添加辅助线巧化梯形

1、添加辅助线巧化梯形【关键词】梯形辅助线转化初中数学新课标要求学生能够证明和解答一些几何问题。但几何图形变化无穷、复杂多变，给学生带来不少的困扰。有时因为一条辅助线没有作好而功亏一篑；有时也会因为作好一条辅助线而使问题简单化，达到四两拨千斤的效果。人教版初中数学八年级梯形这一节内容，教材内容比较少，图形既空又杂，因此，作好辅助线是学好梯形的关键。下面笔者从教学实践中谈谈如何在梯形中作辅助线：首先我们来看看梯形常见的几种辅助线的作法（见下表）：一、平移，构平行四边形和三角形1平移一腰例1如图1所示，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=10,AD=4,BC=15.求CD的取值范围。【评注】在梯形当中

2、作平行于一腰的直线可以把梯形转化为学生熟知的平行四边形和三角形，通过平行四边形的性质、三角形三边的关系及直角三角形锐角三角函数和勾股定理就可以求解。2.平移两腰例3如图3所示，在梯形ABCD中，AD/BC，/B+/C=90,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点，连接EF,求EF的长。【分析】过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，得到RtAGEH，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出EF。解：过点E分别作EG/AB、EH/CD，交BC于点G、H，可得/EGH+/EHG=/B+/C=90GEH是直角三角形TE、F分别是AD、BC的中点AE=DE,BF=CFtEG/

3、AB、EH/CD,AD/BC四边形ABGE和四边形EHCD是平行四边形【评注】作平行于两腰的直线可以充分利用梯形两个底角互余的关系，构出直角三角形，利用在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半则可求解。3平移对角线例4如图4所示，在梯形ABCD中，AD/BC，对角线AC丄BD，且AC=5cm,BD=12cm，求梯形中位线的长。【分析】过点C作CF/BD交AB的延长线于点F,可知四边形DBFC是平行四边形，这样两底的和就等于AF,只需在RtACF中求出斜边AF，梯形的中位线就等于它的一半。解：过点C作CF/BD交AB的延长线于点F【评注】作平行于一条对角线的直线可以把上底+下底转化成同一条线段，

4、利用勾股定理可以求出该线段，即两底的和，再用梯形的中位线等于它的一半即可求解。二、延长，延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形例5如图5所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC,判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论。【分析】延长AD、BC相交于点E,可得两个等腰三角形，利用三角形内角和及等腰三角形的性质两个底角相等”，推出/EDC=ZEAB，进一步推出DC/AB，就可证明。解：四边形ABCD是等腰梯形证明：延长AD、BC相交于点EvAC=BD,AD=BC,AB=BADABCBA/DAB=ZCBAEA=EBvAD=BCDE=CE,ZEDC=ZECD而/E+/EAB+

5、/EBA=ZE+/EDC+/ECD=180/EDC=ZEABDC/ABvAD不平行于BC四边形ABCD是等腰梯形。【评注】延长两腰相交于一点，转化出两个等腰三角形，利用等腰三角形性质求解。三、作梯形的高，构矩形和直角三角形1作一条高例6如图6所示，在直角梯形ABCD中，AB/DC,AD丄CD,AB=1,AD=6，CD=9，求BC的长。【分析】作BE丄CD于点E,把梯形化为矩形和一个直角三角形，利用勾股定理即可求出BC的长。解：作BE丄CD于点EvBE丄CD,AD丄CD/D=90,/BED=/BEC=90vAB/DCD+/BAD=180/BAD=90四边形ADEB是矩形AB=DE=1,AD=BE

6、=6CE=CD-DE=9-1=82作两条高例7如图7所示，已知梯形ABCD的两条对角线长AC=20、BD=15,它的高为12,求梯形ABCD的面积.【分析】作AE丄BC,DF丄BC,垂足为E、F,可得矩形AEFD,这样AD=EF，从而上底AD+下底BC就等于BF+CE，在直角三角形利用勾股定理就可以求出BF和CE,再利用梯形的面积公式可以求出该梯形的面积。【评注】作梯形的高可以把梯形转化为矩形和直角三角形，利用矩形的性质和直角三角形的勾股定理可以求解。四、作中位线，利用三角形或梯形中位线定理1已知梯形一腰中点，作梯形的中位线例8如图8所示，梯形ABCD中，AD/BC,E是AB的中点，且AD+BC=CD，求证：DE丄CE