电路第四版答案解析(第三章)

1、第三章电阻电路的一般分析电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性（VCR）和电路的拓扑约束特性（KCL,KVL）为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应 用KCL, KVL,元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格 式，便于编程和用计算机计算。本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。3-1在一

2、下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数（1）每个元件作为一条支路处理；（2）电压源（独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。解：（1）每个元件作为一条支路处理时，图（a）和（b）所示电路的图分别为题解3-1图（a1）和（b1）。图（a1）中节点数n 6,支路数b 11图（b1）中节点数n 7 ,支路数b 12(2)电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图 (a)和图(b)所示电路的图分别为题解图(a2)和(b2)。图(a2)中节点数n 4,支路数b 8图(b2)中节点数n 15,支路数b 93-2指出题3-1中两种情况下

3、，KCL,KVL独立方程数各为多少?解：题3 1中的图(a)电路，在两种情况下，独立的 KCL方程数分别为(1)n 1 6 1 5(2)n 1 4 1 3独立的KVL方程数分别为(1)b n 1 11 6 1 6(2)b n 1 8 4 1 5图(b)电路在两种情况下，独立的 KCL方程数为(1)n 1 7 1 6(2)n 1 5 1 4独立的KVL方程数分别为(1)b n 1 12 7 1 6(2)b n 1 9 5 1 5 3-3对题图(a)和(b)所示G ,各画出4个不同的树，树支数各为多少?解：一个连通图G的树T是这样定义的：(1) T包含G的全部结点和部分支路;T本身是连通的且又不包

4、含回路。根据定义，画出图(a)和(b)所示图G的4个树如题解3-3图(a)和(b)所示。树支数为结点数减一。故图(a)的数有树支，图(b)的树有树支 n 1 6 1 5：j题解37图3-4图示桥形电路共可画出16个不同的树，试一一列出(由于节点树为 4,故树支为3,可按支路号递减的方法列出所有可能的组合，如123 ,124 , ,126 ,134 , 135 ,等，从中选出树)解：图示电路，16个不同的树的支路组合为：(123), (124 ), (125), (136 ), (145 ),(146), (156 ), (234), (235 ), (236 ), (246),(256 ),

5、(345), (346 ), (456 )3-5对题图3-3所示的G1和G2,任选一树并确认其基本回路组，同时指出独立回路数和网孔数各为多少? 基本回路组(X 2/)/2 XB)(4, 5评3 瓦 7, 10)W, 5, 7,皆 10) S 基本回路(匕5,毡(1.5,3) fijT), (4, ls 8b (1乙 9, 11) 7?10, 11)00题解15图解：在连通图G中，由树支和一个连支组成的回路称为 G的基本回路(或单连支回路)，基本回路是独立回路，网孔也是独立回路，因此，基本回路数=独立回路数十网孔数。对一个节点数为n ,支路数为b的连通网，其独立回路数l (b n 1)。从题图3

6、-3所示的G1和G2中任选一树，(见题解3-5图(a)和(b)中粗线所示)，对应于这一树的基本回路分别为ll5,126。3-6 对图示非平面图，设：(1)选择支路(1, 2, 3, 4)为树；(2)选择支路(5, 6, 7, 8)为树，问独立回路各有多少？求其基本回路组解：图中有结点数n 5,支路数b 10,故独立回路树为b n 1 10 5 1 6(1)选择支路(1 , 2, 3, 4)为树，对应的基本回路组为：(1 , 2, 3, 4, 5),(1, 2, 3, 7), (1, 2, 6), (2, 3, 4, 8), (2, 3, 9), (3, 4, 10)(2)选择支路(5, 6,

7、7, 8)为树，对应的基本回路组为：(1, 5, 8), (2, 5,6, 8), (3, 6, 7), (4, 5, 7), (5, 7, 8, 9), (5, 6, 10)3-7R1R2 10 , R3 4 ,R4R5 8 ,R6 2 ,us3 20V,Us6 40V，用支路电流法求解电路中电流i5。题3-T图解：本题电路有4个节点，6条支路，独立回路数为64 + 1=3。设各支路电流和独立回路绕行方向如图所示，由 KCL列方程，设流出节点的电流取正号。节点i1 i 2 i60节点i2 i 3i40节点i4i 5i60由KVL列方程回路I2i6 8i410i240回路 H10i1 10i2

8、 4i320回路田4i3 8i4 8i520联立求解以上方程组，得电流i50.956 A注：由本题的求解过程可以归纳出用支路电流法分析电路的步骤如下：(1)选定各支路电流的参考方向；(2)任取(n-1 )个结点，依 KCL列独立结点电流方程；(3)选定(b-n+1 )个独立回路(平面回路可选网孔)，指定回路的绕行方向，根据 KVL列写独立回路电压方程；(4)求解联立方程组，得到个支路电流，需要明确：以上支路电流法求解电路的步骤只适用于电路中每一条支路电压都能用支路电流表示的情况，若电路中含有独立电流源或受控电流源，因其电压不能用支路电流表示，故不能直 接使用上述步骤。此外，若电路中含有受控源，

9、还应将控制量用支路电流表示，即要多加一个辅助 方程。3-8用网孔电流法求解题图3-7中电流i5解：设网孔电流为iii2,ii3,其绕行方向如题图3-7中所标。列写网孔方程 TOC o 1-5 h z 20il1 10il2 8il34010il124il2 4il3 208il14il220il320应用行列式法解上面方程组2010401024208420488020108102445104,8420所以 i5 il3 48800.956 A5 l35104注：网孔电流法是以假想的网孔电流作为求解量，它仅适用于平面电路。从本题的求解可以归 纳出用网孔电流法求解电路的步骤是:（1）选取网孔电流i

10、i1,il2,il3,如网孔电流方向即认为是列网孔KVL方程的绕行方向。（2）列网孔电流方程。观察电路求自电阻1,r,2| （一个网孔中所有电阻之和称该网孔的自电阻，如本题中R1120 ,R2224 ,R3320，自电阻总为正值）；互电阻R12,R13,R23|（两网孔公共支路上的电阻之和，如本题中R210, R138, R234,当流过互电阻的两网孔电流方向一致，互电阻为正值，否则为负值），等效电压源数值（方程右方为各回路中电压源的代数和，与 网孔电流方向一致的电压源前取负号，否则取正号）3-9用回路电流法求解题图3-7中电流i3故有所以解法一：取回路电流为网孔电流,如题图3-7中所示。回路

11、方程同题3-8中方程。5104201084020208420i 12i 131280051044880il2解法二：取回路电流如题解写回路方程。用行列式法求上面方程组20101834880128002.5078 A0.9561 A5104i132.5078 0.95611.5517 A3-9图所示。仅让R号回路电流流经i3所在的支路。列20in10ii118in10ii2 18k24ii220ii220ii336ii3402001024201820365104,201018402001820367920所以i 3 i 122792051041.5517 A显然解法二中回路电流的选取法使计算量减

12、小。注：回路电流法适用于平面或非平面电路，比网孔法更具灵活性。回路法分析电路时，首先要 确定一组基本回路，表定回路电流的绕行方向，其余步骤与网孔法类似。需要指出的是回路电流法 中两回路的共有支路有时会有多条，因而互有电阻的确定要特别细心。否则会发生遗漏互有电阻的错误。3-10用回路电流法求解题图中5电阻中的电流i解：选取网孔为基本回路，回路电流的绕行方向如图中所示。列回路方程12il1 6i12 32 48 16 06il1 17i12 8i13488i12 16i130应用行列式法所以1260126 06 1781920,36 17 48460808 1608 032.4 Aiil 3460

13、819203-11用回路电流法求解图示电路中电压 Uo解：回路电流如图中所标。因3A电流源仅与回路I相关，即有，iM 3 A其余两回路的方程为8il1 50il2 10il3 13618iM 10ii2 20ii3 136 50 86把iii 3 A带入两个方程中，加以整理得50ii2 10ii3 16010ii2 20ii3 140解得ii2 2 A电压Uo 40 il2 40 2 80V即3Tl图3-12用回路电流法求解图示电路中电压 U题3T2图解：按图示设网孔电流为回路电流。因受控电流源仅和田号回路相关，故有n 1 6 1 5 ,对回路I和II列方程，并代入ii30.1ii1有34il

14、1 4il2 10 0.1il1 04iM 10ii2 5 0.1iM 420整理得35il1 4il2 03.5iii 10ii2解得420ii2 43.75il 24 ii235ii3O.liii4 43.75350.1 ( 5)0.5 A选外层回路列KVL方程20iii 1卷 420 U 0从中解出U 20 ( 5) 1 ( 43.75) 420 276.25V3-13用回路电流法求解题图（a）,（b）两电路中每个元件的功率，并做功率平衡检验解（a）：选取（a）图中网孔为基本回路，回路电流方向如图中所标，列回路方程in 151 in 3ii22ii3 10i 13(1) (3)式中U为受

15、控电流源的控制量，需要用回路电流加以表示，所以增补一个方程U 2 (ii2 ii3) 4ii3(4)i 12 il 3从中解得10把方程（1）和（4）代入方程（2）中，有 15 3ii2 2ii2即各元件的功率分别为10 V电压源发出的功率15 A电流源发出功率受控电流源发出功率三个电阻消耗的功率电路共发出功率满足il2 il325 5Ap1 10 il2 10 5 50WP2153& ii3)15ii2)153201101050WP34U3 (inin)Uil33204il35(60 20) 400W2P吸 1 (i 11 il2 )2 (il2 il 3) 3 (il1 i 13)1 10

16、2 2 102 3 202 1500 Wp穿P1 P2 P3 50 1050 400 1500W解(b)：解法一：取网孔为基本回路，电路电流如图(b)中所标。由于回路电流法列的是回路上的KVL方程，所以对6A理想电流源之路要假设一个电压，把电流源看做是电压为U的理想电压源来列写方程。这样回路方程为15il1 10i13 Ui12 U 3U10il1 25i13 3U由于有受控源和引入了电流源两端电压，所以需要增补如下方程U 15上ii2 in 6增补方程结合回路方程，加以整理，消去 U得方程15iiii122ii3i 120应用行列式法各回路电流为电阻消耗的功率为P1111135ii30615

17、135011023,1001106115035151210230,31016011i11ii 2i131233036310 A(35 422)- 2i 1110,2 i 1215152),2il 3210 (i1310 ( 6)2U 15 i13152)30 V则6A电流源吸收功率P180480 W受控源发出功率P 发3U(ii)故电路满足p吸P1P2解法二：选取回路如题解3520006122i11 )600W90 12 1080W600 480 1080 P发3-13图(c)所示。回路方程为2QIC（公题解3-13囹16il1il2 10il3 3Uii2 610il1 25il3 3U增补

18、方程U 15 ii3合并以上方程有16iM35136iii 2ii3 0应用消去法解得ill4 ,ii3 2注：题3-11至3-13计算结果与解法一中相同 中含有的独立电流源或受控电流源支路，列含有电流源支路的回路方程时，有两种处理方法，一是假设电流源两端的电压U ,如3-3题（b）图的解法一，由于引入了变量U ,方程式中的未知数多于方程式的个数，所以需增补一个方程，利用电流源的电流is已知这一条件，把is表示成回路电流的代数和，如 3-13题（b）解法一中的方程ii2 ii1 6。另一种列写回路电流方程的方法是将电流源支路电流定为某一回路的回路电流，使电流源支路只与一个回路相关,如题3-11

19、 , 3-12和3-13中的（a）图解法和（b）图解法二。这种方法的特点是利用电流源电流已知这一条件，使求解方程减少一个，从而计算工作量大大减少。当电路中含有理想受控源支路时，3-12和3-13题解。还需再多加一个辅助方程，把控制量用回路电流量表示出来，见3-14列出图(a), (b)中电路的结点电压方程。解(a):图中共有4个结点，选结点为参考结点，设结点，的电位分别为Uni, Un2, Un3。观察电路可得各结点的自电导为GiiG2 G3G22 G2 G4G33G3G6互电导为G12G2G13 G3G230流入结点的等效电流源数值为isii is2 isiis22 is5 i s2is33

20、 is7 is5故可列出结点电压方程(G2 G3 )Uni G2Un2 G3Un3 is2 isiG2Uni(G2G4)Un2is5is2G3Uni (G3G6)Un3is7is5解(b) : (b)图中共有3个结点，选结点为参考结点，观察电路直接列写方程i(R2 R3)AR4urn二r un2 i si is5R4(R4 R6)Un2 i由于有受控源，所以控制量的存在使方程数少于未知量数，需增补一个方程，把控制量i用结点电压表示有iu niR3KCL方程。本题的注：结点电压法是以各结点与参考结点之间的电压为待求量，列写各结点的2 6求解说明列写结点电压方程的一般步骤为:（1）选定参考结点，往

21、往选多条支路的汇集点。给出其余结点的编号。（2）观察电路，求出各结点的自电导（与某结点相连各支路的电导之和为该结点的自电导，自电导总为正值）、互电导（两结点之间公共支路上的电导之和，互电导总为负值）和等效电流源数值（流入结点的电流源的代数之和，以流入结点的电流源为正，流处为负）。（3）当电路中有受控电流源时，需增补方程，把控制量用结点电压表示。所以在列方程时需要特别指出：（1）对于电阻和电流源串联的支路可以等效为一个电流源支路，对有多个电阻串接的与电流源串联的电阻不计入自电导和互电导中，如（b）图中的电阻 R。（2）R2R3R2R3支路，应算出其总电阻，再计算其电导，如图（b）中R2, R3所

22、在的支路其电导为对于结点数少于网孔数的支路，采用结点电压法可以减少计算量。3-15列出图（a）, （b）中电路的结点电压方程。解（a）：图（a）中有3个结点，选号结点为参考结点。图中电阻的单位不同，列写方程时注意自电导和互电导的计算。列写结点方程2)un12un1 (1 3加24 10士un2 10整理方程组得0.7un1 0.5u0.5un1 5un2n2610注意与4A电流源串联的电阻不计入自电导中。解(b):图(b)中有3个结点。选号结点为参考结点。列写结点电压方程(1 1 1 1)un1(1 1)un25 5 555(1 g)Un1(5 1 10)Un210 205 20 -5整理以上

23、方程组得1.6Un1 0.4Un2 60.4Un1 0.5Un2 63-16图示为电压源和电阻组成的一个独立结点的电路,用结点电压法证明其结点电压Un1GkUskGk此式又称为弥尔曼定理。二 证：结点的自电导为G11工工二R1R2R3_1RnG1G2 G3GnnGkk 1可得输入结点的等效电流把电压源和电阻的串联支路等效成电流源和电阻的并联支路,源数值is11us1RUs2瓦Us3RusnRUsiGi Us2G2 Us3G3UsnGnnGkUsk k 1故结点电压方程为即GiiUni isllu n1is11GnnGkk 13-17列出图（a）,（b）电路的结点电压方程。 3题3-仃圉00解(

24、a)：结点编号和参考结点的选取如图(a)所示，电路的结点电压方程为(1121)un1(12)un2un32 24|(1 少Un1 (122)Un22Un3 3 |un1un2g 1 1)un3 3 1整理以上方程，有3.5Um 1.5Un2Un3 71.5Un1 2Un20.5Un3 2un10.5u n 2 2un3 7解（b）:结点编号如图（b）所示。本问题中，结点间有一理想电压源支路（也称 无伴电压源支路），列写结点电压方程时可按下列方法处理。解法一：若电路没有指定参考结点可选择理想电压源支路所连的两个结点之一作参考点，如本题选结点作为参考点。这时结点的电位Un21V ,为已知量，因而可

25、少Un2105Un2Un3()Un3I10.2Un41053 3Un211)44列一个方程，电路的结点电压方程为增补方程U2Un4把 1V和U2Un4代入方程组，整理得2Un3 Un4 2Un3 9Un4 3在这种情况下，对理解法二：若电路参考点已给定，设本题给定结点为参考点。想电压源支路需设一支路电流i,把电压源支路看成是电流为i的电流源，由于i是未知 量，因此，在列写方程时需要增补一个辅助方程。现以结点为参考点，列写结点电压 方程为(1 012015)Un105Un31 3U2 i,1(1)Un2Un3i0.5Un1Un2(7T7 1 1)Un3 3 3U20.50.5利用，结点问理想电压

26、源电压已知这一条件列辅助方程Un2 Un1 1 V对受控源的控制量列辅助方程U2 Un1把以上方程加以整理得11Un1 2Un3 2 i3Un2 Un3i5Un1 Un2 4Un3 3Un2 U n1 1解法三：把理想电压源跨接的两个结点，看作是一个广义结点，对这两个结点只列题W-18网写一个广义结点方程。这样得到的方程如下 TOC o 1-5 h z (1 )Um(UmUn3) Un2un2-un323出0.2 n10.5 n10.51121, 1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document un1 Un2 (11)un3 3u230.50.5把U2

27、un1代入以上方程，整理可得11un1 3un2 3un3 25un1 u n2 4 u 33辅助方程un2 un1 1 V这组方程中第一方程，实际上是解法二中第一与第二个方程缩并的结果，而第二个方程是结点的方程。注：本题说明对包含有理想电压源支路的电路应用结点电压法分析时的处理方法是：(1 )选取理想电压源支路跨接的两结点中的一个结点作参考点，即得另一结点电位，从而减少一个未知量，也就减少了一个方程，如题解一。(2)设理想电压源支路电流i ,把理想电压源看作是电流为i的电流源，然后利用两结点间理想电压源电压已知这一条件写出增补方程，从而得到充分必要的方程式，如解法二。对于电路中有多个理想电压

28、源支路的情形，往往以上两种处理方法并用。(3)把连有理想电压源的结点部分，看作是扩大了的广义结点，对广义结点列和少设附加电流变量，如解法三。3-18用结点电压法求解图示电路中各支路电流。互 1 1j 1 口2 口2G； A Ji小口 PlOCJ ACKCL方程，这样可以少列结点方程J1 -*-1114Q102G口 BQ。17126 111211176解(a)：结点编号如图(a)所示，选结点接地，列写结点方程(1 11)Un12 5112 Un1(2*)Un210彳2列写方程时，与2 A电流源串接的2电阻不计入。整理以上方程得应用行列式法解得1.70.50.50.6各支路电流为u n1i1i2i

29、3i4100.51010.67077U n1Un1Un22U n15Un2而1.7Un1 0.5Un20.5Un10.6Un21020.779.0909 V0.909 A1.70.5108.49.0909 10.9090 90gl A9.0909510.909101.818 A1.0909 A解(b):结点编号如图(b)所示,选结点为参考结点。列写结点电压方程整理得应用行列式法解得115un116(117Un16Un145301)Un1 Un21 1)U32)Un212Un211Un24530855154102453078026un2 15un3288所以8551157.435 VUn2780

30、 6.783 V115各支路电流分别为15u n15 1.891 Aibu n1T7.435 1.239 A6u n11un2上 7.435 6.783 0.652 Aidun2Un226783 2.261 A 36.783 101.6085 A23-19图示电路中电流为无伴电压源，用结点电压法求解电流Is和I。A题3Tg图解法一：结点编号如图所示，选结点为参考结点，结点电压方程为un148 V5un1(5un11 11”26)un2 2un3二u (, 12un2 (3 9 20) ) )un31 1把un1 48 V代入后两个方程中，整理得6un213un348应用行列式法解得26156

31、1324828848所以结点电压为un2Un31513446426 2884829764464248297624818 V12 V支路电流Isu n1IoUn3u5u2n2n2u n1Un33 912 18248 18548 1212解法二：选结点为参考结点。列结点方程为增加一个辅助方程(5 31 2n nU u1-5 1-61-5 1-61un2 IS 52) un26u1 J 44I S0n49)un116(2)(3)u n1 u n448把以上第和第(3)个方程合并加以整理得如下方程组17un16un122un2un1 un426un24840un45u n417224062651011

32、70406051481应用行列式法解得12407440202240026s48011722062601048446401148804所以结点电压为Un114464036V1240Un22744012406 VUn4414880124012V故支路电流U ni u n2 u n153936 6536 6 3 9 A12Un2两种计算方法所得计算结果是一致的，但显然解法二比解法一要复杂一些3-20用结点电压法求解图示电路中电压 U解：结点编号如图所示。选结点为参考结点，则结点电压方程为Uni 50 A5Un1 (i 20 加02 加3 0Un3 15I增补一个用结点电压表示受控源控制量的辅助方程U

33、n220合并以上方程，解得0.5Un2Un21 154100.3125Un25020532 V32 V电压U Un2注：本题的求解说明，若电路中含有单独的理想受控电压源支路，列结点电压方程时处理的方 法与独立电压源相同，但应多加一个用结点电压表示控制量的辅助方程。3-21用结点电压法求解图示电路后，求各元件的功率并检验功率是否平衡4口S3-21S解：结点编号如图所示，选结点为参考点。在列方程时，受控电流源按独立电流源对待，即12V电压源不计入方程中。列出结点电压方程Uni 62Un1 (211)Un2 1 Un3 0加 3un2(1 加3111在结点列KCL方程有11 T 111从中解得用结点电压表示控制量I1的辅助方程I1 1.5Un2把Un1 6, I1 1.542代入其余两个方程中并加以整理可得方程11Un2 Un3 182Un2 7Un3 18 TOC o 1-5 h z t112应用行列式法解得8127182216218 711 182 18162所以结点电压为un2 un31862 2 V电流I11.5un2 1.5 2 3A电阻吸收的功率22(Un2 Un3) un23 彳4 4 16W TOC o 1-5 h z 22P1(Un1 Un2)(Un1Un3)2422(6 2)(6 2)22 a - o2416V电压