第6章内力和内力图(桁架内力计算)课件

1、第 6 章 内力和内力图6-1 平面桁架的内力 6-2 轴力和轴力图6-3 扭矩和扭矩图 6-4 剪力和弯矩剪力图和弯矩图外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）。内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物体之间或各部分之间的相互作用力。 物体受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质点间的相互作用力也发生了改变。上述相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量就是内力。 内力的计算是分析构件强度，刚度、稳定性的基础。6-1 平面桁架的内力 1. 什么是桁架 桁架是由细长直杆组成的几何形状不变的结构。2. 工程实例6.1.1 桁架的概念 所有杆件

2、的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。 例：地面卫星接收系统例：海洋石油钻井平台例：埃菲尔铁塔 (1) 杆件截面形状和尺寸设计； (2) 材料选取； (3) 强度校核。 3. 分析桁架内力的目的6.1.2 模型的建立1. 屋架结构的简化2. 桁架简化的几个假设 (1) 各杆在节点处用光滑的铰链连接； (2) 各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； (3) 所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平面内。 根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作用，在同样跨度和载荷情况下，桁架比梁更能节省材料，减轻自重。3.

3、平面简单桁架的构成 在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可以由基本三角形ABC 为基础，这时是3 个节点，以后每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成的桁架称为平面简单桁架。平面简单桁架杆件数m与节点数n之间的关系为 ：m=3+2(n-3)=2n-3平衡方程数：2n ，未知力数目：m+3 在支座约束力共有3 个未知量而且布置恰当的情况下，平面简单桁架是静定的。三个支座约束力既不汇交也不平行。6.1.3 平面简单桁架的内力计算1. 节点法例题 6-1 如图平面简单桁架，已知铅垂力FC= 4 kN，水平力FE =2 kN。求各杆内力。 取节点为研究

4、对象来求解桁架杆件的内力。解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程联立求解得 FAx= 2 kN, FAy= 2 kN FB = 2 kN例题 6-1取节点A，受力分析如图, 设所有杆件均为拉杆。由平衡方程解得例题 6-1例题 6-1取节点K，受力分析如图。由平衡方程解得取节点C，受力分析如图。由平衡方程解得例题 6-1取节点D，受力分析如图。由平衡方程解得例题 6-1例题 6-1取节点B，受力分析如图。由平衡方程例题 6-2 如图平面桁架，已知铅垂力FC = 4 kN，水平力FE = 2 kN。求KE，CE，CD 杆内力。 2. 截面法 解：先取整体为研究对象, 作受力图。 由平衡方

5、程联立求解得 FAx= 2 kN，FAy= 2 kN，FB = 2 kN例题 6-2由平衡方程联立求解得例题 6-2 作一截面m-m将三杆截断，取左边部分为分离体，作其受力图。意义：简化计算, 问题：能否去掉零杆? 3. 零杆在一定载荷作用下，桁架中轴力为零的杆件。注意：(1) 载荷改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为了保证结构的几何形状在任何载荷作用下都不会改变，零杆不能从桁架中除去。实际上，零杆的内力也不是零，只是较小而已。在桁架计算中先已作了若干假设，在此情况下，零杆的内力才是零。 首先判断出零杆，对简化桁架计算是有益的。思考题6-1 在图示载荷下，试判断下列各桁架中的零杆。思考题6

6、-1参考答案： 4. 小 结 (1) 节点法 (a)一般先研究整体，求支座约束力； (b) 逐个取各节点为研究对象； (c) 求杆件内力； (d) 所选节点的未知力数目不大于2，由此开始计算。 (2) 截面法 (a)一般先研究整体，求支座约束力； (b) 根据待求内力杆件，恰当选择截面（直截面或曲 截面均可）； (c) 分割桁架，取其一部分进行研究，求杆件内力； (d) 所截杆件的未知力数目一般不大于3。试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。思考题6-2思考题6-2参考答案：（取上半部分为研究对象可不求支座约束力）试计算图示桁架中1、2杆的内力。思考题6-3思考题6-3参考答案：6-2 轴力

7、和轴力图 如上图中轴向受力（作用于杆上的外力合力的作用线与杆的轴线重合）的杆件常称为拉伸或压缩杆件，简称拉压杆。其主要变形是纵向伸长或缩短。 拉压杆横截面上的内力，由任一横截面(m-m)一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的分布力，此分布内力的合力称为轴力。用符号 表示。 内力的大小及指向只有将物体假想地截开后才能确定。 习惯上，把对应于伸长变形的轴力规定为正值（即分离体上的轴力其指向离开截面），对应于压缩变形的轴力为负值（轴力的指向对着截面）。 当杆件轴向受力较复杂时，则常要作轴力图，将轴力随横截面位置变化的情况表示出来。解：要作ABCD杆的轴力图，则需分别将AB、BC、CD 杆的轴力求

8、出来。分别作截面1-1、2-2、3-3，如左图所示。作轴力图。 1-1截面处将杆截开并取右段为分离体，并设其轴力为正。则Fx= 0，-FN1 - 20 = 0例题 6-3FN1 = -20 kN 负号表示轴力的实际指向与所设指向相反，即为压力。注意： 在作截面取分离体之前不允许应用力的可传性原理，因为外力移动后就改变了杆件的变形性质，并使内力也随之改变。如上例中D处的力若移到C处，则CD段的轴力为零了。但截开后，研究分离体在外力作用下的平衡时，可以应用力的可传性原理。 于2-2截面处将杆截开并取右段为分离体，设轴力为正值。则Fx= 0，-FN2 + 20 - 20 = 0例题 6-3FN2 =

9、 0Fx= 0，-FN3 + 30 + 20 - 20 = 0FN3 = 30 kN轴力与实际指向相同。例题 6-3 作轴力图，以沿杆件轴线的x 坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的轴力 。 当然此题也可以先求A处的支座约束力，再从左边开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。例题 6-3试作图示杆的轴力图。 思考题 6-4思考题6-4参考答案：思考题6-5 考虑图示杆的自重，作其轴力图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r ，杆的自重为 。思考题6-5参考答案：6-3 扭矩和扭矩图 杆件所受外力经简化后，主要是作用在垂直于杆轴线平面内的力偶，其作用使杆发生扭转。 如上图

10、所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线 ab 变为螺旋线 ab, 诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于A截面转过一角度bOb。 为了分析横截面上的内力，取m -m截面。 由图示任意横截面m - m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号T 表示。 即T=Me 取(c)图列方程可得相同的计算结果。扭矩的正负号由右手螺旋法则规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。 一传动轴的计算简图如图所示，作

11、用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2 kNm , MB=3.5kNm，MC =1 kNm ，MD = 0.5 kNm，转向如图。试作该传动轴之扭矩图。 解：只要求出AB、BC、CD 段中任意横截面上的扭矩，即可作出扭矩图。例题 6-41-1截面：MA + T1 = 0得T1=MA= -2 kNm 分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。考虑1-1截面例题 6-4例题 6-4同理得T2=1.5kNm , T3 = 0.5 kNm该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？思考题6-6作杆的扭矩图。思考题6-7思考题6-7参考答案 6-4 剪力和弯矩剪力图和弯矩图 梁：在外力作用下以弯曲为主要变形

12、的杆件。 弯曲：当杆承受的外力作用线垂直于杆轴线（有时不包括力偶）时，杆变形的主要现象是任意两横截面绕垂直于杆轴线的轴作相对转动，同时杆的轴线弯成曲线。 为计算梁的应力和位移，首先应确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。 由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内切向分布内力的合力为剪力 和位于纵向平面内的内力偶矩为弯矩M。 图中C是横截面的形心。分析梁左段任意横截面mm上的剪力，由Fy = 0 ，FA - FS = 0 得M = FA x =Fbx / lFS = FA 得 现分析如何求解剪力 和弯矩M。 也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算，结果相同，但

13、稍复杂。正负号根据变形情况来确定。剪 力以使梁的微段发生左上右下的错动者为正；反之为负。弯 矩以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即梁的上部纵向受压而下部纵向受拉时为正；反之为负。剪切变形演示弯曲变形演示 试求下图所示悬臂梁之任意横截面m -m 上的剪力和弯矩。思考题6-8思考题6-8参考答案：FS= - FM= - Fx(a)(b)FS= 0M=Me 试求图示截面（1-1、2-2、3-3）上的剪力和弯矩。解：本题可从右边开始求解，也可从左边开始求 解。从右边开始可先不求支座A处的约束力。 取右段分析，考虑1-1截 面，有Fy=0，FS1 - 2 =0，FS1 = 2 kN例题 6-5 取右段分析

14、，考虑2-2截面，有例题 6-5取右段分析，考虑3-3截面，有例题 6-5 为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。先求A处的支座约束力，有 下面以左段为研究对象，分析3-3截面上的剪力和弯矩。例题 6-5此结果与取右段分析的结果相同。例题 6-5 从上例看到，梁的横截面上的内力，一般而言，在不同的横截面上有不同的数值。因此有必要作出梁的内力图剪力图和弯矩图，以直观地表示这些内力随横截面位置变化的情况。从而为梁的强度计算与刚度计算提供重要的依据。解：取轴x 与梁的轴线重合，坐标原点取在梁的左端。以坐标 x 表示横截面的位置。只要求得x 处横截面上的剪力和弯矩，即可画出其内力图。试作图示梁的

15、剪力图和弯矩图。 例题 6-6 根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有FS(x)= - qx (0 xl)M (x)= - q x2/2 (0 xl)例题 6-6 右图所示为一受满布均布荷载的简支梁，试作剪力图和弯矩图。解：此梁的支座约束力根据对称性可知：FA=FB=ql/2 梁的剪力方程和弯矩方程分别为FS(x)=ql/2-qx (0 xl)M(x)=qlx/2-qx2/2 (0 x l)例题 6-7解：根据整体平衡，求得支座约束力FA=Fb/l, FB=Fa/l 梁上的集中荷载将梁分为AC 和CB 两段，根据每段内任意横截面左侧分离体的受力图容易看出，两段的内力方程不会相同

16、。例题 6-8 图示为一受集中荷载 作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。AC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0 xa)(0 xa)FS(x)=Fb/l-F = - Fa/l(axl)M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l(axl)例题 6-8AC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0 xa)(0 xa)FS(x)=Fb/l -F = - Fa/l(axl)M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l(axl)例题 6-8 从剪力图上看到，在集中力作用处剪力发生突变，突变的值等于集中力的大小。 发生

17、这种情况是由于把实际上分布在很短区间内的分布力，抽象成了作用于一点的集中 力。例题 6-8例题 6-8 若将集中力 看为Dx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在 Dx 梁段内，剪力从Fb/l沿斜直线过渡到 - Fa/l，不存在突变现象。 简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。解：先求支座约束力例题 6-9分段列出剪力方程和弯矩方程：AC段：CB段：FS(x)= -2-10(x-0.2)= -10 x(0.2 m x 0.6m)(0.2 mx0.6 m)M(x)= -2x+2-10(x-0.2)2 /2=-5x 2+1.8FS(x)= -FA = -2(0 x0.2 m)M(x)= -FA

18、 x= -2x(0 x 0.2 m)例题 6-9AC段：CB段：FS(x)= -2-10(x-0.2)= -10 x(0.2 m x 0.6m)(0.2 mx0.6 m)M(x)= -2x+2-10(x-0.2)2 /2=-5x 2+1.8FS(x)= -FA = -2(0 x0.2 m)M(x)= -FA x= -2x(0 x0.2 m)例题 6-9 由弯矩图看到，在集中力偶作用处弯矩值发生突变，突变量等于集中力偶之矩。例题 6-9 通过以上四个例题的分析，你能否总结一些画剪力图和弯矩图的规律吗？（这个问题我们在第 9 章中将继续讨论）思考题6-9 试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩，并作其剪力图和弯矩图。思考题6-10思考题6-