线性代数--向量空间课件

1、 n维向量空间 向量组的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组第四章 向量空间n维向量的概念与运算n维向量空间向量组的线性组合与线性表示第一节 n维向量空间一、n 维向量的概念与运算定义4.1例如n维行向量第1个分量第n个分量第2个分量向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系 时， 维向量没有直观的几何形象确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义定义4.2定义4.3定义4

2、.4定义4.5向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则进行运算注意运算规律有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式其中特别地实数域上的 n维向量全体，当定义了二、n维向量空间定义4.6定义4.7上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为为实数域上的n维向量空间。记作空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应三、向量组的线性组合与线性表示定义4.8由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。设是n维向量组，是一组实数，的线性组合。例如

3、向量就是这3个向量 的一个线性组合。存在一组实数 则称向量b是向量组使得也称向量b可由向量组线性表示。都是 n 维向量,如果对向量b的线性组合，例如 对向量有及 还有而且表示的方法不惟一向量n维向量向量空间小 结 n维向量的运算n维向量的概念、表示解析几何与线性代数中向量的联系与区别向量空间的概念向量在生产实践与科学研究中的广泛应用思考题设问 是不是 子空间？为什么？ 如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加答36维的若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用第二

4、节 向量组的线性相关性向量、向量组与矩阵向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理一、向量、向量组与矩阵向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应如果对给定向量组A： 存在不全为零的实数 定义4.9否则称之为线性无关。二、向量组的线性相关与线性无关使得则称向量组线性相关；线性无关。即当且仅当 注 意(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分 必要条件是两向量的对应分量成比例。其几 何意义是两向量共线。（3）三个向量线性相关的几何意义

5、是三向量共面。 由于 即 例4.8 试判断下列向量组的线性相关性 解 若存在数使 即 因为其系数行列式 D=于是方程组只有零解，线性无关。所以例4.9 试 判断下列向量组的线性相关性解 考察按分量写出来，即为（其中a，b，c，d各不相同）该方程组的系数行列式由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零即方程组只有零解，从而线性无关。解 若存在数 即 例4.10 试判断下列向量组的线性相关性因为其系数行列式 D=于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立线性相关。所以令显然是它的一个解，计算可知因此线性相关。由（a）代入（b）（c）整理得另 解证明 设有线性无关。例4.11 试证n维单位

6、坐标向量组即解之得所以线性无关。定理4.1 n维向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证明 必要性 若即存在不全为零的数使得三、向量组线性相关的判定定理线性相关，不妨设于是即可由其余的向量线性表示充分性 若有一个向量可由其余的向量线性表示即那么由系数不全为零，知向量组线性相关。定理4.2 n维向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组AX=0 有非零解 其中证明 按线性相关的定义，向量组等价于方程的线性相关有非零解。若令 则上式写成因为(1)与(2)同解，也就是说，向量组的线性相关等价于其次方程组AX=0有非零解。条件是推论 n个n维向量线性相关的充要定理4.3中任意n

7、+1个向量必定线性相关证明 若线性相关，则线性相关，线性无关，则由于方程组的系数行列式不为零，所以方程组有唯一解，即可由线性表示，从而知线性相关推论 m个n维向量（mn）必线性相关。定理4.4 设n维向量组线性无关，而线性相关，则可由线性表出，且表示法唯一。证明 由零的数线性相关知，存在不全为使得 若 则不全为零，而有这与线性无关相矛盾，从而 于是 即可由线性表示 。 假若可有两种不同的表示方法，设两式相减，得 唯一性线性无关相矛盾，不全为零，则与如果系数从而必全为零线性表示的方法是唯一的。定理4.5 设有两向量组则有（1） 若向量组线性无关。也线性无关则向量组也线性相关。（2） 若向量组线性

8、相关，则向量组证明 （1）反证 假设则存在不全为零的数 使得 即 线性相关，由其前 r 个等式得： 即这表明 r 维向量组所以r+1维向量组线性无关。线性相关，矛盾，(2) 反证 假设 r 维向量组由（1）推得 r+1 维向量组 线性无关；线性无关，与题设矛盾。所以向量组线性相关。证毕此结论对 m 个 r 维向量组添加 m-r 维分量的情形也成立。定理4.6 若 n 维向量组A：线性相关，则向量组B：线性相关。反言之若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关证明 由向量组A：线性相关，知存在不全为零的实数使得于是而不全为零故向量组B线性相关。反之，假若向量组 A 线性相关，则由上述证明知向量组

9、B 线性相关，这与已知矛盾。于是向量组 A 线性无关。本定理说明（1）若向量组有一个部分组线性相关 ， 则该向量组也线性相关。（2）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。例4.12 设向量组线性无关，而线性相关，试证（1）可由不可由线性表示，线性表示，（2）证明（1）因为线性无关，由定理 4.6知，其部分组也线性无关，又因为线性相关，所以由定理4.4知：也即因此可由线性表示。可由线性表示，即证（2）用反证法 假设可由线性表示，即而由（1）的证明知将之代入上式得：此式说明：可由线性表示，从而可推出线性相关，与题设矛盾。不可由线性表示。故. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线

10、性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）小 结 若存在一组数使得则向量组A 线性相关 B 线性无关 C 部分线性相关 D 可能 线性相关也可能线性无关思考题1. 向量组线性无关的充要条件是A都是零向量B中任意两个向量的分量不成比例C中有一部分组线性无关D中任意向量均不可由其余向量线性表示练习2. 设有向量组则下列哪种说法正确?A 该向量组线性相关，则 必可由线性表示。B 该向量组线性无关，则其中任何 m-1 个向量必 线性无关。C 若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向量组必线性无

11、关。D 若全为零，使则该向量组必线性无关。向量组之间的关系向量组的极大无关组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩第三节 向量组的秩设有两个n 维向量组 A: B: 如果A组中每个向量都可由向量组B则称向量组A可由向量组B线性表示。线性表示，一、 向 量组之间的关系定义4.10 如果 A、B 这两个向量组可以互相线性表示， 则称向量组 A 和向量组 B 是等价的，记为AB。关于向量组的等价，显然有下面三条性质： 1. 自反性 A A 2. 对称性 若AB，则BA 3. 传递性 若AB，BC则AC定理4.6 在中，如果向量组A：可由向量组B：而且线性无关，则线性表示，证明 假设因为都可由线性表示，故可设

12、以上各式的系数构成 k 个 s 维的向量因为所以这 k 个 s 维向量线性相关，即存在一组不全为零的实数使考察由于不全为零，所以线性相关与已知矛盾，从而推论 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。二、向量组的极大无关组 （1） 线性无关（2） A 组中任何一个向量 ，都 能由 B 组向量 线性表示定义4.11若向量组 A 的一个部分组 B 满足则称部分组 B 为向量组 A 的一个极大线性无关组（简称极大无关组）.定理4.7 向量组与它的任一个极大无关组等价证明 因为极大无关组可由向量组线性表出， 由极大无关组的定义，所给向量组可由极大 无关组线性表出，所以向量组与它的任意一 个极大无关组等价

13、推论 向量组的任意两个极大无关组等价。 向量组组中所含向量的个数 r 称为这个向量组的秩，记作只含零向量的向量组的秩规定为0的极大线性无关三、向 量 组 的 秩 定义4.12由定理 4.6 的推论及定义 4.12 易知：两个等价向量组的秩必相同。由矩阵各列向量，各行向量四、向量组的秩与矩阵的秩 组成的矩阵A的列向量组为组成的矩阵A的行向量组为定理4.8 矩阵 A 的列向量组的秩等于矩阵A 的秩。证明 设矩阵 A 的秩为r，不失一般性，可设A的 某一不等于零的 r阶子式 D 位于A 的左上角，否则，可以经过调换列达到这一结果。此时由假设含D的任一r+1阶子式必等于零。首先，A 的前 r 列向量必

14、线性无关，否则其中某个列向量可由其余r-1个列向量线性表示，便导出D=0，这与假设矛盾。为此，作r+1阶辅助行列式 由前r个列向量线性表示。个列向量可其次，我们来证明A的第从中可以看出，当时中有两行相同，因而总之对任一皆有将按最后一行展开，有 ：其中是中相对于的代数余子式，它们皆与k无关，因为故得是A的含有D的r+1阶子式，kr当时由假设知的秩为r。前r个列向量线性表示，也就证明了矩阵A的列向量这就表明A的第个列向量可由解 对A施行初等行变换化为行阶梯形矩阵故R(A)=3，从而A的列向量组的极大无关组含3个向量，而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，所以例4.13 求向量组的极大无关组。解

15、由这些向量为行向量够构成一个矩阵，然后对此矩阵实施行初等变换化其为阶梯形是向量组的极大无关组。极大线性无关组的概念：最大性、线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：定理、推论求向量组的秩以及极大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列(行)向量构成一个矩阵， 然后进行初等行(列)变换小 结思考题向量组的秩与矩阵的秩有何关系？向量组的极大无关组是唯一的吗？第四节 齐次线性方程组齐次线性方程组的概念齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的解空间一、齐次线性方程组齐次线性方程组若令则 （1）可写成矩阵形式:则 (1) 也可写成向量形式

16、:那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解.显然 由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式有非零解R（A） n齐次线性方程组只有零解R（A）= n齐次线性方程组 线性无关,那么R(A)=n。如果方程组(2)有非零解,则向量组线性相关,那么R(A)n定理4.9证明 只有系数全为零时成立从而反之亦然。齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：（1） 若都是齐次线性方程组的解，那么也是的解，这是因为二、齐次线性方程组的解空间的解齐次线性方程组（2） 若则对任意实数也是的解。（原因是 若用S表示方程组(1)的全体解向量所组成的

17、集合则上述两个性质即为：这说明集合 S 对向量的线性运算封闭，所以S 构成 的一个子空间，称其为齐次线性方程组(1)的解空间。是齐次线性方程组的一组解向量，若它满足下列条件：（1）线性无关；三、齐次线性方程组的基础解系定义4.13（2）方程组的任一解向量都可由线性表出则称向量组是齐次线性方程组的一个基础解系。如果是齐次线性方程组的一个基础解系那么，对任意常数也是的解，称这种形式的解为的通解，解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，进而求出通解。 注意则齐次线性方程组的基础解系含有n-r个向量。得行最简形矩阵 对方程组的系数矩阵A进行初等行变换，证明 定理4.10以B为系数矩阵的方程组称为方程组（

18、*）的自由变量， 由于A与B的行向量组等价，故 与（*）同解 任意给定一组数值，代入到（*）中都可以求出（*）的一个解，从而得的一个解。现在， 令分别取以下n-r 组数值代入（*）可求出的n-r 个解，设为因为向量组（*）线性无关，按定理4.5，加长的向量组（*）也是线性无关的，这样就得线性方程组(1) 的 n-r个线性无关的解。下面，我们再证明的任一解都可由线性表出。令则 仍是的解，并且它应满足（*）的每一个方程，代入（*）解得=0 也就是 即 是齐次线性方程组 由定义4.18，的基础解系，即证明了当 R（A）= r n 时齐次线性方程组中有n- r个自由变量，使基础解系由n- r个解向量组

19、成。说明方程组的基础解系不是唯一的方程组的基础解系又称为解空间的基若 是 的基础解系， 则其通解为 解 对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵例4.14 求解齐次线性方程组由 知方程组有非零解且与下面方程组同解选 为自由变量，得 令 解得 令 解得从而得到一个基础解系方程组的通解为为任意常数其中例4.15 求解齐次线性方程组解 对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵得同解方程组选为自由变量，分别取解得 故得方程组的一个基础解系为：方程组的通解为即为任意常数其中第五节 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的概念非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组有解的条件称为非齐次线性方程组是系数矩阵其中一、非齐次线性方程组对方程组的系数矩阵A按列分块，记作A=问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有 解时怎样求出其所有解？根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下等价命题：二、非齐次线性方程组有解的条件与方程组 有解等价的命题 （1）线性方程组 有解通常用 (4) 来判断 (1)性质1 设是的任意两个解，是对应的齐次线性方程组证明 性质2三、非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的性质：的任一解为证明 的解,用表示之，有X -从而 X=若 r（