电路第07章-正弦电流电路基础课件

1、第7章 正弦电流电路基础7.1 正弦量7.2 正弦量的有效值7.3 相量法的基本概念7.4 电路定律的相量形式7.5 RLC的相量模型目 录7.1 正弦量 正 弦 量 随时间按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量 在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电流和 电压分别用小写字母i、u表示 7.1 正弦量 周 期 量 时变电压和电流的波形周期性的重复出现 周期T：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔， 单位：秒（s） 频率f： 每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz） 周期和频率互为倒数：7.1 正弦量 交 变 量 一个周期量在一个周期内的平均值为零 正弦量不仅是周期量，而且还是交变量 0i(

2、t)tIm7.1 正弦量 正弦量的表达式 Fm：最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到 的最大值 t +：相位，反映正弦量变动的进程 函数表示法: ：角频率(rad/s), 反映正弦量变化的快慢: 7.1 正弦量 正弦量的表达式 Fm , , ：正弦量的三要素 ：初相位，反映正弦量初值的大小、正负 函数表示法: 已知 ,则 7.1 正弦量 正弦量的表达式 当 0时，最大值由坐标原点向左移 波形表示法:0i(t)tIm7.1 正弦量 设: 两个同频率正弦量的相位差 则u(t)与i(t)的相位差 ： 可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时 都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间

3、无关。 的单位为rad(弧度)或 (度)。主值范围为| | 7.1 正弦量 如果 u i 0 (如下图所示)，则称电压u的相位超前 电流i的相位一个角度度 ，简称电压u超前电流i角度 ， 意指在波形图中，由坐标原点向右看，电压u先到达其第 一个正的最大值，经过 ，电流i到达其第一个正的最大值。 反过来也可以说电流i滞后电压u角度 0u(t), i(t)t7.1 正弦量 如果 u i0，则结论刚好与上述情况相反，即电压 u滞后电流i一个角度| |，或电流i超前电压u一个角度| | 7.1 正弦量 又设: (1) , 当 , 则 , u1与u同相 0u(t), u1(t)t7.1 正弦量 (2)

4、, 当 , 则 , u2与u正交 0u(t), u2(t)t7.1 正弦量 (3) , 当 , 则 , u3与u反相 0u(t), u3(t)t7.1 正弦量 注 意！ 函数表达形式应相同，均采用cos或sin形式表示 函数表达式前的正、负号要一致。 当两个同频率正弦量的计时起点(即波形图中的坐标原点) 改变时，它们的初相也跟着改变，但它们的相位差却保持 不变。所以两个同频率正弦量的相位差与计时起点的选择 无关 7.2 正弦量的有效值 正弦量的有效值 设：f(t) 任意周期函数 可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期 内积分的平均值取平方根。因此，有效值又称为方均根值 方均根值7.

5、2 正弦量的有效值 当周期量为正弦量时，将 代入上式得： 只适用于正弦量 则正弦量的数学表达式也可写为： 对正弦电流iImcos(t+i) 的有效值为： 对正弦电压uUmcos(t+u)的有效值为： 7.2 正弦量的有效值 在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小均指有效值。 例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的 额定值都是指有效值。我国所使用的单相正弦电源的电压 U=220V，就是正弦电压的有效值，它的最大值UmU 1.414220311V 应当指出，并非在一切场合都用有效值表征正弦量的大小。 例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的 最大值来考虑 7.3 相量法的

6、基本概念 相 量 令正弦量： , 根据 欧拉公式，可知： , 取 : 则： 最大值相量 可以表示一个正弦量的复值常数称为相量 7.3 相量法的基本概念 相 量 最大值相量 有效值相量7.3 相量法的基本概念 可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个 复数域的复指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数 部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数 表示出来的 运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算，可同时将正弦量 （最大值）的有效值和初相计算出来 有效值（最大值）上方加的小圆点是用来与普通复数相区别 的记号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别 7.3 相量法的基本概念 为了

7、简化起见，相量图中不画出虚轴，而实轴改画为水平的 虚线 相 量 图 相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。 如下图所示为正弦电流iIcos (t+i)的相量，其中i0。 相量 的长度是正弦电流的有效值I，相量 与正实轴的夹角是 正弦电流的初相。这种表示相量的图称为相量图 0+j+1I7.3 相量法的基本概念 复指数函数的另一部分ejt，是一个随时间变化的旋转因子， 它在复平面上是一个以原点为中心、以角速度等速旋转、 模为l的复数 旋 转 因 子0+j+1117.3 相量法的基本概念 , -1为旋转因子 取 , 0+j+1取 , 取7.3 相量法的基本概念 正弦量为旋转相量在实轴

8、上的投影 相量( )乘以旋转因子ejt再乘以 ，即 ， 所以将它称为旋转相量，称为旋转相量的复振幅相量 u+100+j7.3 相量法的基本概念 一个正弦量在任何时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量该 时刻在实轴上的投影。这个关系可以用上图分别所示的旋转 相量 和正弦量f (t)的波形图之间的对应关系说明 对于任何正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指 数函数，建立起一一对应关系，从而得到表示这个正弦量 的相量。由于这种对应关系非常简单，因而可以直接写出 7.3 相量法的基本概念 同频率正弦量的加减法 例： 求 解：7.3 相量法的基本概念 上述计算也可以根据平行四边形法则在相量图上进行 相量的

9、加减法只对应同频率正弦量的加减法 7.3 相量法的基本概念 相 量 的 微 分 运 算 设 ： 则而则于是得：7.3 相量法的基本概念 当其中，稳态响应于是得：7.3 相量法的基本概念 例：已知 , 求 的iL(t).S (t=0)us(t)+_RLiL(t)7.3 相量法的基本概念 解：这个微分方程的完全解由两部分构成，即通解和特解：其中，通解是电路的暂态电流：特解是电路的稳态电流（正弦稳态响应），为与电压u同频率的正弦量：7.3 相量法的基本概念 运用相量法计算电路的稳态电流：于是，电路中电流：7.3 相量法的基本概念 根据iL(0) = 0, 确定积分常数令t = 0, 7.3 相量法的

10、基本概念 a. 取 时： 讨 论(电路立刻进入稳态) b. 取 时： 7.3 相量法的基本概念 分析可知，在经过不到四分之一周期，电路中电流将达到 最大。当 很大时，约是稳态电流幅值的两倍0t7.4 基尔霍夫定律的相量形式 当线性正弦稳态电路的电流都是同频率的正弦量时： KCL的相量形式 KCL的时域形式： 因此，在所有时刻，对任一节点的KCL可表示为: 7.4 基尔霍夫定律的相量形式 其中： KCL的相量形式 则得到KCL的相量形式： 为流出该节点的第k条支路正弦电流ik对应的相量 7.4 基尔霍夫定律的相量形式 KVL的相量形式 在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为： 其中： 为回

11、路中第k条支路的电压相量 注意：KCL、KVL的相量形式所表示的是相量的 代数和恒等于零，并非是有效值的代数和恒等于零 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R、L、C的电压、 电流之间的关系都是同频率正弦量，所涉及的有关运算 都可以用相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转 换为相量形式 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 电压、电流的参考方向关联: 电阻R的伏安关系的时域形式： 正弦交流电路中的电阻元件 电阻元件伏安关系 .iR(t)uR(t)+_R 当正弦电流iR(t)IRmcos(t+i)通过电阻R时： R的电压、电流最大值（有效值）之间符合欧姆

12、定律：7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 uR与iR同相： 令： 电压、电流关联参考方向时：电阻的伏安关系相量形式为： 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 线性电阻的相量电路 、相量图如下：.+_R 与 共线7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 由于瞬时功率p是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的， 因此当流过电阻R的电流为iR (t)IRmcos(t+i)时，电阻 所吸收的瞬时功率为: 功 率 瞬时功率 可以看出，电阻吸收的功率是随时间变化的，但pR始终大于 或等于零，表明了电阻的耗能特性。上式还表明了电阻元件 的瞬时功率包含一个常数项和一个两倍于原电流频率的正弦 项，即电流或电压

13、变化一个循环时，功率变化了两个循环 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 t0uR(t),iR(t),pR(t)7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 瞬时功率在一周期内的平均值称为平均功率，记为P 功 率 平均功率 在正弦稳态电路中，我们通常所说的功率都是指平均功率 而言 平均功率又称为有功率。单位为W 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 电压、电流的参考方向关联: 电感L的伏安关系的时域形式： 正弦交流电路中的电感元件 电感元件伏安关系 当正弦电流iL (t) ILmcos(t+i)通过电感L时：.iL(t)+_L uL(t)7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 L的电压、电流最大

14、值（有效值）之间符合欧姆定律： 感抗： , XL随的变化成线性 电感具有通低频阻高频的特性 0XL7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 uL超前iL ： 电压、电流关联参考方向时：电感的伏安关系相量形式为： 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 在正弦电流电路中，线性电感的电压和电流在瞬时值之间 不成正比，而在有效值之间、相量之间成正比 电压与电流有效值之间的关系不仅与L有关，还与角频率 有关。当L值不变，流过的电流值IL一定时，越高则UL越 大；越低则UL越小。当0(相当于直流激励)时，UL0， 电感相当于短路 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 在相位上电感电压超前电流90 0iL

15、(t),uL(t) t7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 线性电感的相量电路 、相量图如下：.+_L 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 当电感两端的电压为uL (t)ULmcos(t+u)时，流过电感 的电流iL (t)ILmcos(t+i)，则瞬时功率为: 功 率 瞬时功率7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件0uL(t), iL(t),pL(t) t7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 功 率 平均功率 瞬时功率pL (t)仅为一个两倍于原电流频率的正弦量，其平 均值为零，即: 即在正弦电流电路中，电感元件不吸收平均功率 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 功 率 无功功率

16、 为了描述电感元件与外部能量交换的规模，引入无功功率 的概念。电感元件与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率 的振幅)定义为无功功率:单位: Var (乏)7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 电压、电流的参考方向关联: 电容C的伏安关系的时域形式： 正弦交流电路中的电容元件 电感元件伏安关系 当正弦电压uC (t) UCmcos(t+u)通过电容C时：.iC(t)+_CuC(t)7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 C的电压、电流最大值（有效值）之间符合欧姆定律： 容抗： , |XC|随的变化如下图：电容是通高频阻低频的器件，具有隔直作用 0|XC|7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件

17、uC滞后iC ： 0uC(t),iC(t) t7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 电压、电流关联参考方向时：电容的伏安关系相量形式为： 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 线性电容的相量电路 、相量图如下：.+_C 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 当电感两端的电压为uC (t)UCmcos(t+u)时，流过电感 的电流iC (t)ICmcos(t+i)，则瞬时功率为: 功 率 瞬时功率7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件uC(t),iC(t), pC(t)0 t7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 功 率 平均功率 瞬时功率pC (t)仅为一个两倍于原电流频率的正弦量，其平 均值为零，即: 即在正弦电流电路中，电容元件不吸收平均功率 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 功 率 无功功率单位: Var (乏)7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 正弦电流电路的相量法 对于线性受控源，同样可以用相量形式表示。以CCVS为例， 设在时域中有ukij，其相量形式为 7.5 正弦交流电路的三种基本电路元件 正弦电流电路的相量法 这