《创新设计》数学（文）江苏专用一轮复习导学案 导数及其应用 含答案

1、第1讲导数的概念及其运算考试要求1.导数概念及其实际背景，A级要求；2.导数的几何意义，B级要求；3.根据导数定义求函数yc，yx，yeq f(1,x)，yx2，yx3，yeq r(x)的导数，A级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B级要求； 知 识 梳 理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值eq f(y,x)eq f(f(x0 x)f(x0),x)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)

2、几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)称函数f(x) eq f(f(xx)f(x),x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)eq f(1,xln a)f(x)ln xf(x)eq f(1, x)3.导数的运算法则(1)

3、f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)eq blcrc(avs4alco1(f(f(x),g(x)eq f(f(x)g(x)f(x)g(x),g(x)2)(g(x)0)诊 断 自 测1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(3)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(4)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t2.( )2(2015镇江调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为_解析yln x的定义域

4、为(0，)，且yeq f(1,x)，设切点为(x0，ln x0)，则y|xx0eq f(1,x0)，切线方程为yln x0eq f(1,x0)(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为eq f(1,e).答案eq f(1,e)3(苏教版选修11P82T4改编)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值等于_解析依题意知，y3x2a，则eq blcrc (avs4alco1(13ab3,312ak，,k13，)由此解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3，,k2，)所以2ab1.答案14设函数f(x)在(0，)内可导，

5、且f(ex)xex，则f(1)_.解析设ext，则xln t(t0)，f(t)ln tt，f(t)eq f(1,t)1，f(1)2.答案25(2014江西卷)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析令f (x)xln x，则f (x)ln x1，设P(x0，y0)，则f (x0)ln x012，x0e，此时y0 x0ln x0eln ee，点P的坐标为(e，e)答案(e，e)考点一利用定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f(x)x3的导数解yf(xx)f(x)(xx)3x3x33x(x)23x2x(x)3x3x3x23xx(x)2，eq f(y,x)

6、3x23xx(x)2，f(x) eq f(y,x) 3x23xx(x)23x2.规律方法定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量yf(xx)f(x)二比：求平均变化率eq f(y,x)eq f(f(xx)f(x),x).三极限：取极限，得导数yf(x)eq f(y,x).【训练1】 函数yxeq f(1,x)在x，xx上的平均变化率eq f(y,x)_；该函数在x1处的导数是_答案1eq f(1,x(xx)0考点二导数的计算【例2】分别求下列函数的导数：(1)(2015苏州调研)已知f (x)eq f(1,2)x22xf (2 014)2 014ln x，则f (2 014)_.解析由

7、题意得f (x)x2f (2 014)eq f(2 014,x)，所以f (2 014)2 0142f (2 014)eq f(2 014,2 014)，即f (2 014)(2 0141)2 015.答案2 015(2)分别求下列函数的导数：yexcos x；yxeq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,x)f(1,x3)；yxsin eq f(x,2)cos eq f(x,2)；yeq f(ln x,ex)解y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin x.yx31eq f(1,x2)，y3x2eq f(2,x3).yxsin eq f(x,2)cos eq

8、f(x,2)xeq f(1,2)sin x，yeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)sin x)1eq f(1,2)cos x.yeq lnf( xexexln x,ex2)eq f(f(1,x)exexln x,ex2)eq f(f(1,x)ln x,ex)eq f(1xln x,xex).规律方法求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量【训练2】 分别求下列函数的导数：(1)yeq f(1,1r(x)eq f(1,1r(x)；(2

9、)ysin2eq f(x,2)；(3)y(x1)(x2)(x3)解(1)yeq f(1,1r(x)eq f(1,1r(x)eq f(2,1x)，yeq f(02(1x),(1x)2)eq f(2,(1x)2).(2)ysin2eq f(x,2)eq f(1,2)(1cos x)，yeq f(1,2)(cos x)eq f(1,2)(sin x)eq f(1,2)sin x.(3)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2

10、x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.考点三导数的几何意义【例3】 (2013北京卷改编)已知曲线C：yeq f(ln x,x).(1)求曲线C在点(1,0)处的切线l1的方程；(2)求过原点与曲线C相切的直线l2的方程解设f(x)eq f(ln x,x)，则f(x)eq f(1ln x,x2).(1)f(1)eq f(1ln 1,12)1，即切线l1的斜率k1.由l1过点(1,0)，得l1的方程为yx1.(2)设l2与曲线C切于点Peq blc(rc)(avs4alco1(x0，f(ln x0,x0)，则切线l2方程为yeq f(ln x0,x0)eq f(1ln x0,xoal(

11、2,0)(xx0)，l2过原点eq f(ln x0,x0)eq f(1ln x0,xoal(2,0)(x0)，化简得ln x0eq f(1,2)，x0eq r(e)，l2：yeq f(1,2r(e)eq f(1,2e)(xeq r(e)，整理得yeq f(1,2e)x.即为l2的方程.规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线方程是yf (x0)f (x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解【训练3】 (1)(2015南京调研)曲线yxsin x在点(0,0)处的切线方程是_(2)

12、(2015惠州调研)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的切线方程为yax16，则实数a的值是_解析(1)yxsin x，y1cos x，当x0时，y1cos 02，故曲线yxsin x在点(0,0)处的切线方程是y02(x0)，即2xy0.(2)先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0 xeq oal(3,0)3x0上求导数得到切线的斜率kf(x0)3xeq oal(2,0)3，又切线l过点A、M两点，所以keq f(y016,x0)，则3xeq oal(2,0)3eq f(y016,x0)联立、可解得x02，y02，从而实数a的值为akeq f(216,

13、2)9.答案(1)2xy0(2)9思想方法1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值，即f(x)在xx0处的函数值(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 易错防范1利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)nxn1与指数函数的求导公式(ax)axln x混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包

14、括了前者3曲线与直线相切并不一定只有一个公共点例如，yx3在(1,1)处的切线l与yx3的图象还有一个交点(2，8).基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014苏北四市模拟)曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为_解析根据导数运算法则可得yexxex2(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线斜率为y|x0123.故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即3xy10. 答案3xy102(2015苏、锡、常、镇四市调研)直线ykx与曲线y2ex相切，则实数k_.解析设直线ykx与曲线y2ex相切的切点坐标为(x0,2ex0)，且y2ex，则

15、切线方程为y2ex02ex0(xx0)，切线经过坐标原点，代入点(0,0)，解得x01，则实数k2ex02e.答案2e3已知函数f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)cos xsin x，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值为_解析f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin xcos x，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin eq f(,4)cos eq f(,4)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)1，feq

16、 blc(rc)(avs4alco1(f(,4)(eq r(2)1)cos eq f(,4)sin eq f(,4)1.答案14已知曲线yeq f(1,4)x23ln x的一条切线的斜率为eq f(1,2)，则切点横坐标为_解析设切点坐标为(x0，y0)(x00)，yeq f(1,2)xeq f(3,x)，y|xx0eq f(1,2)x0eq f(3,x0)eq f(1,2)，即xeq oal(2,0)x060，解得x02或3(舍)答案25(2014江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2eq f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，

17、则ab的值是_解析yax2eq f(b,x)的导数为y2axeq f(b,x2)，直线7x2y30的斜率为eq f(7,2).由题意得eq blcrc (avs4alco1(4af(b,2)5，,4af(b,4)f(7,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b2，)则ab3.答案36.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析如图可知，f(5)3，f(5)1，因此f(5)f(5)2.答案27(2015扬州调研)若函数f(x)eq f(1,2)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析f(x)eq f(1,2)x2

18、axln x，f(x)xaeq f(1,x).f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xeq f(1,x)a0有解，axeq f(1,x)2(x0)答案2，)8已知f 1(x)sin xcos x，f n1(x)是f n(x)的导函数，即f 2(x)f 1(x)，f 3(x)f 2(x)，f n1(x)f n(x)，nN*，则f 2 015(x)_.解析f 1(x)sin xcos x，f 2(x)f 1(x)cos xsin x，f 3(x)f 2(x)sin xcos x，f 4(x)f 3(x)cos xsin x，f 5(x)f 4(x)sin xcos x，f n(x)是以4

19、为周期的函数，f 2 015(x)f 3(x)sin xcos x，故选A.答案sin xcos x二、解答题9已知曲线yeq f(1,3)x3eq f(4,3).(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程解(1)P(2,4)在曲线yeq f(1,3)x3eq f(4,3)上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yeq f(1,3)x3eq f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq blc(rc)(avs4alco1(x0，f(1,3)xoal(3,0)

20、f(4,3)，则切线的斜率为y|xx0 xeq oal(2,0).切线方程为yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xoal(3,0)f(4,3)xeq oal(2,0)(xx0)，即yxeq oal(2,0)xeq f(2,3)xeq oal(3,0)eq f(4,3).点P(2,4)在切线上，42xeq oal(2,0)eq f(2,3)xeq oal(3,0)eq f(4,3)，即xeq oal(3,0)3xeq oal(2,0)40，xeq oal(3,0)xeq oal(2,0)4xeq oal(2,0)40，xeq oal(2,0)(x01)4(x01)(x01)0

21、，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.10设抛物线C: yx2eq f(9,2)x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xeq oal(2,1)eq f(9,2)x14，代入得xeq oal(2,1)eq blc(rc)(avs4alco1(kf(9,2)x140.P为切点，eq blc(rc)(avs4alco1(kf(9,2)2160得keq f(17,2)或keq f(1,2).当keq f(17,2

22、)时，x12，y117.当keq f(1,2)时，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率keq f(1,2).(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得x2eq f(13,2)x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x29，x2eq f(9,2)，y24.Q点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，4).能力提升题组(建议用时：25分钟)1已知点P在曲线yeq f(4,ex1)上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_解析yeq f(4ex,(ex1)2)eq f(4ex,e2x2ex1).设tex(0，)，则yeq f(4t,t22t1

23、)eq f(4,blc(rc)(avs4alco1(tf(1,t)2)，teq f(1,t)2，y1,0)，eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，).答案eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)2(2014武汉中学月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为_解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1eq f(1,n1)eq f(n,n1)，即xneq f

24、(n,n1)，x1x2x2 015eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(2 014,2 015)eq f(2 015,2 016)eq f(1,2 016)，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.答案13已知f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(0)_.解析令g(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(x)xg(x)，f(x)g(x)xg(x)f(0)g(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.答案1204设函数f(x)axeq f(b,x)，曲线yf(x)在

25、点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yeq f(7,4)x3，当x2时，yeq f(1,2).又f(x)aeq f(b,x2)，于是eq blcrc (avs4alco1(2af(b,2)f(1,2)，,af(b,4)f(7,4)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3.)故f(x)xeq f(3,x).(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1eq f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程

26、为yy0eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,xoal(2,0)(xx0)，即yeq blc(rc)(avs4alco1(x0f(3,x0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,xoal(2,0)(xx0)令x0，得yeq f(6,x0)，从而得切线与直线x0的交点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(6,x0).令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线在点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为Seq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(6,x0)|2x0|6.故

27、曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第2讲导数在研究函数中的应用考试要求1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求；3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；4.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求知 识 梳 理1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，

28、则f(x)在这个区间内单调递增(2)若f(x)0，右侧f(x)0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫做函数的极大值极小值函数yf(x)在点x0处连续且f(x0)0，若在点x0附近左侧f(x)0，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫做函数的极小值3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值诊 断 自 测1思考

29、辨析(在括号中打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()2.(2015北京海淀区模拟)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_解析f(x)2xeq f(2,x)eq f(2(x1)(x1),x)(x0)当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为递减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)为递增函数答案(0,1)3(苏教版选修22P34T8(2)改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解

30、析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.答案24如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为_解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号左负右正答案15(2014新课标全国卷改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_解析依题意得f(x)keq f(1,x)0在(1，)上恒成立，即keq f(1,x)在(1，)上恒成立，x1，0eq f(1,x)1，k1.答案1，)考点一利用导数研究函数单调性【例1】 已知f(x)ln xax

31、.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1,2)上单调递减，求实数a的范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)eq f(1,x)a.当a0时，x0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令f(x)0，得xeq f(1,a)(0，)，当xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)时，f(x)0；当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)时，f(x)0.故f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)上单调递增；在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)上单调递减综上：当a0时，f(x)在(0

32、，)上单调递增；当a0时，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)上单调递增；在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)上单调递减(2)法一f(x)在(1,2)上为减函数，由(1)知a0，且(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，).故eq blcrc (avs4alco1(a0，,f(1,a)1，)a1.法二f(x)在(1,2)上单调递减，f(x)eq f(1,x)a0在(1,2)上恒成立，即aeq f(1,x)在(1,2)上恒成立，x(1,2)时，eq f(1,x)1，a1，即a的范围为1，)规律方法(1)利用导数研究

33、函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到【训练1】 (2014山东卷)设函数f(x)aln xeq f(x1,x1)，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)由题意知a0时，f(x)eq f(x1,x1)，此时f(x)eq f(2,(x1)2).可得f(1)eq f(1,2)，又f(1)0，所以曲线yf(

34、x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)eq f(a,x)eq f(2,(x1)2)eq f(ax2(2a2)xa,x(x1)2).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当aeq f(1,2)时，0，f(x)eq f(f(1,2)(x1)2,x(x1)2)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当aeq f(1,2)时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当eq f(1,2)a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零

35、点，则x1eq f(a1)r(2a1),a)，x2eq f(a1)r(2a1),a).由x1eq f(a1r(2a1),a)eq f(r(a22a1)r(2a1),a)0，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当aeq f(1,2)时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当eq f(1,2)a0时，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a1)r(2a1),a)，eq

36、blc(rc)(avs4alco1(f(a1)r(2a1),a)，)上单调递减，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1)r(2a1),a)，f(a1)r(2a1),a)上单调递增考点二利用导数求函数的极值【例2】 (2014重庆卷)已知函数f (x)eq f(x,4)eq f(a,x)ln xeq f(3,2)，其中aR，且曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线垂直于直线yeq f(1,2)x.(1)求a的值；(2)求函数f (x)的单调区间与极值解(1)对f (x)求导得f (x)eq f(1,4)eq f(a,x2)eq f(1,x)，由f (x)在点(1，f (1)处

37、的切线垂直于直线yeq f(1,2)x，知f (1)eq f(3,4)a2，解得aeq f(5,4).(2)由(1)知f (x)eq f(x,4)eq f(5,4x)ln xeq f(3,2)，则f (x)eq f(x24x5,4x2).令f (x)0，解得x1或x5.因为x1不在f (x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f (x)0，故f (x)在(0,5)内为减函数；当x(5，)时，f (x)0，故f (x)在(5，)内为增函数由此知函数f (x)在x5时取得极小值f (5)ln 5.规律方法(1)可导函数yf (x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与

38、右侧f (x)的符号不同(2)若函数yf (x)在区间(a，b)内有极值，那么yf (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值【训练2】 设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围解由题得f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0,1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)3x24x1.令f(x)0，解得xeq f(1,3)或x1；令f(x)0，解得eq f(1,3)x1.所以函数在eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,3)和(1，)上单调递增，在eq blc

39、(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1)上单调递减，极小值是f(1)13212111.(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f(x)0或f(x)0恒成立当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得aeq f(4,3).综上，a的取值范围为eq blcrc)(avs4alco1(f(4,3)，).考点三利用导数求函数的最值【例3】 (2014江西卷)已知函数f(x)(4x24axa2)eq r(x)，其中a0.(1)当a4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1,

40、4上的最小值为8，求a的值解(1)当a4时，由f(x)eq f(2(5x2)(x2),r(x)0得xeq f(2,5)或x2，由f(x) 0得xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2,5)或x(2，)，故函数f(x)的单调递增区间为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2,5)和(2，) (2)f(x)eq f(10 xa)(2xa),2r(x)，a0，由f(x)0得xeq f(a,10)或xeq f(a,2).当xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,10)时，f(x)单调递增；当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,10)，f(a,2

41、)时，f(x)单调递减；当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，)时，f(x)单调递增易知f(x)(2xa)2eq r(x)0，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)0.深度思考对于第(2)小问，已知函数f (x)在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？(先求f (x)的最值再解方程求参数)当eq f(a,2)1，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a2eq r(2)2，均不符合题意当1eq f(a,2)4，即8a2时，f(x)在1,4上的最小值为feq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)0

42、，不符合题意当eq f(a,2)4，即a8时，f(x)在1,4上的最小值可能在x1或x4处取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意综上，a10.规律方法(1)不含参数求f(x)在a，b上的最值时，只需把f(x)的极值与端点函数值进行比较其中最大的是最大值，最小的是最小值(2)含参数时，应注意讨论f(x)在相应区间上的单调性，进而求最值【训练3】 已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由题意知f(x)(x

43、k1)ex.令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k2

44、时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.思想方法1最值与极值的区别与联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有2求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按一定标准讨论参数3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可

45、，不必再与端点的函数值比较易错防范1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1函数yeq f(1,2)x2ln x的单调递减区间为_解析f(x)eq f(1,2)x2ln x的定义域为(0，)，f(x)xeq f(1,x)eq f(x21,x)，令f(x)

46、0，得x1，令f(x)0，得0 x1，所以f(x)的递增区间是(1，)，递减区间是(0,1)答案(0,1)2(2015扬州模拟)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.解析由题意得f(x)3x26axb，则eq blcrc (avs4alco1(a23ab10，,b6a30，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3)或eq blcrc (avs4alco1(a2，,b9，)经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.答案73f(x)x312x，x3,3的最大值为_，最小值为_解析f(x)3x2123(x2)(x2

47、)，令f(x)0，得x2，f(3)9，f(3)9，f(2)16，f(2)16，f(x)最大值为16，最小值为16.答案16164设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex1.答案(，1)5(2013福建卷改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是_(填序号)xR，f(x)f(x0)；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点解析错，因为极大值未必是最大值；错，因为函数yf(x)与函

48、数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点；正确，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点答案6(2015成都诊断)已知函数f(x)x2eq f(a,x)(x0，aR)在区间2，)上是增函数，则实数a的取值范围为_解析由已知可得f(x)2xeq f(a,x2)，要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需当x2时，f(x)0恒成立，即2xeq f(a,x2)0，则a2x3恒成立，又当x2时，2x316，故当a16时，f(x)在区间2，)上是增函数答案(，167已知函数

49、f(x)xsin x，xR，则f(4)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)的大小关系为_(用“”连接)解析f(x)sin xxcos x，当xeq blcrc(avs4alco1(f(5,4)，f(4,3)时，sin x0，cos x0，f(x)sin xxcos x0，则函数f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(5,4)，f(4,3)上为减函数，eq f(5,4)4eq f(4,3)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)f(4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(

50、5,4)，又函数f(x)为偶函数，feq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)f(4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4).答案feq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)f(4)0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1eq f(1r(43a),3)，x2eq f(1r(43a),3)，x1x2.所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在

51、(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，所以f(x)在xx2eq f(1r(43a),3)处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第3讲导数的综合应用考试要求1.利用导数研究函

52、数的单调性、极(最)值，解决与之有关的方程(不等式)问题，B级要求；2.利用导数解决某些简单的实际问题，B级要求知 识 梳 理1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3不等式的证明与不等式恒成立问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题诊 断 自 测1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)连续函数在闭区间上必有最值()(2)f

53、(x)xsin x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上有3个零点()(3)对R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有f(0)f(2)2f(1)()(4)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定()2若函数 f (x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析由于函数f (x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f (x)3x23，令3x230，得x1，只需f (1)f (1)0，即(a2)(a2)0，故a(2,2)答案(2,2)3设直线xt，与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最

54、小时t的值为_解析当xt时，f(t)t2，g(t)ln t，yMNt2ln t(t0)y2teq f(1,t)eq f(2t21,t)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(tf(r(2),2)blc(rc)(avs4alco1(tf(r(2),2),t).当0teq f(r(2),2)时，y0；当teq f(r(2),2)时，y0.yMNt2ln t在teq f(r(2),2)时有最小值答案eq f(r(2),2)4若f(x)eq f(ln x,x)，0ab0，即f(x)0，f(x)在(0，e)上为增函数，又0abe，f(a)f(b)答案f(a)f(b)5(苏教版选修22P35例1改

55、编)从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160 x，y12x2104x160.令y0，得x2或eq f(20,3)(舍去)，ymax6122144 (cm3)答案144考点一利用导数解决不等式问题【例1】 (2014南京、盐城模拟)已知函数f(x)eq f(axb,x)ex，a，bR，且a0.(1)若a2，b1，求函数f(x)的极值；(2)设g(x)a(x1)exf(x)当a1时，对任意x(0，)，都有g(x

56、)1成立，求b的最大值；设g(x)为g(x)的导函数，若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求eq f(b,a)的取值范围解(1)当a2，b1时，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,x)ex，定义域为(，0)(0，)所以f(x)eq f(x1)(2x1),x2)ex.令f(x)0，得x11，x2eq f(1,2)，列表如下：x(，1)1(1,0)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)f(x)00f(x)极大值极小值由表知f(x)的极大值是f(1)e1，f(x)的极小值是f e

57、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4eq r(e).(2)因为g(x)(axa)exf(x)eq blc(rc)(avs4alco1(axf(b,x)2a)ex，当a1时，g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(b,x)2)ex.因为g(x)1在x(0，)上恒成立，所以bx22xeq f(x,ex)在x(0，)上恒成立记h(x)x22xeq f(x,ex)(x0)，则h(x)eq f(x1)(2ex1),ex).当0 x1时，h(x)0，h(x)在(0,1)上是减函数；当x1时，h(x)0，h(x)在(1，)上是增函数所以h(x)minh(1)1e1.所以b的

58、最大值为1e1.因为g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(axf(b,x)2a)ex，所以g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,x2)axf(b,x)a)ex.由g(x)g(x)0得eq blc(rc)(avs4alco1(axf(b,x)2a)exeq blc(rc)(avs4alco1(f(b,x2)axf(b,x)a)ex0，整理得2ax33ax22bxb0.存在x1，使g(x)g(x)0成立，等价于存在x1,2ax33ax22bxb0成立因为a0，所以eq f(b,a)eq f(2x33x2,2x1).设u(x)eq f(2x33x2,2x1)(x1)，

59、则u(x)eq f(8xblcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(3,4)2f(3,16),(2x1)2).因为x1，u(x)0恒成立，所以u(x)在(1，)上是增函数，所以u(x)u(1)1，所以eq f(b,a)1，即eq f(b,a)的取值范围为(1，).规律方法“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值

60、特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错【训练1】 (2014新课标全国卷)设函数f(x)aln xeq f(1a,2)x2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)eq f(a,a1)，求a的取值范围解(1)f(x)eq f(a,x)(1a)xb.由题设知f(1)0，解得b1.(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)aln xeq f(1a,2)x2x，f(x)eq f(a,x)(1a)x1eq f(1a,x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,1a) (x1)若aeq f(1,2)，则eq