傅里叶变换的基本概念及基本定理（基础教育）

1、快速抢答！sinc(x)d (x-1) =tri(x)d (x + 0.5) =sinc(x)*d (x-1) =tri(x) * d (x + 0.5) =0sinc(x-1)1x2010.5 d (x + 0.5)1x0-110.5-0.5tri(x + 0.5)0-0.510.5-1.5x1课堂用恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论.第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.2课堂用满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数:展开系数

2、零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开1、三角傅里叶级数展开3课堂用三角傅里叶展开的例子前3项的和周期为t =1的方波函数anfn频谱图 0131/22/p-2/3p4课堂用三角傅里叶展开的例子练习 1-15：求函数f(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数5课堂用三角傅里叶展开的例子练习 0-15：求函数g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数周期 t =1宽度 =1/2频率 f0 =1采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。6课堂用二维傅里叶变换 指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期

3、t,可以在(-,+ )展为指数傅里叶级数:展开系数零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。7课堂用二维傅里叶变换 指数傅里叶级数思考题利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系：8课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:展开系数Cn频率为n/t的分量n级谐波频率:n/t相邻频率间隔: 1/t9课堂用 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换非周期函

4、数可以看作周期为无限大的周期函数:由于t 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和积分展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn10课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 写成两部分对称的形式:这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换11课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F

5、(fx,fy)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或 f(x,y) F(fx,fy)F.T.f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2pfx)12课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对记作: f(x,y)= -1F(fx,fy). 显然 -1 f(x,y)= f(x,y) 综合可写: f(x,y) F(fx,fy)F.T.F.T.-1x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同的

6、范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.13课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续)描述了各频率分量的相对幅值和相移.x, y, fx , fy 均为实变量，F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)振幅谱位相谱F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数14课堂用傅里叶变换作为分解式 由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式为 的基元 这种基元函数具有下述性质： (1)代表传播方向为 的单位振幅的平面波.(2)当 时, 表示零位相线,其与x轴的夹角函数的线性组合，其频谱 只不过是一个权重因子。15课堂用

7、(3)引入了空间频率的概念. 沿等位相线法线方向: 综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意义是：物函数f(x,y)可以看成是无数振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)，方向不同(cos=fx， cos=fy )的平面波线性叠加的结果。此即傅里叶分解。16课堂用图1-5-1 函数 ei2(fxx+fyy) 的零位相直线族 17课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T

8、.可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 则 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 18课堂用根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) t 则 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.rect( )思考题:利用 rect(x)=sinc(f)计算重要推论: rect(x) =sinc(fx)19课堂用例1：求 解:计算过程分为三个步

9、骤：显然有： (1)选择适当的函数序列 例如 (1-5-6)20课堂用(3)求极限: 上式就是符号函数的广义傅里叶变换.(1-5-7)(2)求变换:21课堂用例2：求 解:(1)选择适当的函数序列例如选取显然有： (2)求变换(1-5-8)22课堂用令 并利用积分公式; 容易求得: (3)求极限 : 由上式取极限最后得到 23课堂用二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T. 依F.T.定义: 极坐标变换24课堂用令: 则在极坐标中:则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：1-7 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变

10、换25课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变换,记为G(r) = g(r), g(r) = -1G(r) 当 f 具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,q) = g (r). 依F.T.定义: 利用贝塞尔函数关系26课堂用二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义: 是圆对称函数作变量替换, 令r =2prr, 并利用:27课堂用将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换)

11、, 然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.注意: 并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.例: rect (x) (实、偶) sinc(fx) (实、偶) F.T.但是, rect (x-1) (实、非偶) 复函数 F.T.二维傅里叶变换2-D Fourier Transform三. 虚、实、奇、偶函数的 F.T.28课堂用二、 F.T.定理 - F.T.的基本性质1. 线性定理 Linearity 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.2. 空间缩放 Scaling (

12、相似性定理）ag(x,y)+b h(x,y)=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)F.T.是线性变换 29课堂用二、 F.T.定理 空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax) a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域压缩F.T.F.T.频域扩展30课堂用二、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2p(fxa+fyb) 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T.频率位移:原函数在空

13、间域的相移,导致频谱的位移.g(x,y) expj2p(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由1= d (fx,fy)expj2p(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)复指函数的F.T.是移位的d 函数31课堂用二、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率) 设 g(x,y) G(fx,fy),

14、 F.T.Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒32课堂用二、 F.T.定理 - Parseval定理的证明交换积分顺序,先对x求积分:利用复指函数的F.T.利用d 函数的筛选性质思考题:33课堂用二、 F.T.定理 5. 卷积定理空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中两个函数的乘积, 其F