莱布尼茨公式课件

1、第六章 定积分求总量的问题教学目标（1）理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质；（2）了解微积分基本定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法；（3）了解反常积分的概念，会求无穷限区间上的反常积分；（4）了解定积分中所蕴含的辩证法和李善兰的贡献；教学重点：定积分的概念和性质、微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法、定积分在几何学中的应用；教学难点：定积分的概念、定积分的换元积分法和分部积分法、非正常积分、微元法、定积分在几何学中的应用；教学时数：8学时；1特殊和式的极限定积分的概念2计算定积分的一般方法微积分基本定理3定积分的拓展非正常积分4定积分的魅力显示在若干学科中 的应

2、用数学家启示录教学内容：1. 1抽象定积分概念的两个现实原型原型 求曲边梯形的面积 设f(x)为闭区间 a, b上的连续函数, 且f(x)0. 由曲线y = f(x), 直线x = a、x = b 以及 x 轴所围成的平面图形(图6. 1)称为f(x) 在 a, b上的曲边梯形的面积s. xya=x 0b=x 0y=f(x)(图6. 1)设质点 m 受力 F 的作用沿 x 轴由点a 移动至点b , 并设 F平行于 x 轴(图6. 2). 如果F是常量, 则它对质点所作的功为W=F(b-a)如果力 F不是常量, 而是质点所在位置x 的连续函数那么F 对质点 m 所作的功W应如何计算呢?我们仍按求

3、曲边梯形面积的思想方法来进行. 原型 求变力所作的功. oFab图6. 2定义 设 f(x) 是定义在区间 a, b 上的有界函数, 用点 将区间 a, b 任意分割成 n 个子区间 xi-1, xi (i=1, 2, , n)，这些子区间及其长度均记作 xi =xi -xi-1 (i=1, 2, , n). 在每个子区间 xi 上任取一点 , 作 n 个乘积 的和式 ，1. 2定积分的概念 如果当 , 同时最大子区间的长度 时, 和式 的极限存在, 并且其极限与区间a, b 的分割法以及 的取法无关, 则该极限值称为函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分, 记作 即 .在连续变力F (

4、x) 作用下, 质点m 沿x 轴从点 a 位移到点b 所作的功为F (x) 在a, b 上的定积分, 即定积分存在称为可积, 否则称为不可积. 原型和的问题可以简洁地表述为: 连续曲线y=f(x) 0 在a, b 上构成的曲边梯形的面积为函数 y=f(x) 在a, b 上的定积分, 即定积分的几何意义当 f（x）0 时, 定积分的几何意义就是以曲线y=f（x）, 直线 x=a、x=b以及x 轴为边的曲边梯形的面积S；如图6. 3所示11但若 f（x）0 , 由定积分的意义可知, 这时S为负值. 对于一般函数f（x）而言, 定积分S的值则是曲线在x 轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和.

5、 1. 3求定积分过程中的辨证思维无论是求曲边梯形的面积, 还是求变力作功, 初等数学都无法解决, 而高等数学可迎刃而解，奥妙在于高数的最主要部分（微积分）本质上式辩证法在数学方面的应用. 定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、变与不变等矛盾的对立双方相互转化, 从而化未知为已知, 体现了对立统一法则. 同时也体现了否定之否定法则. 1. 4可积条件定理1 （可积的必要条件） 若函数f（x）在a, b 上可积, 则 f（x） 在 a, b 上有界. 定理2 （可积的充分条件） 若 f（x） 是闭区间a, b 上的连续函数, 或者是闭区间a, b 上的单调函数, 或者是a, b 上只有有限个间

6、断点的有界函数, 则f（x） 在a, b 上可积. 定理3 （对积分区间的可加性）有界函数f（x） 在a, c、c, b 上都可积的充要条件是 f（x） 在a, b 上可积, 且定理2 若 f（x）、 g（x） 在a, b 上可积, 则f（x） g（x） 在a, b 上也可积, 且定理1 若f（x）在 a, b上可积, k为常数, 则kf（x） 在a, b 上也可积, 且1. 5定积分的性质定理5 （有界性）设 m, M 分别是 f（x） 在a, b 上的最小值和最大值. 若f（x）在a, b 上可积, 则定理4 （保序性）设f（x） 与g（x） 为定义在a, b 上的两个可积函数. 若f（x

7、） g（x）, 则 定理6（定积分的绝对值不等式） 若f（x）在 a, b上可积, 则 在 a, b上也可积, 且 定理7（积分中值定理）若函数f（x）在 a, b上连续, 则在 a, b上至少存在一点 , 使得作业必作题： 用定积分的定义计算 选作题： 习题6第一题. 思考题 定积分的定义中主要体现的数学思想是什么？ 定理1 若函数f（x）在 a, b上连续, 则由变上限定积分定义的函数在 a, b 上可导, 且2. 1微积分基本定理即函数 是被积函数f（x）在 a, b上的一个原函数. 也是f(x)的一个原函数, 而这两个原函数之差为某个常数, 所以证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一

8、个原函数, 又根据定理1, 在上式中令x = b, 就得到所要证明的公式得 C = F(a). 于是定理2设f(x)在a, b上连续, 若F(x)是f(x)在a, b上的一个原函数, 则(6. 7) 称为牛顿莱布尼茨公式 若令x = a, 则因由于 是 的一个原函数, 应用公式(6. 7)有例1 计算解2. 1定积分的换元积分法和分部积分法定理1 （定积分换元积分法）若函数f(x)在a, b上连续, 函数 满足下列条件：（2）在 上有连续导数 ，则有定积分换元公式（1） x=asint , t0, , 则 dx=acostdt . 当t 从 0 变到 时, x 从 0 递增到a , 故取 应用

9、公式（6. 8）, 并注意到在第一象限中cost0, 则有例2计算解 令解 令 u=sint , 则 du=costdt. 当t 由0 变到 时, u从0 递增到1. 应用换元公式(6. 8)有例3 计算 定理2（定积分分部积分法）若 u, v是a, b 上具有连续导数的函数, 则例5计算 例4计算 解解 作业必作题 习题6 第二题、第四题、第五题. 选作题 习题6第三题. 思考题 1、定积分的换元积分法中应注意的事项？ 2、微积分的基本定理主要解决了定积分的什么问题？ 定义：设函数f(x)定义在无穷区间a, +)上, 且在任何有限区间a, A 上可积, 如果存在极限则称此极限J为函数f（x）

10、在a, +)上的无穷限反常积分, 简称无穷限积分, 记作J=3定积分的拓展非正常积分并称 收敛. 如果极限不存在, 则称无穷限积分 发散. 无穷限积分的几何意义若f(x)0 , 则 无穷限积分 收敛的几何意义是, 图(6. 7)中介于曲线 y=f(x) 、直线x=a 及 x 轴之间向右无限延伸的阴影区域有面积, 并以极限的值作为它的面积. 解 任取实数a , 讨论如下两个无穷限积分： 例 讨论积分 由于因此, 该积分收敛, 且与的敛散性思考题 检查下面计算过程对不对？为什么？请给出正确解法. 314 定积分魅力的显示的在若干学科中的应用4. 1 定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决 ?

11、二 、如何应用定积分解决问题 ? 一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积解决步骤 :1) 大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3) 近似和.4) 取极限.令则曲边梯形面积2. 变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1) 大化小.将它分成在每个小段上物体经2) 常代变.得已知速度n 个小段过的路程为3) 近似和

12、.4) 取极限 .上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限表示为一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义一个整体量 ;二 、如何应用定积分解决问题 ?第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )元素的几何形状常取

13、为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 4. 2在几何学中的应用平面图形的面积由截面面积求立体体积平面图形的面积一般地, 求由两条连续曲线y=f（x）（x0）及直线x=a, x=b（ab）所围成的平面图形的面积, 如图（图6. 8）所示, 可在区间a, b 内任取两点x, x+dx, 作出图中的阴影矩形, 则面积微元为xyoabxx+dxy=f(x)y=g(x)图6. 8 于是所求面积为 例1 求由正弦曲线y=sinx 与直线 x=0, y=0及 x= 所围成图形的面积. oxyy=sinx图6. 9 首先画草图(图6. 9), 解其面积为例2 求抛物线 与直线x-

14、2y-3=0所围的平面图形的面积. 求出抛物线与直线的交点P（1, -10）与Q（9, 3）, 把平面图形分成 两部分, -1os1 S 2p91xy图6. 10解首先画草图(图6. 10), 则有于是由截面面积求立体体积设 为一空间立体, 它夹在垂直于x轴的两平面x=a 及x=b之间（ab） (图6. 11), 求其体积V. 现用微元法导出由截面面积函数求空间立体体积的公式. 在a, b 内任取相邻两点x 与x+dx, 过这两点分别作垂直于x轴的平面, 则从 上截出一薄片. 设x 处截面面积函数为A(x ), 由于A(x ) 的连续性, 当dx 很小时, 以底面积为A(x ), 高为dx 的

15、薄柱体体积就是体积微元 dV=A（x）dx. 它是薄片的体积 V 的近似值, 即V dV=A(x)dx从而有例. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程则(利用对称性)4. 3在物理学中的应用变力作功设物体在变力y=f(x) 作用下, 沿x 轴正向从点a移动到点 b , 求它所作的功W. 在a, b上任取相邻两点x和x+dx, 则力f(x)所作的微功为dW=f(x)dx, 于是得例4 根据虎克定律, 弹簧的弹力与形变的长度成正比. 已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm 需力14000N, 求弹簧压缩2cm 时所作的功. 解 由题意, 弹簧的弹力为f（x）

16、=kx ( k 为比例常数), 当x=0. 01 m时f(0. 01)=k0. 01=1. 410000N, 由此知 k=14000000, 故弹力为f(x)=1400000 x. 于是即弹簧压缩2cm时所作的功为280J. 作业 必作题 习题六第七题 思考题 微元法体现的辨证思想方法是什么？微积分学在中国的最早传播人李善兰 李善兰（18111882）是我国清代数学家, 原名心兰, 字壬叔, 号秋纫, 浙江海宁县硖石镇人. 他曾任苏州府幕僚, 1868年被清政府谕召到北京认同文馆数学教授, 执教13年. 李善兰对尖锥求积术、三角函数与对数的幂级数展开式、高阶等差级数求和等都有突出的研究；在素数

17、论方面也有杰出成就, 提出了判别素数的重要法则. 他对有关二项式定理系数的恒等式也进行了深入研究, 曾取各家级数论之长, 归纳出以他的名字命名的“李善兰恒等式”. 李善兰一生著作颇丰, 主要论著有方圆阐幽、弧矢启秘、对数探源、垛积比类、四元解、麟德术解、椭圆正术解、椭圆新术、椭圆拾遗、火器真诀、对数尖锥变法释、级数回求和天算或问等. 李善兰不仅在数学研究上有很深造诣, 而且在代数学、微积分学的传播上作出了不朽的贡献. 1852年至1859年间, 他与英国传教士伟烈亚力合作翻译出版了三部著作：几何原本 后9卷, 英国数学家德摩根 代数拾级18卷、谈天18卷. 与英人艾约瑟合作翻译了圆锥曲线说3卷、 重学20卷等, 其中大部分译著, 例如代数学、代微拾级等都分别是中国出版的第一部代数学、解析几何学、微积分学. 李善兰不懂外语, 由伟烈亚力口译,