课题：平面向量的数量积及运算律

1、学习必备欢迎下载课 题：平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：.掌握平面向量的数量积及其几何意义；.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便 可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量 数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量 积的

2、5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1,向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件 是：有且只有一个非零实数入，使b =入a.平面向量基本定理： 如果s , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数入1,入2使2 =入161 +入2e2.平面向量的坐标表不i、x、j作为基底,任作一个向量y ,使得 a = xi + yj分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数把（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a=（x,y）.平面向量的坐标运算若 a =（卬 yj , b =（x2,y

3、2）,则 a + b = （x + x2, y1 + y2）, a b = （x1 一x2, y1 一 y2）,九a = （Kx,九y）*学习必备欢迎下载若 A(xi, yi), BM, y2),则 AB =国x1，y? y1). a/ b (b00)的充要条件是 xiy2-X2yi=0.线段的定比分点及入Pi, P2是直线上的两点，P是l上不同于Pi, P2的任一点，存在实数 入，使 而=入陌，入叫做点P分的所成的比，有三种情况：茎-一叶 5 飞 &-入0(内分)(外分)入0 (入-i)(外分)入0 (-i X 0)7,定比分点坐标公式：若点Pi (xi,y i) , P 2(x2,y 2)

4、,入为实数，且丽=入P可，则点P的坐标为(2”力斗必),我们称人为点分丽所成的比. i - - i ,8.点P的位置与入的范围的关系：当入 。时，PP与葩同向共线，这时称点 P为昭的内分点.9 ,线段定比分点坐标公式的向量形式:当入V。(九#i)时，PP与PP2反向共线，这时称点 P为RP2的外分点*在平面内任取一点 O,设OR = a , OP2 = b ,a + ；b i可得 OP =a -b.i i i ,i0.力做的功： W = |F |s|cose,曰是F与s的夹角二、讲解新课：i.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b ,作OA = a , OB = b，则/AOB =。(OW。

5、w兀)叫a与b的夹角.说明：(i)当。=0时，a与b同向；(2)当。=兀时，a与b反向；(3)当。=一时，a与b垂直，记a X b ;2学习必备欢迎下载2.平面向量数量积(内积)的定义 ：已知两个非零向量a与b ,它们的夹角是0 ,则数量|a|b|cos6叫a与b的数量积，记作 a b,即有a b = |a|b|cos包(ow。w兀).并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cose的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab;今后要学到两个向量的外积axb,”在向量运算中不若 a#0,且 a b

6、=0,而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号 是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替 .(3)在实数中，若a#0,且a b=0,则b=0;但是在数量积中,不能推出b=0.因为其中cos弟可能为0.(4)已知实数 a、b、c(b#0),贝U ab=bc = a=c.但是 a b = bc9 a = c 如右图：a b = |a|b|cosP = |b|OA|, b c = |b|c|cosa = |b|OA|=a b = bc 但 a=c(5)在实数中，有(ab)c = a(bc),但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与a共线的向量， 而一般a与c

7、不共线.b在a方向上的投影.定义：|b|cos 1叫做向量投影也是一个数量，不是向量；当 汕锐角时投影为正值；当 地钝角时投影为 负值；当 纵直角时投影为0;当e = 0时投影为|b|;当e = 180时投影为 -|b|.向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos6的乘积.两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.e a = a e =|a|cos12 a_b 二 a b = 0学习必备欢迎下载3 口当a与b同向时，ab = |a|b|;当a与b反向时，a b = -|a 11bb特别的 aa = |a|2或 |a|=jaa4 C

8、OSyi =a b|a|b|5 1abi & |a|b|三、讲解范例：例1判断正误，并简要说明理由 a ,0=0; 0。a=0; 0 AB = BA ; | a b b | ;若a w 0,则对任一非零b有a bwo；a - b = 0,则a与b中 至少有一个为0;对任意向量 a , b , c都有(a,b) c=a (b,c);a与b是两个单位向量，则 a 2= b 解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0-a = 0；对于：应有0 , a=0;对于：由数量积定义有I a-b| = | a|-| b|-| cos 0 | | all bl,这里。是a与b的夹角，

9、只有。=0或。=兀时，才有| a - b I =| a | | b | ;对于：若非零向量 a、b垂直，有a , b = 0 ;对于：由a b =。可知a X b可以都非零；对于：若a与c共线，记a =入c .则 a，b=(入 c)，b = A. (cb) = A. (b，c), ，(ab)c = A. (b,c) c=(bc)入 c=(bc) a 若a与c不共线，则(a,b)cw(b,c) a.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 ， 例2已知| a | = 3 , | b | = 6 ,当 a / b ,a，b ,a与b的夹角 是60时，分别求a b.解：当a /

10、 b时，若a与b同向，则它们的夹角 0=0,.1.a , b = | a| b | cos0 =3X6X1=18;若a与b反向，则它们的夹角 0 =180 ,a - b = | a| b | cos180 =3X6X (-1 ) =- 18;当a，b时，它们的夹角0 =90 ,.a , b = 0 ;当a与b的夹角是60时，有 一 _ _ 1.a , b = | a | | b | cos60 = 3X6X = 9学习必备欢迎下载评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0 , 180 ,因此，当a / b时，有0或180两种可能.四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向

11、量的数量积的定义、重要性质、 运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个 向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解 题错误是一些易见的错误，如：1.已知 ABC, a = 5, b=8, C = 60,求 BC - CA +对此题，有同学求解如下：解：如图，= I BC | = a = 5 , | CA | = b = 8, C = 60BC , CA = | BC | , | CA | cos C = 5X 8cos60 = 20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此， c并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120 .2,向量的数量积不满足结合律分析：若有（a,b） c = a,（b,c）,设a、b夹角为a , b、c夹角为3,则（a,b）c = |a|,| b| cos a - c ,a-（b-c）=a-|b| c | cos 3，若=（2,00 = 3,贝!| a | = | c | ,进而有：（a ,b）c = a ,（ b , c ） 这是一种特殊情形，