探索一门新兴的学科—多姿多彩的分形几何学

1、探索一门新兴的学科 多姿多彩的分形几何学 可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。 美国著名物理学家惠勒（ Wheeler ）问 题 的 提 出 你知道人脑表面的皱纹、菜花纹路可以用数学来刻画吗？ 你知道各大江主支流的状况可以用数学来刻画吗？ 你知道演绎了旷世恋情的泰坦尼克号电影中那条豪华游轮在危难时的“ 海浪背景 ” 是如何生成的吗？ 你知道维数可以是分数吗？ 认 识 分 形 如果你从未听说过 “ 分形 ” ，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的方法：去市场买一颗新鲜的菜花（花椰菜），掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形！ 分形可以是自然存在的，也

2、可以是人造的：花椰菜、树木山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。再想想闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、各种生物体的表面、小肠绒毛、大脑皮层等等的形状、结构！分形 ( fractal ) 分形几何理论诞生于 20 世纪 70 年代，创始人是美国科学院院士、著名数学家曼德尔布罗特（ B. B. Mandelbrot )，他 1982 年出版的自然界中的分形几何学 ( The Fractal Geometry of Nature ) 是这一学科经典之作。 分形 ( fractal ) 是近 20 多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念。 混

3、沌 ( chaos )、孤立子( solitons )和分形 ( fractals )是非线性科学 ( nonlinear science ) 中三个最重要的概念。报 告 提 纲一、从研究 “英国的海岸线有多长”所引发的问题二、分形几何学发展的历史回顾 1. 对几类分形集的认识 2. 对长度、面积等度量概念的重新探索 3. 分形几何学的创立三、分形概念的建立 1. 对产生分形实际背景的分析 2. 分形的直观描述四、分形维数 1. 经典的拓扑维数 2. 由维数与测量尺度的密切关系而得到的启示 3. 自相似维数与豪斯道夫维数 4. 计算分形维数的典型例子 5. 分形的描述性定义五、分形在当代社会中

4、的应用 1. 在一些学科方面的应用举例 2. 一些分形维数的实际例子 3. 两个有趣的应用实例 4. 分形的计算机编程实现六、结束语 1. 分形几何学与欧几里得几何学的比较 2. 陈省身的观点 3. 分形几何学发展的意义和作用 4. 多姿多彩的分形几何学火焰 一、从研究“英国的海岸线有多长”所引发的问题 1967 年曼德尔布罗特在 科学 上发表了题为英国的海岸线有多长?统计自相似性与分数维数的著名论文。 此文的原由在于曼德尔布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，往往是大国公布的公共边界线短，而小国公布的公共边界线长。 原因在于边界线是一条复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度就

5、越长。 二、分形几何学发展的历史回顾 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支, 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础是分形几何学。 分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。 第一阶段：对几类分形集的认识 自 1875 年至 1925 年 , 人们已认识到几类典型的分形集 , 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。 自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：一种是有特征长度的图形；另一种是不具特征长度的图形。属于具有一定特征长度的一类物体的基本形状，具有其

6、线、面为光滑的共同性质。 1827 年发现的布朗（ R. Brown ）运动是一种极为典型的随机分形集，其轨迹连续但处处不可微。维尔斯特拉斯函数 1872年，德国分析学大师魏尔斯特拉斯(K. Weierstrass)构造出函数 证明了它连续而处处不可微。这一反例在当时引起了极大的震动。遗憾的是，尽管人们在观念上产生了改变，但仍视这种类型的函数为“病态”之例而打入另册。实例一 康托三分集 记 是单位长直线段 0，1 ； 设 是去掉 中间的 1/3 部分所得到的集，即 ； 然后从构成 的 2 个子区间中分别去掉中间的 1/3 部分，所得的 4 个子区间构成 ，即 ； 如此继续下去， 是从构成 的每

7、个区间中分别去掉中间的 1/3 部分而得到的长度为 的 个子区间之并集； 当 充分大时， 与 之间只在精细的细节上不同； 康托三分集是指由所有 的公共点构成的集，即 ， C 实际上是集序列 当 n 趋于无穷时的极限。图 1 康托三分集前四步的构造 实例二 科赫曲线 设 K0 是单位长直线段； K1 是由过原三等分这线段，去掉中间一份而代之以底边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所得到图形，它包 含边长为 1/3 的四条线段； 对 K1 的每条线段都重复上述过程来构造 K2 ，它包含边长为 的16条线段； 如此继续下去，于是得到一个曲线序列Kn，其中 Kn 是将 Kn-1 的每条线段上

8、中间1/3部分用底边为这1/3部分的等边三角形向上指的另外两边取代而得到的； 当 n 充分大时，曲线 Kn 和 Kn-1 只在精细的细节上不同；而当 n 时，曲线序列 Kn 的极限 就称为科赫曲线。图 2 三分法科赫曲线前五步的构造K0K1K2K3K4K5实例三 科赫雪片 若将 K0 换成单位长度的等边三角形，对每边按上述方法构造科赫曲线，便得到讨人喜欢的科赫雪片，如图 3 所示。图 3 科赫雪片前三步的构造实例四 皮亚诺曲线 皮亚诺（peano）于 1890 年构造出填充平面的曲线。 这一曲线出现后，人们提出应正确考虑以往的长度与面积的概念。 皮亚诺曲线以及其他的例子导致了后来拓扑维数的引入

9、。 第二阶段： 对长度、面积等度量单位概念的重新探索 在 1926 年到 1975 年这半个世纪里，人们对分形集的性质进行了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。 贝西康维奇 ( Besicovitch ) 及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质，以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。 问题的关键一个几何对象的量度依赖于测量方式以及在测量时所选取的尺度。 经济学上的一个实际背景 1960 年 ， 曼德尔布罗特在对棉花价格数据随 60 年时间变化的曲线进行分析时，通过在数学上对这批数据进行计算机处理，发现

10、了惊人的结果：价格的每一次特定的变化是随机的，但长期的变化又是与时间尺度无关的，反映在价格的日变曲线与月变化曲线完全一致；甚至在经历两次世界大战和一次经济大萧条的60年动荡岁月中，价格这种变化的规律保持不变。大量无序的数据里竟然存在着一种出乎意料的有序！第三阶段：分形几何学的创立 自 1975 年至今是分形几何学创立并形成独立学科，分形几何在各个领域的应用取得全面进展的阶段。 1967 年，曼德尔布罗特在国际权威杂志美国科学上发表了题为 “英国的海岸线有多长？”的研究论文，震动了整个学术界，分形的概念开始萌芽生长。 1973 年，在法兰西学院讲学期间，他提出了创立分形几何学的思想，认为分形几何

11、学可以处理自然界中那些极不规则的构型，指出分形几何学将成为研究许多物理现象、自然现象的有力工具。分形 “ fractal ” 一词的由来 1975 年冬天的一个下午，曼德尔布罗特翻看儿子的拉丁文词典，突然受到启发：(破坏)（不规则的）（断裂）（分数）（既是名词，又是形容词； 既是英文，又是法文）“ 分形 ” 一词的命名 70年代末 fractal 传到中国，一时难以定译。 中科院物理所李荫远院士说：“ fractal应当译成分形。” 郝柏林、张恭庆、朱照宣等院士表示赞同，于是在中国大陆，fractal 被定译 “分形” 。 如今台湾还译 “碎形” ，显然不如 “分形” 好。 分形的特点是，整体

12、与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。“ 分形 ” 之译，的确抓住了 fractal 的本质科学本质、哲学本质和艺术本质。“ 分形 ” 一词的命名 中国传统文化中关于 “分” 与 “形” 有丰富的论述，想必李荫远院士极为熟悉。李院士是物理学名词审定委员会三名顾问之一。 宋明理学关于 “理” ( “理念” 或者 “太极” )与 “万物” 、整体与部分、一般与具体的关系的思想吸收了佛家观念，特别是华严宗和禅宗的观念。 李荫远的译名实在是于平凡处见功力，如 李善兰(1811-1882)译 “微分” (differentiation)、“积分” (integration)； 王竹溪(191

13、1-1983)译 “湍流” (turbulence )、 “逾渗” (perculation)和 “运输” (transportation)。曼德尔布罗特的历史贡献 1975 年曼德尔布罗特用法文出版了奠基性专著分形对象:形状、机遇与维数(Les objets fractals: forme, hasard et dimension)，1977 年出版了此书的英译本 Fractals: Form, Chance and Dimension ，第一次系统地阐述了分形集合的思想、内容意义和方法。 1982 年又出版了此书的增补本，改名为自然界中的分形几何学。 这两部著作的发表，标志着分形几何学迈进

14、了现代新兴学科之林，激发起了国际科学界的极大兴趣。 曼德尔布罗特经过长期艰苦努力所获得的巨大成就，致使他赢得了崇高的荣誉。一个有趣的故事 20 世纪 70 年代末曼德尔布罗特所著分形：形状、机遇和维数的英文版Fractals:Form,Chance and Dimension在北京中关村一带的地摊上便可见到数十部，当时北京大学力学系黄永念教授和朱照宣教授每人买了一部，据说只花了几元钱。那时，国际、国内科学界基本上不知道分形是怎么回事。 十多年后，当分形理论被科学界认同而热起来时，在世界上再去寻找这部原版名著，已经是几乎不可能的事了。三、分形概念的建立 康托集 C 是自相似的，迭代过程中每步所保

15、留的两个部分与整体的相似比例均为 1/3 ； C 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征； C 是无穷次迭代的结果，连续的迭代过程可得到C之越来越好的近似 Cn ； C 难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集； C 是无限不可数集，但其长度为康托集 C 的特性1. 对产生分形实际背景的分析科赫曲线 K 的特性 科赫曲线 K 是自相似的，迭代过程中每次所得到的四个部分与整体的相似比例均为1/3 ； K 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征； K 是无穷次迭代的结果，连续迭代过程可得到K之越来越好的近似 Kn； K 难

16、以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集； K的长度为 , 而面积为 0 。科赫雪片 E 的面积 波兰著名数学家谢尔平斯基（）在 1915 - 1916 年期间构造了几个典型的分形例子， 这些有趣的图形常分别称为谢尔平斯基垫片、 谢尔平斯基毯片与谢尔平斯基海绵。谢尔平斯基垫片、毯片与海绵图 4 谢尔平斯基垫片前五步的构造的放大图 5 谢尔平斯基毯片前四步的构造图 6 谢尔平斯基海绵第一步的构造图 7 谢尔平斯基海绵 2.分形的直观描述 曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不具有特征长度几何图形进行分析、综合的基础上，提炼出 “ 在尺度变换下保

17、持不变性 ” （即 “ 无标度性 ” ）这一要素，于 1986 年给出分形概念以如下的直观描述： 分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）。自相似性在数学计算上的应用举例例 1 由解得即类似地，由解得即例 2 记熟知这是一个收敛的几何级数。注意到解得即分析：x 包含它自身的一个分数部分，即例 3 由连分数得解之，得取正解，因此得所给的连分数四、分形维数 维数是几何对象的一个重要特征。欧几里得：“ 曲面有两个量度，曲线有一个量度，点连一个量度也没有。” 这里的

18、量度即为后来人们所说的欧几里得维数。 随着数学本身的发展，人们将维数定义为确定几何对象中一个点的位置需要的独立坐标的个数。 点是 0 维的，直线是 1 维的，正方形是 2 维的，立方体是 3 维的。1. 经典的拓扑维数 对于更抽象或更复杂的几何形体，只要它的每个局部可以和欧几里得空间相对应，并且图形在连续形变下保持维数不变，这样的维数叫做拓扑维数。如此： 由于空间中一条规则的曲线经连续形变可变为直线，故其拓扑维数是 1 ； 由于空间中一个规则的曲面经连续形变可变为正方形，故它的拓扑维数是 2 ； 由于空间中一个规则的立体经连续形变可变为正方体，所以其维数是 3 。 集合的拓扑维数始终是一个整数

19、。 当我们测量几何图形的长度、面积和体积时，分别用单位长线段、单位面积正方形和单位体积正方体来度量。若用单位长线段来测量面积，而用单位面积正方形来测量体积，其结果皆为无穷，说明所用的尺度太“细”；反之，若用单位面积正方形来测量长度，用单位体积正方体来测量面积，则所得的结果皆为 0，说明所用的尺度太“粗”。因此，选取的尺度必须与所测对象相匹配。2.由维数与测量尺度的密切关系而得的启示 对于分形这类复杂奇异的的几何对象，上述拓扑维数已无法作为刻画他们的特征量了。事实上： 对于康托三分集 C ，由于所以在测量它时，0 维尺度太细，而 1维尺度太粗； 对于科赫曲线 K ，由于 所以在测量它时，1 维尺

20、度太细，而 2 维尺度太粗； 对于谢尔平斯基垫片和谢尔平斯基毯片，情况也是如此； 对于谢尔平斯基海绵 S ，可以算得 所以在测量它时，2 维尺度太细，而 3 维尺度太粗。 显然，当 “ 长度 ”、“ 面积 ”、“ 体积 ” 为 0 或 + 时，使用价值不大，只有几何对象的 “ 长度 ”、“ 面积 ”、“ 体积 ” 为有限数时，才能比较集合的大小。 能否将 ， ， ， 中的 0，1，2，3 用分数甚至无理数 来代替，使得 从而用 来表示 F 的度量呢？ 经过艰苦的努力，他获得了成功。 按照曼德尔布罗特的思想，可以视前述的 C，K，S 分别是一个介于 0 维与 1 维 ，1 维与 2 维，2 维与

21、 3 维之间的几何对象。曼德尔布罗特的创新思维3.自相似维数与豪斯道夫维数 由于分形集的复杂奇异性，对于不同的测量对象需用不同的测量方法。关于分形维数，已有多种定义和计算方法，包括较易理解的自相似维数、容量维数、信息维数、盒子维数等和深奥的豪斯道夫维数等，用不同方法计算出的分形维数值稍有不同。这里只介绍自相似维数概念的建立和计算的方法。 假设一个图形的一边具有长度 L，对应的第二个自相似图形的边具有长度 ,则定义自 相 似 维 数为第二个图形对第一个图形的相似比（或比例因子）。 为定义自相似维数，先来考察整数维情形下维数、两个自相似对象的测度与相似比之间的关系，如图 8 图 10 所示（图示中

22、的 p = 1/3）。图 8 1 维情形下维数与相似比关系示意图 在二维面积情形，若记 A ,a 分别为原图形与对应 的第二个自相似图形的面积， 则有31 在一维长度情形，有图 9 2 维情形下维数与相似比关系示意图3311 在三维体积情形，若记 V,v 分别为原图形与对应的第二个自相似图形的体积，则有333111图 10 3 维情形下维数与相似比关系示意图 一般地，对于一个 维的自相似几何对象 F，若每个独立方向都缩小到原来的 1/r ，则相似比（或比例因子）为 1/r 的两个自相似对象的测度 M 与 m 之间应满足 于是得 进而若记 它表示相示比为 1/r 时每次迭代所得到的相似形的个数，

23、则 称之为分形 F 的自相似维数。豪 斯 道 夫 维 数 分形的自相似维数 一般是分数，而分形的嵌入空间即欧几里得空间的维数 d 一般小于 其实，德国数学家豪斯道夫（）1919年就提出了连续空间的概念，也就是空间维数不是跃变的，而是可以连续变化的，既可以是整数，也可以是分数，通过具体计算来确定。他对分形维数的严格数学定义被人们称之为豪斯道夫维数。数学家已经证明，在一定条件下，自相似维数与豪斯道夫维数相等，而这种条件通常是满足的，所以一般搞应用的科技工作者就称自相似维数为豪斯道夫维数。集合的Hausdorff测度与Hausdorff维数 设 为如下定义的测度函数集合：显然，对于易证它是一个外测度

24、，称之为 Hausdorff 测度。定义今记可证存在唯一的值，记之为 使得于是可定义 E 的 Hausdorff 维数为集合的填充（packing）测度与填充（packing）维数设 为测度函数集合。记可以证明它不具有可数次可加性，故仅仅是一个预测度。S.T.Taylor 于 1985 年采用Munroe方法，定义packing测度如下：又记可证存在唯一的值，记之为 使得于是可定义 E 的填充（packing)维数为开 集 条 件 设（ X, d ）为一度量空间，D 是X的闭子集。考虑映射 “ S：D X ”。 （1）如果则称 S 为 D 上的压缩映射;（2）如果则称 S 为 D 上的相似映射

25、。显然，相似映射把原集变成几何相似集。 可以证明，对于一族压缩比为 的相似压缩映射 存在唯一的不变集 E ，使得此时称 E 为自相似集。 设 是 上的压缩映射,若存在开集 使得则称压缩映射族 满足开集条件，也称该压缩映射族的不变集 E 满足开集条件。可以证明： 设 s 为 E 的自相似维数， 其中 的压缩比为 如果 E 满足开集条件，则 E 的自相似维数等于其 Hausdorff 维数，即4. 计算分形维数的典型例子 下面通过一些例典型子来说明如何计算分形的自相似维数。 例 1 由于康托三分集 C 每次迭代是由 2 个相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为 例 2 由于科赫曲线 K

26、 是由每次把各条边长缩小 1/3 时的 4 个相似形构成的，所以其自相似维数为 例 3 对于谢尔平斯基垫片 E ，由于每次迭代是由 3 个相似比为 1/2 的相似形构成的，故其自相似维数为 例 4 对于谢尔平斯基毯片 F ，由于每次迭是由 8 个 相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为 例 5 对于谢尔平斯基海绵 S ，由于每次迭代是由 20 个 相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为5. 分形的描述性定义 英国数学家法尔科内（K. J. Falconer）认为具有如下典型性质的集合 F 为分形: （1）F 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征； （2）F

27、 是如此的不规则，以致于它的局部和整体都不能用传统的几何语言来描述； （3）F 通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计意义上的； （4）一般地，F 以某种方式定义的 “ 分形维数 ” 大于它的拓扑维数； （5）在大多数令人感兴趣的情形下，F 以非常简单的方法定义，可能由递归迭代产生。五、分形在当代社会中的应用1.在一些学科方面的应用举例 在生命科学的研究中，科学家发现，生物体的增大主要是由于细胞数目的增多在细胞一分为二的分裂过程中，所产生的子细胞在结构和功能上都与原来的母细胞是一致的，多细胞生物体的细胞数目与生物体的大小成比例。就人类而言，一个婴儿约有 个细胞，一个成人约有 个细胞。由

28、此可见，细胞的分裂正是生物体分形的基础。 生命是蛋白质的存在形式，生命的新陈代谢和自我复制是以蛋白质的辅助为基础的。由于蛋白质在生命过程中其着异乎寻常的作用，所以自 19 世纪以来，人们对蛋白质的研究始终没有停止。蛋白质是由各种 -氨基酸通过酰胺键联成的长链分子，称为肽链。蛋白质由 4 级层次构成，其表面极不规则，布满各种空洞和缝隙。近几年来的研究表明，蛋白质的分子链和表面具有分形特征，这就为揭开生命之谜提供了新的思维方法 中医治病的疗效为世人所公认，但无论是生物学、生理学还是物理学，都未能对中医的治病原理作出满意的解释，而分形理论则从人体分形着手进行分析，得出令人耳目一新的结论。以针灸为例，

29、根据生物分形原理，穴位是人体某一部分在分形元上的反映，一个穴位群则是人体的缩影，是一个分形元。例如头、足、鼻和舌等都是分形元，是人体的缩影。美国医生斯克德（U. Schjelderup）也发现这种人体分形现象，他指出，人体的器官和功能会在某一部位的体表上反映出来，整个机体好像被缩小到这一部位上。可见当人体的某一器官或部位有病时，就必然要在相应的穴位上表现出来，在穴位上产生对痛刺激敏感、皮肤电阻降低等病理生理反映。因此，对特定的穴位施加刺激，如针灸或按摩等疗法，就会产生治疗效果。这就是中医治病的病理分形性。 在实际工程问题中，如石油开采，一口井开采到一定程度后由于地下油压降低，最终导致无法继续产

30、油。技术人员采取向地下灌水的方法以增大压力，继续出油。但是关于注水量、水压与继续产油量之间的因果关系，传统的理论未能做出合理的解释，而利用分形理论进行研究则有可能大幅度地增产石油。 在化学中高分子化学是重要的研究方向，工业生产部门已形成庞大的高分子产业，造福人类，美化生活。高分子化学生产中，对凝胶形成的机理、凝胶点的确定、凝胶生成的控制，成为高分子学家研究的重要课题。但化学和物理学均未能在理论上满意地解决问题，而分形理论则为化学家深化对高分子的认识提供了有力的工具。随着凝胶化问题的解决，必将进一步推进高分子工业的更大发展。 物理学家们发现，产生美妙音乐的机理是 1/f 噪声（这里 f 为频率）

31、，它受到分形原理的支配。可以预料，随着分形音乐研究的深入，更为美妙动听且更能激发共鸣的音乐作品将不断涌现。2.一些分形维数的实际结果 以下用 表示分形维数，即前面所述的自相似维数或豪斯道夫维数。 曼德尔布罗斯经过研究计算出，英国西海岸线的 澳大利亚海岸线的 南非海岸线的 西班牙与葡萄牙国界线的 日本名古屋大学分形研究会测定出世界各大江河主流的 在之间；若再将支流考虑进去，测得亚马逊河整条河流的 而沙漠中尼罗河整条河流的 。该结果定量地刻画出多雨地区的河其支流多，少雨地区的河其支流少的状况。 数学家已计算出，不论是在平面上还是在空间中，布朗运动运动轨迹的 都是 2 。 在矿业应用方面，中国工程院

32、院士谢和平教授将分形理论应用于岩石损伤力学的研究，提出了岩石损伤的分形模型及演化机理。经研究发现，在某一平面上，岩石破碎过程的 为 而作为立体考虑，其 为 （注意，这里 与 正分别是谢尔平斯基垫片与谢尔平斯基海绵的 值）。 加拿大科学家在1986年测定出爱滋病病毒的 天文学家测定出宇宙中船帆星云的 科学家过研究，测定出人肺泡的 人脑表面皱纹的 为 人视网膜血管的 而鸡胚胎发育中血管的 国外科学家还测定出了蛋白质分子链的 。我国科学家计算出了化学中的一些高分子链的 以及若干种酶模型的 。 将分形应用于经济学，曼德尔布罗特测定出美国60年的棉花价格随时间变化的 国际上一些学者对证券价格随时间的变化

33、和利率随时间的变化进行深入研究，得出了相应的分形维数的结果。 将分形应用于情报学与语言学，一些学者计算出了有关的具体分形维数。 这些实例足以说明分形有强大的生命力，它对于人们认识自然界和人类社会中某些现象的真实面貌是一个有力的数学工具。3.两个有趣的应用实例 分形的理论及其应用受到多方面重视是理所当然的，因为分形现象在自然界和人类社会活动中广泛存在，从已经发表论文所涉及到的领域就可以清楚地看到其应用遍及哲学、数学、物理学、化学、生物学、冶金学、材料科学、计算机科学、地理学、地质学、水文学、气象学、天文学、地震科学、人口学、情报学、经济学、管理科学，甚至在电影、音乐、美术、书法等领域也得到应用。

34、 近 10 多年来，国外许多大公司组织了大批科学家致力于分形的应用研究，取得了一批富有价值的成果，突出的例子是根据分形原理合成了保温性能最佳的人造羽绒。 分形在影视事业中也大有发展前途。20 世纪 80 年代初，弗尔（）将分形图形推向好莱坞影视业，致使分形在电影特技制作上大显身手，用于创作出效果奇佳的地球、宇宙中某特定地域、空间的“实景”（如电影泰坦尼克号中那 条在拍摄时放在人工挖掘成大水塘中的豪华游轮的 “ 海浪背景 ” ）或人世间从未 有过的绚丽多彩、奇妙无比的景象。4.分形的计算机编程实现 值得指出的是，由于分形通常是以非常简单的递归方式经无穷次迭代而生成的，因此各种分形可以借助微型电子

35、计算机编制一定的程序来实现。分形的这种微机图形显示进一步帮助人们推开了分形艺术宫殿的大门，在这座具有无穷层次结构的大殿的每个角落，都存在着无限嵌套的迷宫和令人神往的奇景，分形正以其无穷的魅力吸引着越来越多的各个领域的学者们。分形理论是一门横断学科 分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、 社会学等等，无不闪现着分形的身影。 分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响；从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。 学 术 性 刊 物 1991年英国创办

36、国际学术性刊物混沌、孤立子和分形(Chaos,Solitons and Fractals )。 目前，混沌、分形、小波、时空离散系统、斑图、自组织系统仍然是非线性科学研究的重点 ,而其中的分形与其他方面都有着密切的联系。分 形 艺 术 上世纪80年代初，弗尔聂( A. Fournier)将分形图形推向好莱坞影视业，主要影片有： 星际旅行之二：可罕之怒； 最后的星球斗士。 1988年，纽约时报记者格莱克所著混沌：开创新科学一书出版，很畅销。 1990年英国成立了一家利用混沌-分形理论生产并出售计算机艺术品的商店。分形艺术图片三维谢尔平斯基塔的自相似结构 洛伦次曲线四方内生树分形龙 曼德尔布罗特集

37、图 曼德尔布罗特集图 曼德尔布罗特集图曼德尔布罗特集逐步放大图 曼德尔布罗特集逐步放大图 曼德尔布罗特集逐步放大图 曼德尔布罗特集“峡谷地带”放大图 广义曼德尔布罗特集许绍元发表论文代表作. New fixed point theorems for 1-set-contractive operators in Banach spaces. Nonlinear Anal., 2007, 67: 938-944 (SCI收录). Shaoyuan Xu (许绍元), Baoguo Jia, Guo-zhen Li. Fixed points for weakly inward mappings i

38、n Banach spaces. J. Math. Anal. Appl., 2006, 319: 863-873. Shaoyuan Xu (许绍元), Connecting Hausdorff Measure，Upper Convex Density or -a.e. covering. J. Math. Anal. Appl., 2005, 311(1): 324-337(SCI收录). Shaoyuan Xu (许绍元), Baoguo Jia. Fixed-point Theorems ofconcave- convex mixed monotone operators and ap

39、plications. J. Math. Anal. Appl., 2004, 295(2): 645-657(SCI收录). Guo-Zhen Li and Shaoyuan Xu (许绍元), Fixed point theorems of 1-set contractive operators in Banach spaces. Applied Mathematics Letters, 2006, 19: 403-412(SCI收录). 许绍元，曾超益，朱传喜. 凹-凸混合单调算子的不动点存在唯一性及其应用. 数学学报, 2005, 48(6): 1055-1064. 许绍元,周作领.

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