高中数学学科命题典型案例

1、附件2 NO：2014年温州市高中各学科命题竞赛报 名 表 学校（全称）： 楠 江 中 学 学科： 数 学 命题组成员： 赵万双 周东欣 王达成 朱城鑫 郑晓晓 主命题者手机：1 3 7 8 0 1 6 3 1 6 62014年温州市高中命题比赛数学试卷本卷有选择题2题，填空题2题，解答题3题，满分100分.一、选择题：共2小题，每小题10分. 1.等腰中，M为所在平面内的任一点，且，求的最大值是（ ） 解析：根据条件可确定建立如图所示的直角坐标系，,即M在圆心，半径的圆上 答案：C 考核目标和命题意图：利用平面向量几何意义，把问题引入直角坐标系，用平面向量的坐标运算解决，使得一些抽象的向量关

2、系用代数关系表示，达到“形”到“数”的转化；体现思维想象能力与转化化归思想，较好考查学生的各种数学能力。题目来源：原创题难度系数：0.6. 2.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 解析：作出函数的图象,直线与函数的图象的交点个数，当或，解得：或或，本题答案： B 考核目标和命题意图：本题主要考查函数零点、不等式与方程、图象等基础知识，以及转化与划归、数形结合、函数与方程等思想方法，重点考查利用数形结合研究函数的零点、不等式与方程等问题.题目来源：原创题难度系数：0.55 二、填空题：共2小题，每小题10分. 3.对于，当非零实数、满足，且使最大时

3、，的最小值为_.解析：方法1：柯西不等式由柯西不等式得：，所以， ，当时， 此时，所以=. 方法2：换元法 设，则，所以，即的最大值是，此时，所以，所以=.考核目标和命题意图：本题主要考查不等式、柯西不等式、方程等基础知识，以及转化与划归、不等式与方程等思想方法，重点考查利用柯西不等式研究不等式的最值问题.题目来源：改编题原题：(2013山东高考理科第10题)设正实数满足，则当取最大值时，的最最大值为( )A. 0 B. 1 C. D. 3难度系数：0.554.已知双曲线与圆在第一象限内的交点为，、为的左右焦点，若的内切圆的圆心为点，当圆的半径最大值时，则圆心的坐标为_.解析：设，则，所以，解

4、得：，所以=，内切圆半径，设， 则，当半径取到最大时，由双曲线可得：设圆圆心坐标为，因为，=2，所以，所以点的坐标是. 考核目标和命题意图：本题主要考查双曲线定义与性质、圆的方程与性质，图象等基础知识，考查转化与划归、数形结合、函数与方程等思想方法，重点考查利用圆锥曲线的定义、性质，运算求解能力，研究函数的最值问题.题目来源：改编题原题：已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且,则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 难度系数：0.55 三、解答题：共3小题，每小题20分. 5.已知数列的前项和,数列满足 （1）求证：数列是等差数列，并求数列的

5、通项公式。（2）令，设数列前n项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围？ 参考答案及评分标准： 解：（1）当n=1时，得.1分当时，即.3分 故当时，.5分 而.6分 是以为首项，为公差的等差数列.8分 ，.10分 （2）.11分 .13分 恒成立，恒成立， 即.16分 方法1：，当且仅当，即等号成立，实际上，故当时，；当时，.20分 方法2:令，则 ，当时，当时， 在上先减后增，故 ，.20分 考核目标和命题意图:本题主要考察数列中、等差数列的定义、通项的求法、等比数列前n项求和及对数的运算等基础知识，同时考察运算求解能力；在条件中搭建好新数列，可以降低试题的难度。其中数列与不等式是数

6、学高考的重要考查内容，含参数的问题是近几年高考的一个热门题型，也是高中数学的重点、难点。它以“参数处理”为主要特征，往往与函数的单调性、最值、基本不等式等性质有关，求解含参问题的一种基本解题策略是合理地将参数分离出来。 题目来源：改编题 原题：已知是数列的前项和，满足关系式 （1）令，求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）对于数列，若存在常数M0，对任意的，恒有成立，称数列为“差绝对和有界数列”，证明数列为“差绝对和有界数列”。 第一次改编：已知数列的前项和,数列满足 （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式。 （2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值。 预设试题难度

7、：0.60 6.如图，菱形ABCD的边长为2，且，等腰 所在平面垂直于平面ABCD. （1）求证：； （2）若面PDC与面PAB所成的二面角大小为，求直线PC与面PAB所成角的正弦值. 命题答案及解析：取DC的中点M，连接， （1）是等腰，在中，易得 ，又 .8分（2）设面PAB与面ABCD所成二面角大小为，而面PDC与面PAB所成的二面角大小为，知=，则.11分又,就是面PAB与面ABCD所成二面角的一个平面角，即又，（同时可知PM,AM,DC三边两两垂直）在中，.14分 以M为原点，分别以MA、MC、MP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 P(0,0,1),C(0,1,0)知 A

8、(,0,0),B(,2,0) )知设是面PAB的一个法向量，则，取18分而直线PC与面PAB所成角与互余直线PC与面PAB所成角的正弦值为20分考核目标和命题意图：解决线线垂直问题，需要构造线面垂直；利用空间向量解决线面角；体现空间想象能力与转化化归思想，较好考查学生的各种数学能力。题目来源：原创题难度系数：0.6. 7.在平面直角坐标系中，如图，已知为椭圆的左、右焦点，离心率（1）求椭圆的标准方程（2）动直线与椭圆只有一个公共点，且交圆于、两点。设分别为的重心，直线、的斜率为、，是否存在点，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。参考答案及评分标准：解：（1）4分（2）则：6分消得，8分设由韦达定理得：.9分 .12分 .13分 .14分 .16分 .17分要使需满足 .19分解得：，故不存在点，使得 .20分考核目标和命题意图：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想和综合解题能力。题目来源：原创题解析几何基本思想是用代数的手段