离散型随机变量的期望与方差习题课课件

1、离散型随机变量的期望与方差(一）例1：某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的10%,公司应要求顾客交多少保险金？例2：将一枚硬币抛掷20次，求正面次数与反面次数之差的概率分布，并求出的期望E 与方差D .例3(07全国高考）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件A“购买该商品的3位顾客

2、中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（）求的分布列及期望E 例4.(07北京高考)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E 123 10 20 30 4050参加人数活动次数例5(07安徽)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇

3、子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数.（）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望E；（）求概率P（E）.解:（）的分布列为：0123456P7/286/285/284/283/282/281/28离散型随机变量的期望与方差(二）练习:某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立

4、。求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额的分别列与期望。解:设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故k=1,2,3由题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)=1/9，P(A2)=1/10，P(A3)=1/11 （1）该单位一年内获赔的概率为(2)的所有可能值为0，9000，18000，27000综上知，的分布列为090001800027000P8/1111/453/1101/990例6(05江西高考)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止

5、.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望E.解:(1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则 可得：-101Pabc(07江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望解:分别记甲、乙、丙经

6、第一次烧制后合格为事件A1 ,A2,A3（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以B(3,0.3)，故E=np=30.3=0.9 例.某生在解答数学考试时有两种方案:方案一,按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答. 根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目地信心，提高后面答题正确率的10；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的30. 为了科学地决策，他采用了一个特例模型:在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表:题号123456概率0.950

7、.90.850.80.50.2分值55551214(1)在方案一中，求他答对第2题的概率；(2)在方案一中，求他答对第3题的概率；(3)请你帮助他做出科学的决策.(决策问题)练习:在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语(谜1和谜2),猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如果他决定先猜i(i=1,2)，则只有当他猜对此谜后才被允许猜另一条谜语，否则就不允许猜另一条谜语了. 若猜谜者猜对谜i(=1,2)，则奖xi (i=1,2)元，一中一得，设猜对谜i(i=1,2)这两件事是互不影响的. 试问：（1）他应先猜哪条谜语？（2）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=80%(P1、P2

8、分别为猜中谜1、2的概率）,则应先猜哪条谜语？（3）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=75%，则应先猜哪条谜语？解.(1)设猜中谜i(i=1,2)的概率为Pi(i=1,2)若先猜谜1，则所得奖金Y1的分布列为:Y10 x1x1+x2P1-P1P1(1-P2)P1P2若先猜谜2，则所得奖金Y2的分布列为:Y20 x2x1+x2P1-P2P2(1-P1)P1P22.(山东07理18)设b,c分别是先后掷两次骰子得到的点数,用随机变量表示方程x2+bx+c=0的方程的实根个数.(1)求方程有实根的概率;(2)求的分布列和期望;(3)求在先后两次出现的点数有5的条件下,方程有实根的概率

9、.1(07宁夏海南理20)如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mS/n. 假设正方形的边长为2，M的面积为1，并向正方形中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目（I）求X的均值EX；（II）求用以上方法估计面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率k2424242525742575P(xk)0.04030.04230.95700.9590M8.已知某车站每天8：009：00、9：0010：00都恰好有一辆客车到站；8：009：00到站

10、的客车可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次为1/6,1/2,1/3, 9：0010：00到站的客车可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次为1/6,1/2,1/3,今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8：00和8：20，试问他们候车时间的平均值哪个更多？ 103050P1/61/21/31030507090P1/21/3（2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求的分布及数学期望；（）记“函数f(x)x2

11、3x1在区间2，上单调递增”为事件A，求事件A的概率.解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.例.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费. 设出租车一天行驶的路程数X (按整km数计算，不足1km的自动计为1km)是一

12、个随机变量，则其收费数 也是一个随机变量. 已知一个司机在某个月中每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200, 220, 240, 260, 280,300(km)，它们出现的概率依次是0.12, 0.18, 0.20, 0.20, 100a2+3a, 4a （1）求这一个月中一天行驶路程X 的分布列，并求X 的数学期望和方差； （2）求这一个月中一天所收租车费 Y的数学期望和方差 （1）由概率分布的性质2有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a 2+3a+4a=1，18，4a=0.12，的分布列为200220240260280300P0.120.180.200.200.180.12 （2）由已知 思考：巴拿赫(Banach)火柴盒问题波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，