(完整word版)等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

1、第 页共12页等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：上l=q（q丰0）（n2,且ngN*）,q称为公比an-12、通项公式：a；1aianq=naamma=aqn-1=iqn=A-Bn（a-q丰0,A-B丰0），首项：a；公比:n1q1推广：a=aqn-moqn-mnm3、等比中项：（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2=ab或A=応注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列匕是等比数列nnn-1n+14、等比数列的前n项和S公式：n（1）当q=1时，S=nan1a（1-qn）a-aq（2）当q丰1时，S=1=1n1-q1-q=-

2、一hqn=A一A-Bn=ABn一A（a,B,A,B为常数）1-q1-q5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有a=qa或厶卄=q（q为常数，a丰0）oa为等比数列n+1nannn（2）等比中项：a2=aa（aa丰0）oa为等比数列nn+1n-1n+1n-1n（3）通项公式：a=A-Bn（AB丰0）oa为等比数列nn6、等比数列的证明方法：依据定义：若上l=q（q丰0）（n2,且ngN*）或a=qaoa为等比数列an+1nnn-17、等比数列的性质：（2）对任何m,ngN*，在等比数列a中，有a=aqn-m。nnm（3）若m+n=s+1（m,n,s,tgN*），则a-a=a-a。特

3、别的，当m+n=2k时，得a-a=a2nmstnmk注：a-a=a-a=aan2n-13n-2等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义a.一a=dn+1nnl1=q(q丰0)an递推公式a=a+d；a=a+mdnn1nmna=aq；a=aqn一mnn1nm通项公式a=a+(n一1)dn1a=aqn1(a,q丰0)n1J1J中项a+a/士、A一(n,keN,nk0丿2G=paa(aad0)(n,keN*,ndkd0)n一kn+kn一kn+k前n项和S=(a+a)n21nc丄n(n一1)Sna+dn12S=VnnaJq=11a1一qn丿aaq打=(q2)1q1q重要性质a+a=a+amnpq(m,

4、n,p,qeN*,m+n=p+q)a-a=a-amnpq(m,n,p,qeN*,m+n=p+q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1.等比数列a中，a-a=64,a+a=20,求a.n193711思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a和q的二元方程组，解出a和11q，可得a；或注意到下标1+9二3+7，可以利用性质可求出a、a，再求a.TOC o 1-5 h z113711(1)(2)解析：a-a=a-aq8=64法一：设此数列公比为q，则0.1由(1)得：(aq4)2=64,aq4=8(4)11(3)m得:1+q4q22052q45q2+2=0，解得q2=2或q2=2

5、当q2=2时，a=2,a=a-q10=64；1111当q2=时，a=32,a=a-q10=1.1111法二：a-a=a-a=64,又a+a=20,193737a、a为方程x2-20 x+64=0的两实数根,a3a737=16亠la=4或3=4la=167a2a-a=a2,a=-=1或a=64.11711a113总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】96法一：设公比为q,则768=a1q

6、s，qs=256，Aq=2，Aa6=96；法二：a52=a1a9na5=48nq=2，a6=96。【变式2】an为等比数列，an0,且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；aa=a2=16，又a0，a=4TOC o 1-5 h z18945n45aaa=a3=64。44454645【变式3】已知等比数列a，若a+a+a=7，aaa=8，求a。n123123n【答案】a=2n-1或a=23-n；nn法一：aa=a2，aaa=a3=8，a=213212322a+a=5”、/口亠从而s13,解之得a=1，a=4或a=4，a=1laa=4131313当a=1时，q=2；当a=4时，

7、q=。1*12故a=2n-1或a=23-n。nn法二：由等比数列的定义知a=aq，a=aq22131代入已知得a+aq+aq2=7111a-aq-aq2=8111la(1+q+q2)=7,Ja(1+q+q2)=7,(1)a3q3=8a#=2(2)2第4页共12页将a=代入(1)得2q25q+2=0,1q解得q=2或q=2由得伫a=411q=-2，以下同方法类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析：若q=1,则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1#0，得S3+S6#2S9，显然q=1与题设矛盾，故q#1.由S+S=

8、2S得,a(1q3)a(1q6)2a(1q9)T+T=1q1q1q整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q主0,得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3主1，故q3=i，所以q=。举一反三：【变式门求等比数列1品丄的前6项和。答案】364243n=6S6(1)6_13丿31x11364243【变式2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.答案】121或121a3=27na=3，2213=Fnq=3或=3，则a1=1或a1=9135I3(1A9x1-=121或S=产丿51-13121第 页共12页【变式3】在等比数列a中，a+a二66,a-a二1

9、28,S二126，求n和q。TOC o 1-5 h zn1n2n-1n【答案】q=或2,n=6;2*.*a-a=a-a，:aa=1282n-11n1nfaa=128/口a=64亠a=2解万程组(1n，得(1小或11-a+a=66a=2a=641nnn将I：1:64代入【答案】216；法一：设这个等比数列为a，其公比为q，nn=舌，得q=苓n由a=aqn-1，解得n=6；n1将|1代入S=1上，得q=2,a=64n1-qn由a=aqn-1，解得n=6。n1类型三：等比数列的性质例3.等比数列a中，若a-a=9,求loga+loga+.+loga.TOC o 1-5 h zn563132310解析

10、：*.*a是等比数列，a-a=a-a=a-a=a-a=a-a=9n11029384756loga+loga+A+loga=log(a-a-aLa)=log(a-a)5=log95=1031323103123103563举一反三：【变式1】正项等比数列a中，若a1a100=100;则lga1+lga2+lga100=.【答案】100；/lga1+lga2+lga3+仗坷00=仗(齐巧Bo。)而aa100=a2a99=a3a9850也51原式=lg(aa100)5o=50lg(a1a100)=50 xlg100=100。【变式2】在278819a=，a=aq4=-q4，q4=，q2=1352131

11、4和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为=63=216。a-a-a二aq-aq2-aq3二a3-q6272341111法二：设这个等比数列为an，公比为q，则巴=8加入的三项分别为a，a，a，234827由题意a,a,a也成等比数列，：a2=x=36，故a=6,TOC o 1-5 h z1353323a-a-a=a2-a=a3=216。234333类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列a中，已知S=48,S=60，求S。nn2n3n思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k

12、项和仍然成等比数列。解析：法一：令bi=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n观察b=a+a2+an,b2=an+l+an+2+週“=4呵1+週+如，b3=a2n+1+a2n+2+咯=42咆1+週+如易知叭4成等比数列，b3=牛1122_23，48S=b+S=3+60=63.法二：/S丰2S,q丰1，2nnTOC o 1-5 h zai(1qn)48由已知得1-qai(1-q2n)60、1-q三得1+qn，即qn44代入得164,1-qS3na(1-q3n)1-q64(1-丄)63。43法三：a为等比数列，S，S-S，S-S也成等比数列,nn2nn3n2n(S-

13、S)2=S(S-S)，2nnn3n2n+60二63。._(S-S)2(60-48)2S2nnS3nS2n48n举一反三：【变式1】等比数列a”中，公比q=2,S4=l,则S8=答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1x(1+24)=17【变式2】已知等比数列a”的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40，求：S30=?【答案】130；法一-叫-q2n)=6560(2)，n1一q10,S20-S10,SZ构成等比数列，(S2o-S1o)2=(2)三(1)得：1+qn

14、=82,qn=81(3)该数列各项为正数，由(3)知q1an为递增数列，an为最大项54.1o(an=a1qn-1=54,a1qn=54q,3o-81a1=54q(4)54222o)即302=10(S30-40),AS30=130.法二：.2s10弄s0，:q丰1,S-a1(1-q10)-10,S-a1(1一q20)-40,101-q.a一qq代入得q(1-81)80(1-q)，181331-q1-q101-q204q103,1-.Sa1(1q30)(-5)(1-33)130.301-q【变式3】等比数列a的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求nn2nn.答

15、案】S80S65602nS1q丰1(否则一a)S22nSna(1-qn)T1-q=80(1)第 页共12页第8页共12页答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),b2362易知：b2,b3成等比数列，：b3=芬=4,即a5+a6=4.1233b324561【变式5】等比数列a中，右&1+&2+&3=7,&4+&5+&6=56,求&7+&8+&9的值。【答案】448；*an是等比数列，:(a4+a5+a6)=(a+a2+a3)q3,q3=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56x8=448.类型五：等差等

16、比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列，右前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.右再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.TOC o 1-5 h zJa2=(ad)(a+d+32)(1)(a4)2=(ad)(a+d)(2)由(2)得a=8由(1)得32a=d2+32d(4)(3)代(4)消a,解得d=8或d=8.:当d=时,a=；当d=8时,a=

17、109原来三个数为2,逆,竺或2,10,50. HYPERLINK l bookmark18 999法二：设原来三个数为a,aq,aq2，则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列2aq=a+aq232(1)(aq4)2=a(aq232)(2)2由(2)得a=，代入(1)解得q=5或q=13q42当q=5时a=2；当q=13时a=9.原来三个数为2,10,50或-,26,338.999总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为-,x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用y首项

18、a,公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为2,6,18或I，-罟；设所求的等比数列为a，aq，aq2；贝U2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；2解得a=2,q=3或a=9,q=-5；故所求的等比数列为2,6,18或2,-巴,50.999【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。【答案】1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1设这三个数分别为-

19、,a,aq,q由已知得=Va2ni+a2+a2q2=91、q2a=3a2(丄+q2+1)=91q2得9q4-82q2+9=0，所以q2=9或q2=9,即q=3或q=1故所求三个数为：1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1。【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.【答案】0,4,8,16或15,9,3,1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x2y=x+12-y(1)(12-y)2=y(16-x)由得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12).144

20、-24y+y2=-3y2+28y,.4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,y=4或9,x=0或15，四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(nGN+),求出数列aj的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(nGN+),a1=S1=51-1=4,当n2时，an=Sn-Sn1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4x5n-1而

21、n=1时，4x5n-1=4x51-1=4=a1?nEN+时，an=4x5n-1由上述通项公式，可知an为首项为4,公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列Cn，其中Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数P。【答案】p=2或p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意nN且n2,有(9+1皿丿2=(9+2-卩51)(5卩01)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3

22、-p)3n-1整理得：丄(2-p)(3-p)-2n-3n=0,解得：p=2或p=3,6显然Cn+1-pCn丸，故p=2或p=3为所求.【变式2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】设数列an、bn的公比分别为p,q，且p#q为证Cn不是等比数列，只需证CC丰C2.n132C2=(ap+bq)2=a2p2+b2q2+2abpq,2111111CC=(a+b)(ap2+bq2)=a2p2+b2q2+ab(p2+q2)1311111111:CC一C2=ab(p一q)2,13211又Tp定q,a1#0,b1#0,CC-C2丰0即CC丰C2132132数列Cn不是等比数列.【变式3】判断正误：an为等比数列na7=a3a4；若b2=ac，则a,b,c为等比数列;(3)an,bn均为等比数列，贝Vanbn为等比数列;an是公比为q的等比数列，则a2、n若a,b,c成等比，则logma,logmb,logmc成等差.【答案】(1)错；a7=a1q6,a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同;错；反例：02=0 x0,不能说0,0,0成等比；对；anbn首项为a1b