弹性力学之空间问题的基本理论PPT

1、第七章 空间问题的基本理论例题第五节 轴对称问题的基本方程第四节 几何方程及物理方程第三节 主应力 最大与最小的应力 第二节 物体内任一点的应力状态第一节 平衡微分方程第七章 空间问题的基本理论 在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此可以通过简化得到平面问题的相应方程。取出微小的平行六面体， 考虑其平衡条件:平衡条件7-1 平衡微分方程 由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，平衡微分方程 由x 轴向投影的平衡微分方程 , 平衡微分方程得同理可得 在空间问题中，同样

2、需要解决：由直角坐标的应力分量 ，来求出斜面(法线为 ）上的应力。斜面应力7-2 物体内任一点的应力状态 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量: p沿法向和切向分量:斜面应力 取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的平衡条件 得出坐标向的应力分量,1. 求同理可得2. 求得由 从式(7-3)、(7-4 )可见, 当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。3. 在 上的应力边界条件应力边界条件1.假设 面(l , m , n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为： 斜面应力

3、7-3 主应力 最大与最小的应力代入 , 得到：考虑方向余弦关系式，有移项缩写为：或2. 求主应力 将式(a)改写为：求主应力 上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,求主应力(7-6 )3.应力主向 设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得应力主向由上两式解出 。然后由式(b)得出应力主向再求出 及 。4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。5.应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式方程表示为， 上式 和( 7-6 )是等价的方程，故 的各幂

4、次系数应相等，从而得出：应力不变量应力不变量 所以分别称 为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。 上式中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。 6.最大与最小的应力正应力 设物体内某点的三个主应力已经求得为 ，将x、y、z轴分别放在三个主应力的方向，则 。则由一点应力状态一点应力状态消去 得由得：可以得到 的一个极值为 。同理可得 的另外两个极值为 。则最大、最小正应力为主应力中的最大、最小值。（2）切应力 用同样的方法可以得到切应力的极值为 。最大和最小的切应力作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面

5、上。一点应力状态7.关于一点应力状态的结论：6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。一点应力状态(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量(5) 最大和最小切应力为 ，作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。设 空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出： 现仅考虑只有xy平面内的位移 时的情况进行推导：几何方程7-4 几何方程及物理方程通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段变形前位

6、置： 变形后位置： 各点的位置如图。 定义几何方程空间问题的几何方程为： 几何方程 从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系： 若位移确定，则形变完全确定。从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。 若形变确定，则位移不完全确定。 若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为：(7-9 )位移边界条件(d) 其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变体积应变定义为：空间问题的物理方程 应变用应力表示，用于按应力求解方法：物理方程可表示为两种形式： 应力用应变表示，用于按位移求解方法：由物理方程可以导出（7-13）称为体积应力。-称为体积模量。 空间问题的应