高考数列压轴题的“分形数列”式解法

1、 高考数列压轴题的“分形数列”式解法南昌外国语学校梁懿涛高考真题(2013 年江苏 23):设数列an ： 1,/,/,3,3,3, _4,/, _4,_4，,(_1)kk,(_1)kk ,，即当 世 1) ；:：n 乞坐 H(kN*)时，an=(-1)kJ1k，记 & =印a2亠 亠an(nN*).对于丨 N*，定义2 2集合R =n|Sn是an的整数倍，nN*且1岂nl.R1中元素的个数；P2ooo中元素的个数.求集合求集合对于以上数列耳 : 1, 2 23,3,3, -4, -4, -4,-4, ；( -1)kk, ,( -1)kk ,我们可把它叫做分形数列.比如数列“ 1,1,2, 2

2、, 2, 2,2, - ，,n, n”,.n,，”以及“ 1,1,12,3,3,3, 4,5,5,5,6, ”之类，都是典型的分型数列.分3 n形数列的特点是数列可化分为具有明显特征的数列段.以上数列第 3 段为3,3,3,，第 k 段为(_1)kS, ,(-1)kk,对于分形数列，一般要求我们求出数列的通项an及前n项和& .例1 : (2010年浙江省预赛题)设数列 1 1 - 1 -.T21 ,3,2,T这个数列第2010项的值是多少？在这个数列中，第 2010个值为1的项的序号是多少？【解析】：(1)将数列分段：! 1 - 2 3!an的第1段为1，第2段为 -22,2k -1k,(k

3、-1)kk(k 1)2010，解得，假设数列的第2010项位于第T21321kk-1k段1, , ，-k中，一-前k段共有1 2亠 亠k二k(k 3项，k k -11222k =63，且前63段共有2016项，所以第2010项位于第63组倒数第7项，根据数列的特点，得第201057项为57 .7(2)由以上分段可以知道，只有每个奇数段中最中间的项为1，所以第2010个1出现在第4019段，而第4019组中的1位于该段中最中间的位置， 即第2010位.所以第2010个值为1的项的序号为(1+2+3+, +4018) +2010=809428.【评注】求分形数列的某一项an的值，关键是确定 4位于

4、哪一段中的第几位数这可以先假定其位于第k段，通过项数n与段数k的关系来确定.如本例就是毬：2010空 汕 B .值得提醒得是，2 2此不等式无需解，只要先估计，再验证确定即可.例2 : (2013年南昌外国语学校高一竞赛题)数列 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,，其相邻的两个1被2隔开，第n对1之间有n个2，求此数列的前 2013项的和.【解析】：将数列分段:1,2, 1,2,2 , , , 1,律尸2k个前k段共有迴上卫=込色项.假2 2设第2013项位于第k段，则有_哋_：2013 肚.因为1952 = 61 64 ：: 2013乞62 65 =2015，所

5、以2 2 2 2k =62 .从而此数列的前 2013项中只有62个1,其它全为2，即前2013项的和为2013 2-62 =3964.【评注】求分形数列的前n项的和$的值，关键同样是确定an位于哪一段中的第几位数.再根据分形数列的特点求和即可.例3. (2005年上海交通大学保送、推优生试题改编)对于数列an : 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5,即正奇数k有k个，试求数列an的通项公式an及前n项的和Sn .【解析】：将数列分段：1 , 3,3,3 , 5,5,5,5,5 , , ,2 k _1,2k _1, ,2 k _1 , , 因为前 k 段共有1 3亠2k _1=

6、k2项，所以an=2k-1的充要条件是(k_1)2仁n空k2，即.辽k乞1 . 厂 ._ n =1_ 10,1) ,. k是1川扌乔的整数部分，即k =1 从而荷 _ J n _1an =2.L . 1又因为前 k 段内各数之和为_1)2=4i2 _4 i k =4k(k 1)(2kT)_4k(kT) k(W1)，所i 仝i _1623以前 n 项的和 yZ嘗Z n -(k-1)2(2k -123； 2)，其中 kT 【评注】从此例可看出，只有深刻理解数列an中项数n的双重作用，即项数n既确定数列an中各项 的值，又决定着它的段数，才能正确解答此类问题另外，利用高斯函数x求解决某些难度大的数列

7、的通项公式与前n项和的问题时，往往能起到常规方法无能为力的作用.最后我们运用以上方法来解本文之初的高考题：设数列an的前k段的和为Tk，则Tk =12 -22 32 -42 (_1)kk2，当k为偶数时，Tk=(12-22)(32-42)”(k-1)2-k2-(37 11 讦：昇 2k1) = -k(k 1) ; 当 k 为奇数时,2(k -1)kk2k(k 1)2所以 Tk =(-1)2k(k 1)2因为 Sn 灯心n - k(k _1)(-1)kJk，所以 Sn 十1)2 k(k -1).山 一 k(k-1)1)k J k 二2 2 2Ok坐 卫(_1)knk，从而1 显然只有当k为奇数时，为整数，色才是整2an22an攵也即只有位于奇数段中的an ,才满足Sn是an的整数倍.由以上分析，当I =11 , %位于第5段中第1项，前11项中位于奇数段的，第1段中1项，第3段中3项，第5段中1项，1 +3+1 =5 ,所以