多元函数极值以及其求法

1、关于多元函数的极值及其求法第一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义第二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1例例(3)(2)(1)第三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月2、多元函数取得极值的条件证第四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月第五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：第六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月第七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月第八张，PPT共二十三页，

2、创作于2022年6月例4 求函数的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点第九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月因此，驻点因此，驻点第十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。第十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值第十二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月

3、解令第十三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.第十四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果问题的实质：求 在条件 下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法第十五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月条件极值：对自变量有附加条件的极值第十六张，PPT共二十三页，创作于

4、2022年6月求解方程组解出 x, y, z, t 即得可能极值点的坐标.第十七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月解则例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .则问题就是条件求函数的最大值.令下，第十八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月则令即由(2), (1)及(3), (2)得第十九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月由(2), (1)及(3), (2)得于是，代入条件，得解得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，第二十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月解则由 (1)，(2) 得由 (1)，(3) 得第二十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月将 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故