多自由度系统近似计算方法

1、在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特 征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。本章介绍邓克 利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对 系统的振动特性作近似计算。1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的， 便于作为系统基频的计算公式 。自由振动作用力方程：nM X KX =0X 二 R4n n左乘柔度矩阵F = K -，位移方程：FM X X = 0定义D=FM为系统的动力矩阵：dx X =0作用力方程的特征值问题：K 0二2M 0位移方程的特征值问题：D 0 = 0特征值

2、：；：， 八 n关系： i = 1 / ，：位移方程的最大特征根：，对应着系统的第一阶固有频率。位移方程的特征方程：D AJ =0展开：（一1）n （丸n + at T 亠 + a n 山1 + a n） = 0ai 二-（dii - d22 dnn）二-tr D例：dii 丸 d i2=0d 2id 22 九2 2(-i) #(dii d22) (diid22 di2d2i) =0当M为对角阵时：ntr D = tr (FM ) = f ii mii 9特征方程又可:写为:(-52)（人九）=0n有：ai =i 二-trD =n-乞 fH mii Ti dnzni 二、fii min“ni二

3、2 八fi mi 3i iii =如果只保留第i个质量，所得的单自由度系统的固有频率为:mi fn mi例：两自由度系统2K2丄1k11柔度矩阵：Fk1苫1k11 1 +k(1)只保留ml时f111k12-1k1mt(2)只保留m2f 221 _k1 k 21k12m21 12 - 一22 2i - 1 - 2- n对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：1+ 一n21 1 1-& - + - +2 2 2-1 - 1 - 2例：三自由度系统0m采用常规方法，固有频率:=0.3730 . k /m，1 .3213，3 二 2.0286 . k /

4、 m邓克利法 当m1单独存在时:2-1m2单独存在时:k12k1 - k2222二 k2 / mm3单独存在时:1k123丄丄丄k1k2k352k2k 2 kk123， 355m代入邓克利法公式:.11 = 0.3535 _ k / m2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法， 可用于计算系统的基频，算出的近 似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大 致范围。n自由度保守系统:M X KX =0 XW Rn主振动 :X=0 sin( ,t !)动能与势能:TV X KX2最大值：TmaxTVmax讪 K 2 K T max = V max 得 R (0 )T

5、M 对于第i阶模态：-2成为瑞利商。R(0 )当为一般向量时(不是实际模态) Z K (i)20 M 0，总能展开为n个正则模态的线性组合:代入瑞利商:TTTnna n K n aa A a222R( )T T-Taj- .j aja n M naa laj 4可以证明：12和-2分别为瑞利商的极小值和极大值，即：空R(n=a0 r - a 2 謬+ Sn0 八 3j N二 N aj d其中N二 0(1) 0(2) N O N ,(n) N a a1 , a2 ,anT分析：若将瑞利商右端分子内的所有 换为1，由于是最低阶固有频率,因此：nnR()八 a2； v a2 12 j吐/g由瑞利商公

6、式知，当：=0确为第一阶模态时，有：R(;J 。 因此，瑞利商的极小值为，同理可证明，瑞利商的极大值为- 如果接近第k阶真实模态，=0 (k)，比起ak ,其它系数很小a j = ak， j =1,2,，n, j = k ，： 1代入，得：R（）：臥亠二 C，j -，k）；j例如 k = 1 , aj 二胪1，j =2,nR（;：）二2 2 2a1亠a2亠-亠an2 2 2 2 2 2 2 2 a1 1 亠 r.2a1 ，2 亠.亠 J a1 ，n约去ai2-1分子上加减2 2，1 亠二2 *，22 2 2 2 亠二3 *，1 亠 亠 3n ，1 )(22 丄 22 丄丄221一(棗4 +昴

7、+ En )2+务)2222221 (1 亠。亠亠订)亠二;.i 0 M - 1 ) 1因此，若与0 E的差异为一阶小量,则瑞利商与的差别为二阶小量。对于基频的特殊情况，令k = 1,贝U由于，2 _ M2 . 0（ j = 2 n）瑞利商在基频处取极小值。利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限，愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。例题：接上例-=0.3730 . k / m，采用邓克利法，基频：=0.3535 . k / m取在2m质量上施加力P所产生的“静变形曲线”作为近似的第一阶主振型， 即：即=1,2,2.5T代入瑞利商公式：R （釣=0.142857 ，1 =0

8、.3780与精确值相比，相对误差1.34%。m m3、里茨法里兹法是瑞利法的改进，用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态，瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主 振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限，里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降。里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合: a? n(2)F-( j) E A(i) _ r n同= aj n nA , n - Rj 4代入瑞利商:(2) n(r):rTr ： ：1,A=，a?,ar R xTA KA2T 一 A M

9、AT,m =： n m nRr r由于R在系统中的真实主振型处取驻值，所以A的各个元素应当从下式确定:-0,(j ,2；ajr)。代入:2 TOC o 1-5 h z (A KA) - ( A MA )=0,(jaa iCtCt, t(A KA) =( A) KA A K ( .:a i；:a iCT T 2( A) KA =2ej KA, (j =1,2,，r) :a其中ej是r阶单位矩阵的第j列。上面r个方程可合成为：(atka )=2 KAA表示将函数分别对A的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量空。cAa同理，有： 一 (A T MA)=2 M AcA两项代入得：(K -2M)a =o

10、由于K、M的阶数r 一般远小于系统自由度数 n，上式所示的矩阵特征值 问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多，因此里兹法实际上是一种缩 减系统自由度求解固有振动的近似方法，K、M就是自由度缩减为r的新系统的刚度矩阵和质量矩阵。可求出r个特征根 ，一22,，r2，及相应的特征向量AA (2)，A(r)， 原来系统的前r阶固有频率可近似取为：2“j2, (j=1,2,.,r)，相应的前r 阶主振型近似取为：;：(j nA (j), (j=1,2,.,r)。正交性分析川门 m（j） = a（i）T nTm n a二 a（i）T Ma=o当 i = j即：A（i）T A（j）=0, A（i）T

11、Ka（j）=0因此：得出的近似主振型式关于矩阵M和K相互正交。例题：接前例采用常规方法，固有频率:r = 0.3730 . k / m，- ,2 =1.3213 , k / m，3 二 2.0286 . k / m采用邓克利法，基频：=0.3 5 3 5 k/m，采用瑞利法，基频：=0.378 Qk/m。将假设的振型取为I 1 n = n（1） n（2 = 223 -1 缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵：k= n Tk n =-4kTT23m- m |1，M 二 n Mn20 k-m 7m4 7一0 -2 m 20 -7:，一0k4k|-4k特征值问题：4-23 :I | -4 -:-宀= 0.139853 ，:- 2 = 2.860147 ，A-4.927547 ,1， A-1_ 0.018449 ,1 T固有频率: