（共7 题， 2 分/空，共20 分）1. 四点 o(0,0,0),a(1,0,0),b(0,1,1),c(0,0,1) 组成的四面体的体积是_?_. 2. 已知向量 a?(1,1,1),b?(1,2,3),c?(0,0,1), 则(a?b)?c=_(-

15、2,-1,0).?x?y3. 点(1,0,1) 到直线 ?的距离是3x?z?0?4. 点 (1,0,2) 到平面 3x?y?2z?1 的距离是. ?x2?y2?z?0 TOC o 1-5 h z 曲线 c:? 对 xoy 坐标面的射影柱面是_x2?x?y2?1?0,?z?x?1对 yoz 坐标面的射影柱面是_(z?1)2?y2?z?0, 对 xoz 坐标面的射影柱面是z?x?1?0.?x2?2y曲线 c:? 绕 x 轴旋转后产生的曲面方程是_x4?4(y2?z2) ，曲线?z?0c 绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是_x2?z2?2y.x2y2z2椭球面 ?1 的体积是 ?.9425二、计算题(

16、共4 题 ,第 1 题 10 分,第 2 题 15 分,第 3 题 20 分, 第 4题 10 分,共 55 分)过点 p(a,b,c) 作 3 个坐标平面的射影点 ,求过这 3 个射影点的平面方程 .这里a,b,c 是 3 个非零实数.解: 设点 p(a,b,c) 在平面 z?0 上的射影点为 m1(a,b,0) ，在平面 x?0 上的射影?点为 m2(0,a,b) ，在平面 y?0 上的射影点为 m3(a,0,c) ，则 m1m2?(?a,0,c) ， ?m1m3?(0,?b,c)x?a ?于是 m1 ， m1m2 ， m1m3 所确定的平面方程是?ay?b0?bzc?0 c即 bc(x?

17、a)?ac(y?b)?abz?0 .?x?y?0?x?y?0已知空间两条直线l1:?,l2:?.z?1?0z?1?0?(1)证明l1 和 l2 是异面直线;(2)求 l1 和 l2 间的距离 ;(3)求公垂线方程证明： (1) l1 的标准方程是v1?1,?1,0 l2 的标准方程是xyz?2? ， l2 经过点 m2(0,0,2) ，方向向量v2?1,1,0 ，于 110 xyz?1? ， l1 经过点 m1(0,0,?1) ，方向向量1?10是003?(m1m2,v1,v2)?1?10?6?0 ，所以 l1 和 l2 是异面直线。110(2) 由于 v1?v2?(0,0,2) ， v1?v

18、2?2l1 和 l2 间的距离 d?(m1m2,v1,v2)v1?v2?6?3 2?xyz?1?1?10?0?2?00(3)公垂线方程是? ，即?xyz?2?110?0?2?00?x?y?0。 ?x?y?0?x2?2y3.求曲线 ?绕 x 轴旋转产生的曲面方面.z?1?x2?2y解：设 m1(x1,y1,z1) 是母线 ?上任意一点 ,则过 m1(x1,y1,z1) 的纬圆方程是?z?1?x2?y2?z2?x12?y12?z12，( 1 ) ?x?x1?0?x12?2y1又 ? ，( 2 )z?1?1由( 1 )( 2)消去x1,y1,z1 得到 x2?2y2?2z2?2?0.x2y2z2已知

19、单叶双曲面?1,p(2,0,0) 为腰椭圆上的点 ,4925求经过点p 两条直母线方程及其夹角 ;求这两条直母线所在的平面? 的方程及平面?与腰椭圆所在平面的夹角 .y?xzw(?)?u(1?)?253解： (1)设单叶双曲面两直母线方程是?与xzy?u(?)?w(1?)?3?25y?xzt(?)?v(1?)?253?v(x?z)?t(1?y)?3?25把点 p(2,0,0) 分别代入上面两方程组，求得 w?u,t?v 代入直母线方程，y?xz?xz?1?1?25?253得到过点 p(2,0,0) 的两条直母线?与 ?x?z?1?y?x?z?1?3?25?25y3，即 y3?15x?10y?6

20、z?30?0与 ?15x?10y?6z?30?0?15x?10y?6z?30?0 ?15x?10y?6z?30?0两直母线的方向向量可分别取v1?(0,3,5) 和 v2?(0,3,?5) ，设两直母线的夹角是? ，则有cos?v1?v2?88， ?arccos. ?17v1v217x?2yz( 2)两直母线所在平面? 的方程是0035?0 ，即 x?2 3?5显然平面?与腰椭圆所在的平面的夹角是0.四、证明题(共 2题 ,第一题10 分,第二题 15 分,共 25 分)tt2t3.求证 : 曲线 r(t)?(,) 在一个球面上,这里的1?t?t21?t?t21?t?t2?t?(?,?).?1

21、1证明 : 设 r(t)?(x,y,z) ，则有 x2?y2?z2?y ，即 x2?(y?)2?z2?24 TOC o 1-5 h z tt2t311(0,0) 所以曲线 r(t)?( 在球心为 ,半径为的球,)221?t?t21?t?t21?t?t2?面上。.证明 :(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.证明 : (1) 双曲抛物面的 u 族直母线中任一条直母线都平行于平面xy?0, abxyv 族直母线中任一条直母线都平行于平面?0,ab因而结论成立.5 分(2)不妨取 u 族直母线来证明，任取u 族直母线中两条直母线?xy?xy?2u

22、1?ab?a?b?2u2和12 : ?11 : ?xyxy?u1(?)?z?u2(?)?z?ab?ab 其中 u1?u2. 由于的第一个方程表示的平面平行于的第一个方程表示的平面, 即 11 和 12 在两个平行平面上 , 因而 11 和 12 不会相交 .uu11112u 又由于直线11 的方向向量为 v1?(,0)?(1,?1,?1)?(?,?1)ababbaabuu11112u直线 12 的方向向量为 v2?(,0)?(2,?2,?1)?(?,?2)ababbaab由于 u1?u2, 因此 l1 和 l2 不会平行 ,从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.【篇三：第八章 空间解析几

23、何答案】=txt8.1 向量及其线性运算1.填空题(1)点 (1,1,1) 关于 xoy 面对称的点为( (1,1,?1) )，关于 yoz 面对称的点为( (?1,1,1) )，关于 xoz 面对称的点为( (1,?1,1) ) .)，关于 y 轴对称的点为( (?2,?1,?2) )，关于 z 轴对称的点为(?2,1,2) )，关于坐标原点对称的点为( (?2,1,?2) ) .2. 已知两点 m1(1,1,1) 和 m2(2,2,1) ，计算向量m1m2 的模、方向余弦和方向角 .解：因为 12?(1,1,0) ，故 |12|?2 ，方向余弦为 cos?22， cos?22， cos?0

24、 ，方向角为?4 ， ?4 ， ?2. 3. 在 yoz 平面上，求与 a(1,1,1) 、 b(2,1,2) 、 c(3,3,3) 等距离的点 . 解：设该点为 (0,y,z) ，则1?(y?1)2?(z?1)2?4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2，即？1?(z?1)2?4?(z?2)2?z?3?4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2，解得 ?y?3 ，则该点为 (0,3,3).求平行于向量a?2i?3j?4k 的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与 a 同向，一个与a 反向 . 因为|a|?22?32?(?4)2?29 ，所以

25、ea?129 (2i?3j?4k).已知点 b(1,?2,6) 且向量在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的投影分别为?4,4,1 ，求点 a 的坐标 .解：设点 a 的坐标为 (x,y,z) ，由题意可知 (1?x,?2?y,6?z)?(?4,4,1)，则 x?5,y?6,z?5 ，即点 a 的坐标为 (5,?6,5).8.2 数量积 向量积 1.若 |a|?3,|b|?4,(a,?b)?3，求 c?3a?2b 的模 .解： |c|2?(3a?2b)?(3a?2b)?3a?3a?2b?3a?3a?2b?2b?2b?9|a|2?12a?b?4|b|2?9?32?12?3?4?cos3?4?42?7

26、3所以 |c|?73.已知 |a?b|?|a?b| ，证明： a?b?0.证明：由 |a?b|?|a?b| ，可得 |a?b|2?|a?b|2 ，可知(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)，展开可得|a|2?|b|2?2a?b?|a|2?|b|2?2a?b ，即 4a?b?0 ，故 a?b?0.已知 a?(1,2,4) ， b?(3,?3,3) ，求 a 与 b 的夹角及 a 在 b 上的投影 .解： a?b?1?3?2?(?3)?4?3?9，cos?9?4?16?9?9?9?7， ?arccos77. 因为 a?b?|b|prj9ba ，所以 prjba?33?3.5.8.3 曲面及

27、其方程1.填空题( 1 )将 xoz 坐标面上的抛物线z2?4x 绕 x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为( z2?y2?4x )，绕 z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为( z2?4x2?y2).( 2)以点(2,?3,2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为( (x?2)2?(y?3)2?(z?2)2?17) .( 3 )将xoy 坐标面的圆 x2?y2?4 绕 x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为( x2?y2?z2?4 ) .2.求与点 a(1,2,1) 与点 b(1,0,2) 之比为 1:2 的动点的轨迹，并注明它是什么曲面 .解：设动点为 p(x,y,z) ，由于 |p

28、a|:|pb|?1:2 ，所以 2(x?1)2?(y?2)2?(z?1)2?(x?1)2?(y?0)2?(z?2)2 ，解之，可得3x2?3y2?3z2?6x?16y?4z?19?0，即(x?1)2?(y?83)2?(z?23)2?209 ，所以所求的动点的轨迹为以点(1,8225为心，半径为 3的球面 . 3 8.4 空间曲线及其方程1. 填空题( 1 )二元一次方程组?y?2x?1在平面解析几何中表示的图形是(两相?y?4x?3交直线的交点 (2,5) )；它在空间解析几何中表示的图形是(两平面的交线，平行于 z 轴且过点 (2,5,0) ) .( 2 )旋转抛物面z?x2?y2(0?z?

29、2) 在 xoy 面上的投影为( ?z?x2?y2?2)，在 xoz 面上的投影为( x2?z?2 )，在 yoz 面上的投?z 影为(y2?z?2 ) .2. 求球面x2?y2?z2?4 与平面 x?z?1 的交线在 xoy 面上的投影方程.解：将 z?1?x 代入 x2?y2?z2?4 ，得 x2?y2?(1?x)2?4 ，因此投影 方程为 ?z?0?2x2?2x?y2?3. 224. 分别求母线平行于x 轴、 y 轴及 z 轴且通过曲线？x?2y?z2?4?x2?y2?2z2?0的柱面方程.解：在 ?x2?2y2?z2?4?x?y?2z?0 x 得 3y2?z22 中消去 ?4 ，即为母

30、线平行于x 轴?22 TOC o 1-5 h z 且通过曲线的柱面方程.在?x2?2y2?z2?4?x2?y2?2z2?0中消去 y 得 3x2?5z2?4 ，即为母线平行于 y 轴且通过曲线的柱面方程.在?x2?2y2?z2?422?x2?y2?2z2?0中消去 z 得 x?5y?8 ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4. 将下列曲线的一般方程化为参数方程：( 1 ) ?(x?1)2?y2?z2?4?x?1.?y 解：将 y?x?1 代入 (x?1)2?y2?z2?4 得 2(x?1)2?z2?4 ，即 (x?1)2z2(2)2?4?1. 令 x?1?2cos? ， z?2sin?

31、 ，所求的参数方程为 ?x?1?2cos?y?2cos?. ?z?2sin?. 8.5 平面及其方程1. 填空题(1)一平面过点 (1,1,?4) 且平行于向量a?(2,1,?1) 和 b?(1,0,1) ，平面的点法式方程为( (x?1)?3(y?1)?(z?4)?0) ,平面的一般方程为( x?3y?z?2?0 ) ,平面的截距式方程(xy2?z2?1 ) ,平面的3?2一个单位法向量为(11(1,?3,1) ) . (2)设直线 l 的方程为 ?a1x?b1y?c1z?d1?0 ?a2 x?b2y?c ，当(d1?d2?0 )2z?d2?0 时，直线 l 过原点；当( a1?a2?0 )且( d1?0 或 d2?0 有一个成立)时，直线