方差协方差和相关系数

1、WORD格式.可编辑(1)专业知识整理分享 2方差、协方差与相关系数一、万差二、协方差三、相关系数 TOC o 1-5 h z 四、矩一、万差例1 例1比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分89678910】布为 匕：0.10.601 丿n :0.1=64.2, JEE2-(E 叮=64.2- 82=0.2.2 2同理，Var =E - E = 65.2-64 = 1.2 Var ,所以 取值较分散.这说明甲的射击技术较好.例2试计算泊松分布P（ A的方差.:,k:, kE 2 k2 e k e_ 解k =0k! k (k -1)!O0 )j 、oO y j _八 j_ee_，j j!

2、j j!所以Var = ,22例3设 服从a, b 上的均匀分布U a, b，求Var .bx1 2丄dxJ a2J b -a 3ab b221221I2Var= 3（a +ab+b 片愕a + b=存a）2例4设.服从正态分布N比二，求Var .解此时用公式，由于E，,Var =E（ -a）: 2；（xa）1dx_a）2/2；dx2 CTz2e/2dz2 -:丄2/2ze-be+丄2/2dz-joO2 -可见正态分布中参数二 .（X _ E ） dF（X） g -QU这就得式切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义事实上，该式断言落在_：, ；与E；,内的概率小于等于Var；2

3、，或者说，就是它的方差，匚就是标准差.方差也有若干简单而重要的性质先介绍一个不等式切贝雪夫（Chebyshev）不等式若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数 5恒有P牡E：冷名）EVar/证设的分布函数为F x，则（x - E ：）2= Var / ；2P（卩-E| ）=仁恨dF（x）兰仁护dF（x）落在区间（E-,E-+名）内的概率大于i-Vart/孑，从而只用数学期望和方差 就可对上述概率进行估计例如，取 =3 Var，则P（| E：| 兰）-Va（3jV00.89.2当然这个估计还是比较粗糙的（当N 0,匚 时，在第二章曾经指出,P（| g E | 乞3、Var ）=P（| a| bm

4、 b2nB =E( E：仆E： j =bn1bn2bnn丿,(9) TOC o 1-5 h z 其中 bj =Cov（-i, -j）.由性质1可知B是一个对称阵，且对任何实数tj , j =1/ , n,二次型nnn bjktjtk tjtkE（ j E）（ k E ；） =E（ tj（ j E j）2 一0 j,kj,心J即随机向量E的协方差阵B是非负定的性质4设E=（-1,，）,C umr-Cmn /,则C的协方差阵为CBC，其中B是E的协方差阵因为EC J =EC、C二CE、C，所以CBC的第,j元素就是C的第i元素与第j元素的协方差三、相关系数协方差虽在某种意义上表示了两个随机变量间的

5、关系，但Cov ,的取值大 小与E的量纲有关为避免这一点，用E的标准化随机变量（见例7）来讨 论.定义3称WORD格式.可编辑专业知识整理分享WORD格式.可编辑(13)专业知识整理分享_ E( E )( -E )=Cov( ,) Var Var(10)为 E ,的相关系数(correlation coefficient).为了讨论相关系数的意义，先看一个重要的不等式.柯西一许瓦茨(CauchySchwarz)不等式对任意随机变量E 有(11)(12)E训 EE2EH2等式成立当且仅当存在常数*使P(H 。) = 1.证对任意实数tu (t)二 E(t - )2 二 t2E 2 2tE E 2

6、是t的二次非负多项式，所以它的判别式(E _E 2E 2 乞0证得(11)式成立.(11)式中等式成立当且仅当多项式u有重根to，即 u(t。)=E(t)2=0.又由(3)2Var(t。口 戶 E(t。口)J故得Var to -=0,同时有E to -=0.所以由方差的性质1就证得P to -=0 =1，此即(12)式.由此即可得相关系数的一个重要性质.性质1对相关系数r有愆兰1r =1当且仅当_E=( =1.Varr =-1当且仅当住:E -EVar Var(14)证由(11)式得珂=兰= JVarrparH =1* *证得(13)式成立.证明第二个结论.由定义r = re=E.由柯西-许瓦

7、兹2*2 * * * 2不等式的证明可知，r卜 Cov( )=0;等价于u(t)=t E -2tE E 有重根2li*tit*Q*to =2E /(2e) = E 因此由(12)式得r =1当且仅当?(=)=1；啓一1当且仅当?( * - *)=1.注 性质1表明相关系数 = 时，E与口以概率1存在着线性关系.另一 个极端是耳=0,此时我们称E与耳不相关(un corrected).性质2对随机变量E和耳,下列事实等价：与不相关; E -E E ;Var二 Var Var证 显然(1)与等价又由协方差的性质1得(1)与等价再由式, 得与等价性质3若与独立，则与不相关.显然，由与耳独立知成立，从

8、而与不相关但其逆不真例8设随机变量B服从均匀分布U 0, 2引,cosT,q=sinj显然 即+-1,故与口不独立.但E = EcosJ coS/d，02 1E .Esin”。si不d，02打1EECOSE=o SE 无八0故Cov , =E -E E =0，即三与不相关.注 性质2不能推广到n -3个随机变量情形.事实上从n -3个随机变量nn两两不相关只能推得Var（2即弋 V不能推得E冷= E打EJ.反之，从这两个等式也不能推得1厂，n两两不相关.具体例子不列出了 .对于性质3,在正态分布情形，独立与不相关是一致的，这将在下面进行讨论2 2设仁)服从二元正态分布N a,b；6f2,r，试

9、求Cov ,和.bo boCov ,= ； (x-a)(y-b)p(x,y)dxdy2 二 c；1 -r2：（x-a）（y-b）exp 2（1）.x_ay_b-ra1 a2 丿(y-b)2dxdyIJCT2=z rt则GJ 二 - (x,y)二 r(z,t)于是； 1； 2Cov ,2 二、；1 _ r2: 2一；(zt rt) ej2/2(1 j2)_t2 /2e dzdt+/2-QOt-oO：t2 e4.2 /2e dt 2 -1 r_t2 /2dt2，1-rK/2(1%=0+r2故得r Cov( , ) rr rJVarVarH这就是说二元正态分布中参数r就是三,的相关系数所以对二元正态

10、分布，&不相关等价于r = 0.但在第二章已证E与 相互独立等价于r = 0.这样我们 有性质4对二元正态分布，两个分量不相关与相互独立是等价的.四、矩矩(moment)是最广泛的一种数字特征，常用的矩有两种，一种是原点矩，对正整数k,mk = E k称为E的k阶原点矩.数学期望就是一阶原点矩.另一种是中心矩，对正整数k，称Ck =EC -E )k为E的k阶中心矩.方差是二阶中心矩.除此以外，三阶与四阶中心矩也是常用.3/2的，它们分别表示随机变量的性状.往往用他们的相对值.称Q/6为偏态系 数，当它大于0时为正偏态，小于0时则为负偏态称c4/c2 -3为峰态系数, 当它大于0时表明该分布密度比正态分布更为尖峭例10设E为服从正态分布N (芒2)的随机变量，此时E，= 0，且mndx=0n = 2k+1,j苗x(n1和，n = 2k.4特别m4二C4.故不论c为多少，正态分布的偏态系数与峰态系数都为0.我们可以用原点矩来表示中心矩:kCk八r =0反过来，我们也可以用中心矩来表示原点矩:kmkr =0我们也定义阶绝对矩Mk =E| 丁，其中是实数.对于例10中的随机变量kkr2k+, n = 2k +1(n -1)；,n =2k利用上述结果，可以求出其他某些分布的矩如瑞利分布，具有密度R,(x)豪,x 0因此,E n =JxLeFdxn -2k 1, n = 2k.特别,E12，