抛物线的定义及应用

1、高中数学：抛物线的定义及应用角度1利用抛物线的定义求解距离问题(2016 浙江卷)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是9.解析：设M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点歹(1,0).根据抛物线的 定义得|MF|=x0 + 1 = 10,.x0 = 9,即点M到y轴的距离为9.【条件探究1】将本典例条件变为“在抛物线上找一点M,使|M| + |MF|最小，其中A(3,2)” .求M点坐标及此时的最小值.解：如图，点A在抛物线y2=4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA| + |MF| = |MA| + |MH|,其中|MH为点M到抛物线的准线的距离.过A作抛物线准线的垂

2、线交抛物线于M垂足为B,贝 |M4| + |MF| = |M4| + |MH|N|AB| = 4,当且仅当点M在昭的位置时等号成立.此时M1点的坐标为(1,2).【条件探究2】将本典例条件变为“在抛物线上有一动点M到 y轴的距离为q,到直线l： x-y+5 = 0的距离为q”，求d+d2的 最小值.解：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点M到y轴的距离d1 = |MF|-1,所以 d1+d2=d2 + |MF-1.易知d2 + MF的最小值为点F到直线I的距离，故d2 + MF的最小值为1+512 + (1)2=3所以d1+d2的最小值为3气吃一1.典例角度2焦点弦问题已知抛物线y2 =

3、2px(p0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A, B两点，且AF = 4FB, O为坐标原点，若 AOB的面积为8，则p=1.解析：易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为, o,准线为xP2，不妨设点A在x轴上方，如图，过A、B作准线的垂线AA, BB,垂足分别为A, B,过点B作BHLAA，交AA于H,A1则BB = A H,设FB = t,则AF = AA =4t,.AH = AA A H = 3t,3又AB = 5t,.在 RtABH 中，cosZHAB=5,4.tan/HAB=3,则可得直线AB的方程为y=-7 由y=3一,ly2=2px,得 8x2 17px+2p2 = 0,设

4、 A(x1，y1), B(x2, y2)，m125则 |AB| =x1+x2+ p=p + p=p，p42 易知点O到直线AB的距离为d=|QF|sin/A刀8=3乂5=乎.1 2525p2 5SA4OB=2X 8p X5p=T=8，p2 = 1 , 又 p0,.p=1.方法技巧1.抛物线定义的应用策略利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦 点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点，看 到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径.2 ,焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设 出直线与抛物线两交点的坐标，根据

5、抛物线的方程正确表示出焦点弦 长，再利用已知条件求解./跟踪训练1(1)已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，|AF|+ |B曰=3，则线段AB的中点D到y轴的距离为(C )A.C.B. 1D.2解析：因为抛物线2=X的准线方程为X=-；.如图所示，过点A, B, D分别作直线x=一；的垂线，垂足分别 为 G, E, M,因为 |AF| + |BF|=3,根据抛物线的定义，|AG| = |AF|, |BE| = |BF|,所以 |AG| + |BE| = 3,所以|MD| =|BE| + |AG|232,315所以线段AB的中点到 轴的距离为24=4.(2)已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C： (x+1)2 + (y5)2=1 上，则|M + MF|的最小值是 5 .解析：依题意，由点M向抛物线x2=4y的准线l： y= 1引垂 线，垂足为叫(图略)，则有|M4| + |MF| = |MA| + |